1.Размерность произвольной физической величины мо­жет быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.

2.Размерности обеих частей равенства, отражающего некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.

Отсюда сразу следует простой алгоритм размерных оценок.

1.Вы­писать группу N физических величин, между которыми, есть какая-то взаимосвязь.

2.Поставить размерности этих величин, выраженные че­рез К ≤ N размерностей основных величин.

3.Составить из выписанных величин безразмерные про­изведения. Некоторые величины при этом, возможно, при­дется возвести в какие-то степени.

Если N - К = 1, безразмерное произведение будет единственным.

4.Приравнять это произведение безразмерной константе, в результате получается искомая закономерность.

3.3. Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.

Пример 1. Оценка зависимости скорости распространения волны в струне, закрепленной с одного конца и возмущенного второго.

1.Ско­рость распространения бегущей волны v может зависеть, очевидно, от силы натяжения струны F, ее длины l и мас­сы m, т.е от четырех величин(v, F, l и m; N = 4), связь между которыми нас интере­сует.

2.Выпишем размерности этих величин (в системе измерения СГС): v ~ см/с, F ~ г • см/с², l ~ см, m ~ г.

Число основных величин К = 3 (см, г, с). Значит N - К = 1.

3.Составим произведение

vF^αl^β m^γ

(α, β, γ - некоторые числа), которое будет безразмерным, если потребовать обращения в нуль показателей степеней каждой из основных величин, вхо­дящих в vF^αl^β m^γ. Размерность этого последнего выра­жения есть

см^1+α+β г^α+γс^-1-2α

Из системы уравнений:

1+α+β =0 ,

α+γ =0,

-1-2α =0,

следует, что α =-1/2 β = -1/2 γ =1/2.

Тот факт, что выписанная система уравнений имеет единст­венное решение, гарантирует нам, что безразмерная комбинация vF^-0.5l^-0.5m^0.5 также единственная. Искомая закономерность выражается формулой:

vF^-0.5l^-0.5m^0.5 = k,

где k-безразмерная постоянная, или

v = k (F^0.5l^0.5/m ^0.5 )= k ((F*l )/m )^0.5.

Размерноcти обеих частей последнего равенства, конечно, одинаковы.

В дальнейшем будет подразумеваться аналогичный подход при иллюстрации метода размерных оценок в различных разделах физики.

Пример 2. Вывод зависимости для периода математического маятника.

Рассмотрим математический маятник: груз массы m, подве­шенный на невесомой нити длиной l. Маятник колеблется в поле силы тяжести (ускорение которой равно g).

Период колебаний маятника T может зависеть от массы m, длины нити l и ускорения силы тяжести g:

T~ l, m,g .

В классе систем единиц LMT масса m и длина l имеют размер­ности основных единиц [m]=(0,1,0), [l]=(1,0,0)

Что же касается ускорения g, то его размерность производная от размерностей основных единиц L,М,Т:[g]=(1,0,-2)

Период Т имеет размерность [T]=(0,0,1).

Так как векторы для массы, длины и времени линейно независимы (величины L, М и Т размерно независимы), в какой бы степени ни входили m иlвсоотношение для T, получить вектор с ненулевой третьей компонентой все равно не удастся. Вместе с тем необходимо убрать отличные от нуля компоненты векторов массы и длины. Так как векторы массы и длины линейно независимы, и вторая компонента вектора размерности [Т] равна нулю, вектор массы должен входить в линейную комбинацию, дающую вектор времени с нулевым коэффи­циентом (период не зависит от массы), а векторы длины и ускорения - с коэффициентами, равными по абсолютной величине, но противопо­ложными по знаку.

Нетрудно видеть, что

[T]= (1/2)[[l]-[g]],

Или T~ (l/g)^1/2.

Точная формула отличается от соотношения для периода только числовым коэффициентом:

T=2π (l/g)^1/2 .

Законы механики. Определение массы. Сила. Виды сил, импульс.

Одномерная. Трехмерная запись. Интегрирование частных случаев при отсутствии сил. Условия корректности математической постановки задачи Коши.

Законы Ньютона

Запись 2 закона в общей постановке для произвольного движения

Величины силы и массы

Размерность силы

Определение через импульс

Приближенно для малых промежутков времени

Для совокупности материальных точек - системы тел и сил

Для замкнутой системы физических тел(изолированной системы материальных точек)

Закон сохранения импульса-фундаментальный закон природы

Векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы в инерциальной системе отсчета не изменяется со временем

Для двух тел

Столкновение двух тел можно использовать для измерения массы тела путем сравнения с эталонной массой

или

Изменения скоростей могут быть измерены

Тогда связь с эталонной массой дает возможность вычислить искомую

Для замкнутой системы из 2-х тел продифференцируем по времени условие постоянства их полного импульса

Получим

Учитывая 2-й закон, запишем условие, выражающее 3-й закон

Для произвольного числа тел легче исходить из обратного

Применение законов

Свободное движение

Второй закон Ньютона: из эксперимента следует

md²r/dt² = F,

где r = xi + yj + zk;

d²r/dt² d²x/dt², d²y/dt², d²z/dt²;

Рассмотрим закон Ньютона при зависимости параметров только от координаты x ,

md²x/dt² = F_x

Перейдем сейчас от обсуждения общих свойств второго закона Ньютона как средства для вычисления траекторий к рассмотрению конкретных задач и конкретных движений, которые можно детально исследовать с помощью этого основного уравнения механики.

В случае, когда на тело никакие силы не действуют, то есть F = 0, решением уравнения 3) является движение с постоянной скоростью v = const.

Это простейший тип движения — свободное движение.

Первый этап — определение типа движения.

Второй этап — физическая формулировка задачи: выбор системы отсчета, определение действующих сил и начальных условий.

Третий этап — математическая формулировка задачи: запись уравнений,

Это дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Записанное для одномерного случая при F = 0, имеет вид

d²x/dt² = 0;

При заданных начальных условиях имеем задачу Коши:

t = 0; x = x₀; dx/dt = (dx/dt)₀;

тогда задача, описываемая этим уравнением, считается корректной.

(Данным уравнением мы можем описать прямолинейное движение.

для совокупности частиц(для каждой)

m_id²r_i /dt² = F_i;

из решения этой задачи - определяется положение частиц(координата x).

Таким образом, приближая молекулу к точке, можем фиксировать поведение газа, состоящего из молекул;)

Для одной частицы имеем:

d²x/dt²= 0,

t = 0, x=x₀, dx/dt = (dx/dt)₀;

Четвертый этап — математическое решение задачи.

Решение –интегрирование однородного ОДУ

делается замена  dx/dt = v

d²x/dt² = dv/dt = 0,  v = const = v₀

dx/dt = v₀ = const

– уравнение с разделяющимися переменными.

dx = v₀ dt = v₀  dt

После интегрирования

x= x₀ + v₀t

Пятый этап — проверка полученного решения.

Прием первый — проверка ответа по размерности.

Прием второй — проверка ответа по заранее очевидным результатам.

md²r/dt² = 0 – описывает движение с постоянной скоростью.

Движение материальной точки по окружности

Рассматриваем вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Для этого построим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось z совпала с осью вращенеия

Угловая скорость по определению



Угловое ускорение

^^

Декартовы координаты выражаются через радиус окружности и угол следующим образом

x = Rcos

y = Rsin

используя формулы для скорости и правила дифференцирования сложной функции, находим проекцию вектора скорости на ось абсцисс

V_x = x(x/)(/)

Учитывая, что

x Rsin

Получаем для скорости

V_x =  Rsin

Аналогично для составляющей по оси ординат

V_у = y(y/)(/) Rcos

v_z =0

Если проделать соответствующие преобразования(скорость равна корню из суммы квадратов составляющих скоростей), то для скорости можно получить

V = R|

Вектор угловой скорости можно представить вектором перпендикулярным плоскости вращения

к

Из этого определения следует, что когда ось z совпадает с осью вращения тела, координаты вектора угловой скорости  будут

_x ω_y =0, ω_z 

При помощи формул для векторного произведения нетрудно убедиться в том, что векторное произведение вектора угловой скорости на радиус – вектор точки с координатами x, y, z равно вектору скорости

Формула векторного произведения(вектор, равный по величине площади параллелограмма, построенного на векторах a, r и направленного перпендикулярно плоскости составленной из векторов a и r так, что результирущий вектор составляет правую тройку с векторами произведения)

[ar] = | i j k |

a_x a_y a_z |

 x y z |

Векторное произведение вектора угловой скорости на радиус – вектор точки

[r] = | i j k |

| 0 0  | x y z |

Кинематика поступательного и вращательного движения

1. Модуль и направление углового перемещения

Движение тела по криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по дугам некоторых окружностей см. рис.1.

Пусть произвольная точка М сначала находилась в неподвижной плоскости Q(рис. 2). Затем переместилась в подвижной плоскостиPна угол поворота.

Угол поворота (угловое перемещение) будим отсчитывать от неподвижной плоскости Qпо часовой стрелке (см. рис. 3).

Направление углового перемещения совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняетсяправилу правого винта.

Модуль углового перемещения запишется по аналогии с координатой:

или или

или или

2. Модуль и направление угловой скорости

При малом угловом перемещении равен ((2)

Разделим обе части последнего выражения на :

или (3)

(4)

где выражение

- есть средняя угловая скорость, т.е

, (5)

Вектор угловой скоростинаправлен вдоль оси вращения поправилу правого винта, т.е. также как и вектор

Модуль угловой скорости запишется по аналогии с линейной скоростью:

или или

или илиили