- •Дисциплина «Физика» список литературы
- •Дополнительная
- •2. Учебные пособия
- •I. Учебная программа
- •Лекция №1
- •1. Современная картина строения физического мира.
- •1.5.Практическое использование элементарных частиц
- •1.1. Понятие о векторах и простейших действиях над ними
- •3.Метод размерных оценок в задачах физики
- •3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования
- •3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок
- •1.Размерность произвольной физической величины может быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.
- •2.Размерности обеих частей равенства, отражающего некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.
- •3.3. Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.
- •5. Мгновенная угловая скорость.
- •6. Связь линейной и угловой скоростей.
- •7. Модуль и направление углового ускорения.
- •8. Связь тангенциального и углового ускорения.
- •9. Мгновенное угловое ускорение.
- •5. Работа и энергия. Закон сохранения энергии
- •5.1. Работа и кинетическая энергия
- •5.2. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем
- •5.3. О законе сохранения энергии и непотенциальных силах
- •5.4. Простые примеры
- •5.5. Равновесие и устойчивость
- •6.1. Особенности движения замкнутой системы из двух взаимодействующих материальных точек. Приведенная масса
- •6.2. Центр масс системы материальных точек
- •6.3. Потенциальная энергия взаимодействия. Закон сохранения
- •6.5. Упругие и неупругие соударения
- •Лекция 4
- •2. Избранные вопросы классической механики
- •2.1. Некоторые положения механики Ньютона.
- •2.2. Принципы механики Лагранжа.
- •2.3. Принцип Гамильтона.
- •7.1. Момент импульса и момент силы
- •7.3. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Динамика твердого тела.
- •Свойства симметрии и законы сохранения. Сохранение энергии.
- •Сохранение импульса.
- •Сохранение момента импульса.
- •9.1. Принцип относительности Галилея
- •9.2. Законы механики в неинерциальных системах отсчета.
- •Некоторые задачи механики. Движение частицы в центральном поле сил.
- •2. Основные физические свойства и параметры жидкости. Силы и напряжения.
- •2.1. Плотность.
- •2.2. Вязкость.
- •2.3. Классификация сил.
- •2.3.1. Массовые силы.
- •2.3.2. Поверхностные силы.
- •2.3.3. Тензор напряжения.
- •8.3. Течение идеальной жидкости. Уравнение непрерывности
- •8.4. Архимедова сила. Уравнение Бернулли
- •8.5. Вязкость. Течение Пуазейля
- •1.4.1. Поток векторного поля.
- •2.3.4. Уравнение движения в напряжениях.
- •Уравнение Эйлера и Навье-Стока.
- •Специальная теория относительности.
- •10. Введение в релятивистскую механику
- •10.1. Постоянство скорости света для всех систем отсчета.
- •10.2. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени
- •10.3. Импульс и энергия в релятивистской механике
- •Относительность одновременности событий
- •Зависимость массы тела от скорости
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
- •1.3. Фундаментальные взаимодействия
- •1.4. Стандартная модель и перспективы
- •1.1. Фермионы
- •1.2. Векторные бозоны
- •11.Элементарные частицы
- •11.1. Основные понятия и законы
- •11.1.1.Виды взаимодействий
- •11.1.2.Законы сохранения
- •11.2.Примеры решения задач
- •12.1. Основные свойства элементарных частиц.
- •12.2. Законы сохранения в микромире
- •12.3. Кварковая структура адронов
- •12.4. Электрослабое взаимодействие
- •Физика в конспективном изложении Содержание:
- •1. Вводные сведения - 6
- •Электричество – 49
- •9. Постоянное электрическое поле – 49
- •9.13.4.2. Теорема Гаусса для вектора - 78 10. Постоянный электрический ток – 79
- •10.7. Закон Ома для неоднородного участка цепи – 82 Магнетизм. Уравнения Максвелла – 83
- •11. Магнитное поле в вакууме – 83
- •11.11.3.1. Плотность энергии магнитного поля – 103 12. Магнитное поле в веществе – 103
- •Предисловие
- •1. Вводные сведения
- •1.1. Предсказание будущего - задача науки
- •1.2. Предмет физики
- •1.3. Физическая модель
- •1.4. Язык физики?
- •1.5. Экспериментальная и теоретическая физика
- •Физические основы механики
- •3.1.3. Абсолютно твердое тело
- •3.2. Тело отсчета
- •3.3. Система отсчета
- •3.4. Положение материальной точки в пространстве
- •3.10.1. Нормальное и тангенциальное ускорение
- •4. Динамика материальной точки
- •4.6.1. Система си (System international)
- •4.6.1.1. Размерность силы
- •5.3. Работа
- •5.6.1. Консервативность силы тяжести
- •5.6.2. Неконсервативность силы трения
- •5.7. Потенциальная энергия может быть введена только для поля консервативных сил
- •5.8.Закон сохранения механической энергии
- •6. Кинематика вращательного движения
- •6.1. Поступательное и вращательное движение
- •6.2. Псевдовектор бесконечно малого поворота
- •6.5. Связь линейной скорости материальной точки твердого тела и угловой скорости
- •8. Элементы специальной теории относительности
- •8.2. Принцип относительности Галилея:
- •8.3. Неудовлетворительность механики Ньютона при больших скоростях
- •8.5.1. Вывод преобразований Лоренца
- •8.6. Следствия из преобразований Лоренца
- •9.3. Электрическое поле
- •9.3.6. Принцип суперпозиции электрических полей
- •9.3.7. Напряженность поля точечного заряда
- •9.3.8. Линии напряженности
- •9.3.9. Линии напряженности точечных зарядов
- •9.4.4.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
- •9.4.4.3. Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра
- •9.9. Проводник в электрическом поле
- •9.10. Электроемкость уединенного проводника
- •9.11. Электроемкость конденсатора
- •9.12. Энергия электрического поля
- •9.12.1. Плотность энергии электрического поля в вакууме
- •9.13. Электрическое поле в диэлектрике
- •9.13.1. Диэлектрик?
- •9.13.1.1. Два типа диэлектриков - полярные и неполярные
- •9.13.2. Поляризованность диэлектрика (вектор поляризации) - это дипольный момент единицы объема:
- •9.13.4.1. Плотность энергии электрического поля в диэлектрике
- •10.4. Закон Ома для участка цепи
- •10.5. Закон Ома в дифференциальной форме
- •10.6. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
- •Магнетизм. Уравнения Максвелла
- •11.5.6. Магнитное поле тороида
- •11.6. Закон Ампера
- •11.7. Сила Лоренца - это сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в нем заряд
- •11.7.1. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле
- •11.8. Рамка с током в магнитном поле
- •11.11.1. Потокосцепление
- •11.11.2. Индуктивность соленоида
- •11.11.3. Энергия магнитного поля
- •12. Магнитное поле в веществе
- •12.2. Классификация магнетиков
- •13. Уравнения Максвелла
- •13.3. Система уравнений Максвелла в интегральной форме
- •13.4. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме
Относительность одновременности событий
В механике Ньютона одновременность двух событий абсолютна и не зависит от системы отсчёта. Это значит, что если два события происходят в системе Kв моменты времениtиt1, а в системеK’ соответственно в моменты времениt’ иt’1 , то посколькуt=t’, промежуток времени между двумя событиями одинаков в обеих системах отсчёта
В отличие от классической механики, в специальной теории относительности одновременность двух событий, происходящих в разных точках пространства, относительна: события, одновременные в одной инерциальной системе отсчёта, не одновременны в других инерциальных системах, движущихся относительно первой.
Понятие одновременности пространственно разделенных событий относительно. Из постулатов теории относительности и существования конечной скоростираспространения сигналов следует, что в разныхинерциальных системах отсчёта время протекает по-разному.
Постулаты Эйнштейна
(принцип относительности)
1й постулат. Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета( уравнения, выражающие законы природы инвариантны по отношению к преобразованию координат и времени от одной системы отсчета к другой)
(обобщение механики относительности Галилея на всю природу)
2й постулат. Свет распространяется со скоростью с = сonst, не зависит от состояния движения излучающего тела.
Скорость света во всех системах отсчета постоянна.
c = 3*108 м/c
По Галилею:
x/ = x + vt ; y = y/; z = z/. t = t/.
Отсчет времени в обеих системах с момента, когда начала систем О и О/ совпадали. Пусть в момент t = t/ =0 из совпадающих начал послан световой сигнал по всем направлениям. К моменту t сигнал в К достигнет точек, отстоящих от О на растоянии ct.
Координаты радиуса-вектора в трехмерной системе координат
r2 = x2 + y2 + z2
Если при t = 0 запускаем световой сигнал со скоростью света c; ct – расстояние, которое пройдет свет в системе k и окажется в точки с координатами r.
Квадрат радиуса будет иметь вид
r2 = x2 + y2 + z2 = c2t2; координаты точек удовлетворяют уравнению
Аналогично в системе k/:
(x/)2 + (y/)2 + (z/)2 = c2(t/)2
Уравнения имеют одинаковый вид в обеих системах отсчета
c2t2 - x2 + y2 + z2 = 0
c2(t/)2 - (x/)2 + (y/)2 + (z/)2=0
если подставить преобразования Галилея в эти уравнения, то убеждаемся, что эти преобразования не совместимы с принципом постоянства скорости света.
Уравнения Ньютона удовлетворяют преобразованиям Галилея(инвариант)
Уравнения Максвелла не удовлетворяют преобразованиям Галилея. Эйнштейн определил преобразования релятивистской механики на основе постулатов.
Интервал
Событие определяется местом(координаты и время)
Если ввести воображаемое четырехмерное пространство(четырех-пространство) с осями ct,x,y,z, то событие характеризуется - мировой точкой
А линия, описывающая положение точки – мировая линия.
x02 – x12 – x22 – x32 = 0 - четырехмерие.
световой конус будущего
область абсолютно удаленных от А событий
(за пределами конуса
световой конус прошлого
На рис можно отметить конус будущего(вверху) и конус прошлого
Линия, которую описывает частица, называется мировой.
А-событие присшедше раньше В. Событие А является причиной состояния В, а состояние В является следствием состояния А. между этими событиями ---- причинно-следственная связь.
Событие – следствие – это путь в будущее
Событие –причина – это путь в прошлое
Пространство-время – это пространство Минковского.
Верхний конус называется конусом будущего, нижний – прошлого.
Пусть событие – Если свет в момент t1 из точки с координатами (x1, y1, z1 ), а в момент t2 частица имеет координаты (x2, y2, z2 ), то в системе между координатами и временем имеем соотношение
c2(t2 - t1)2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2
расстояние(интервал) между точками
l2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 .
по аналогии можно говорить об интервале в 4-пространстве
(s12)2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 - 4–интервал - четырех-интервал
Квадрат интервала
ds2 = c2d t2 – dx2 – dy2 – dz2 = c2d t2 - dl2
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 – inv (инвариант).
Интервал в любой СО является инвариантом.
Для событий испускания света из точки 1 и прихода в т2 интервал равен нулю
ds2 = c2d t2 – dx2 – dy2 – dz2 = c2d t2 - dl2 =0
Вследствии с=const любой системе отсчета интервал справедлив для обеих К и К' систем отсчета. Если ds = 0, то и ds' = 0. Поэтому между интервалами в разных системах отсчета имеется связь
В системах k и k/ интервалы связаны неким линейным соотношением.
ds = ds/;
Или наоборот
ds/ = ds;
Перемножая
dsds/ = ds/ds; откуда
Поскольку знак интервала во всех системах отсчета должен быть одинаков, то
= 1.
ds = ds/
- инвариантны, что и требоалось доказать.
Для всех систем отсчета –по аналогии с расстояниями между точками в обычном пространстве. Это логическое следствие из постулатов Эйнштейна.
Используя инвариантность интервала, запишем
ds2 = c2d t2 - dl2 = c2d( t/) 2 – d(l/)2
Пусть ds2 > 0, т.е. интерваль вещественный. Найдем систему К' где dl/ = 0. в этой системе события, разделенные интервалом ds, произойдут в одной точке. Промежуток времени в системе К' dt/ = ds/c.
Вещественные интервалы--временеподобные
ds2 > 0 - временеподобный интервал.
Если ds2 < 0, т.е. интервал мнимый, тогда можно найти систему К' , в которой d t/ = 0, т.е. события происходят одновременно.Расстояние между точками, в которых произошли события в системе К'
dl' = is - расстояние между событиями.
Мнимые интервалы называются пространственноподобными.
ds2 < 0 – пространственноподобный интервал.S2 < 0
События, происходящие с одной частицей, разделены только временноподобным интервалом.
Поскольку
Vчаст < C
и пройденое расстояние l < ct, отсюда ds2 > 0.
Пространственноподобными интервалами могут быть разделены причинно не связанные события.
Частица движется равномерно со скоростью v относительно системы К(лабораторная система). Пусть с этой частицей происходят 2 события разделенные временем в системе К dt. Введем систему К' , относительно которой частица покоится. В этой системе промежуток времени между рассматриваемыми событиями будет
dt' =ds/c.
Где dt' – измерен по часам в системе К', движущейся со скоростью v относительно К вместе с частицей. Время по часам, движущимся вместе с телом – это собственное время –τ. Для этого времени можно записать
d= ds / c
Поскольку ds – инвариант, а с=const, то d - инвариант.
Подставляя в выражение для собственного времени ds, выраженный через координаты и время системы К
d c2d t2 - dl2/ c2 = (c2 - dl2/ d t2) d t / c2
Поскольку производная пути по времени представляет собой скорость
(dl /dt ) V
Получим для квадрата времени
d= (1- V2/c2)dt2
d= dt √(1- V2/c2)
Собственное время частицы всегда меньше промежутка времени в неподвижной(лабораторной) системе.(часы идут медленнее в движущейся системе)
Для неравномерного движения промежутки времени получаются интегрированием.
Связь времен в системах отсчета может быть оценена путем мысленного эксперимента. Представим, что в одной из движущихся систем отсчета послан сигнал. Относительно этой системы сигнал движется как в неподвижной. В это же время наблюдатель, находящийся в исходной системе отсчета будет наблюдать этот сигнал, движущимся со скоростью света и достигающим цели за время Т. По теореме Пифагора при условии одновременности фиксации сигнала в точке назначения имеем соотношение между временами.
c2T2 = V2 T2 + c2
Откуда для собственного времени имеем связь аналогичную рассмотренной выше. В движущейся системе время течет медленнее.
c2T2 - V2 T2/ c2 = T2( 1 - V2/c2)
V = const
Если же скорость изменяется (V = var ):
t1∫t2 ( 1 - V2/c2)1/2 dt
Четырехмерные векторы и тензоры в псевдоевклидовом пространстве
2. Многомерный вектор
Квадрат радиус-вектора определяется как
x12 + x22 + … + xn2 = xi2 (1)
Если ввести тензор вида
gij = ik = - метрический тензор. (2)
то(1) записываем в виде
для i , k =1,n
gik xi xk (3)
В специальной теории относительности и электродинамике уравнения приобретают простой вид, если их представить в виде соотношений между векторами и тензорами в четырехмерном пространстве, метрика которого определяется тензором
Лекция №8
- метрика «псевдоевклидового» пространства (4)
Пространство, свойства которого определяются тензором(4) называется псевдоэвклидовым
Индексы пробегают значения μ, ν = 0,1,2,3
Индексы латинские ijk – латинские для векторов в обычном з-х мерном пространстве(в пространстве с эвклидовой метрикой)
(xo,x1,x2,x3) – 4-прстранство
Обозначения
xo = ct ; x1 = x; x2 = y; x3 = z
действие матричного оператора на вектор- в результате вектор
- вектор четырехмерного пространства
Выражение для результирующего вектора имеет вид
r = ct – x – y – z
алгебраическая запись действия матричного оператора
x= / = ct/ - x1/ - x2/ - x3/
Любой вектор можно преобразовать, записывая матрицу преобразования.
Определение квадрата радиуса-вектора в 4- пространстве
- инвариант
- матрица прямого преобразования(обратное-матрица с чертой)
- прямое преобразование (8)
- обратное преобразование
Используя свойство инвариантности квадрата 4-радиус-вектора(интервала) запишем
подставим из(8)
(11)
(12)
после преобразований получим условие для линейного преобразования
(13)
Учитывая, что в отличны от нуля только диагональные члены
(13) препишем в упрощенной форме
,1,2,3 (14)
например при , 1- при , при =1, =2
(15)
(16)
1,2 – следствия из условия неинвариантности
Связь между прямым и обратным преобразованием:
; -прямое преобразование (17)
-обратное преобразование
где=1 коэффициент - символ Кронекера - единичная матрица
(18)
Компоненту можно представить в виде
Тогда можно записать
,1,2,3 (20)
Система справедлива(удовлетворяется) если положить
(21)
i,k = 1,2,3,
например, при = уравнение(20) выглядит в виде
(22)
С учетом (21)
a00a00 -∑13 ai0ai0 =1 (23)
что аналогично (15)
При =1, 2
∑13 a1ρaρ2 =0 (24)
Откуда с учетом (21)
-a10a02 +∑13 ai1ai2 =0 - что похоже на (16)
Условие (21) можно записать в виде
При =0, 0
a'00 = a00 (g00 =g00=1)
При =0, i ≠0 как и при =i≠0, 0
будет выполняться
gμμ =-gνν , т.е. -1
Поэтому
a'0i = -ai0
и
a'i0 = -a0i
А при = i ≠ 0, ≠ 0
Оба множителя равны -1
gμμ =gνν = -1
так, что
a'ik = aki
(что в (21))
В теории относительности рассматриваются преобразования, когда координаты x2=y, x3 =z остаются неизменными(выбор координат специально по движению вдоль оси x, когда переменными остаются время t и x)
Очевидно, что матрица преобразования, имеет вид
Обратное преобразование имеет вид, аналогичный
В системах отсчета K и K' матрицы отличаются на некий параметр р(например, поворот или относительная скорость V). В пределе при p->0 матрицы совпадут
limp->0 a00 =lim p->0a11 =1
limp->0 a01 =lim p->0a10 =0
Записав(14) для =0, 0
a200 - a210 =1 (28)
Для обратного преобразования
a'200 - a'210 =1
С учетом взаимосвязи прямого и обратного преобразования(21)
a200 - a201 =1 (30)
Из (28) и (30) следует
a210 = a201
и извлекая корень
a10 = _+ a01
Теперь(14) при =0, 1 получим
a00 a01 - a10 a11 =0,
откуда при
a10 = a01
1. a00 = a11
2. a00 = -a11, если a01 = a10
a00 = a11
a10 = - a01
Учитывая, что справедливы соотношения
limp->0 a00 =lim p->0a11 =1
то справедлив первый вариант. Тогда следует считать
a00 = a11=γ0
a01 = a10=γ1
Тогда (26) перепишем в виде
Отсюда следует:
,
причем
Поскольку
,
только один коэффициент является независимым.
Коэффициенты обратного преобразования связаны соотношениями(21)
a'00 = a00=γ0
a'01 = -a10=γ1
То есть координата x меняются; y,z – const
Тогда матрица обратного преобразования может быть представлена в виде
Таким образом, рассмотрены основные свойства преобразований 4-вектров, которые используются при формировании математического аппарата преобразований основных показателей(уравнений движения) для движущихся систем-преобразования Лоренца
Преобразования Лоренца
Интервал инвариантен при геометрических преобразованиях в 4-пространстве, т.е. подобен модулю вектора в евклидовом пространстве
xo = ct ; x1 = x; x2 = y; x3 = z
Квадрат интервала
ds2 = c2d t2 – dx2 – dy2 – dz2 = c2d t2 - dl2
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 – inv (инвариантв евклидовом пространстве) – модуль разности векторов точек.
xo ; x1; x2; x3 –координаты –компоненты 4-радиуса-вектора мировой точки.
пространство, где события изображаются мировой точкой с такими координатами, обладает псевдоевклидовой метрикой, определяемой тензором
Пространство, свойства которого определяются тензором(4) называется псевдоэвклидовым
- метрика «псевдоевклидового» пространства (4)
Преобразование компонент 4-радиус-вектора осуществляется по формуле
где матрица преобразования
,
причем
Поскольку , только один коэффициент является независимым.
Рассмотрим системы отсчета обеих К и К' систем отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью v.
Преобразование нулевого вектора
Для преобразованных величин получаем
или
для нулевой координаты x' =0, x=vt:
из получаем, что
; ;;
- коэффициент преобразования Лоренца
;
;
Подстановка в формулу преобразования координат 4-вектора дает
; ; где
Формулы обратного преобразования получаются аналогично с учетом, того что перед коэффициентом стоит знак плюс.
Переходя к обычным обозначениям для прямого преобразования
;
; y/ = y; z/ = z;
Обратные преобразования реальных координат
; ;
Преобразования Лоренца оставляют интервал инвариантным(проверить!!!) Сокращение размеров и вариация объема
;
Все эти преобразования осуществляются при изменении одной координаты х.
Преобразование скорости
дифференцируя формулу прямогопреобразования
;
- преобразование скоростей
;
Обратные преобразования получаются аналогично
Геометрический смысл преобразования Лоренца
Это линейное преобразование напоминает преобразование поворота в трехмерном евклидовом пространстве. Это преобразование, характеризующее поворот плоскости xy на угол φ в обычном пространстве выглядит в виде
При таком, сравнении получим, что
Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чистомнимый угол , для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,
Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы
Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,
Как видим, значение мнимого угла , определяется значением отношения скоростей. Введем теперьдействительную временную координату , для которой, или
Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид
Это формулы так называемого гиперболического поворота
Преобразование динамики (уравнения Ньютона) для четырехмерного пространства:
; i = 1,2,3 – для евклидового пространства
В случае релятивистской механики уравнения движения записываются для вектора скорости, полученного после преобразований с учетом инвариантности
Четырехмерное обобщение имеет вид
где = 0,1,2,3 – релятивистская динамика
Здесь время является собственным временем наблюдателя. Масса-инвариантная величина, характеризующая инертные свойства частицы. Аналог силы-сила Минковского должна быть определена т.о., чтобы при малых скоростях она переходила в обычное уравнение движения.
В нерелятивистской механике dl, dt являются inv поэтому v=dr/dt – скорость, а ускорение a=dv/dt
Релятивистские dl и dt ≠ inv
inv является интервал ds, связанный с dl и dt. При этом
ds2 = c2 dt2-dl2
Основная задача найти 4-х мерные аналоги 3-вектора –четырехмерную скорость частицы v и ускорение a.
Родственное dt - собственное время dτ =ds/c→ inv
; -свойства 4-вектора для четырехмерной скорости частицы
Для ускорения имеем формулу
Нулевая компонента скорости
;
Остальные компоненты скорости
Векторная запись имеет вид
При скоростях много меньших скорости света получаем обычную скорость.
закон Ньютона для нулевой компоненты запишем
Для остальных компонент
, где i = 1,2,3 – сила Минковского
Сила Минковского связана с Ньютоновской силой соотношением
Иначе закон движения можно записать
Для квадрата 4-вектора справедливо соотношение
где
Для определения временной компоненты силы Минковского умножим уравнение движения на скорость.
Домножая уравнение движения на вектор скорости
Просуммируем
, то есть вектор скорости перпендикулярен направлению. Здесь учтено
,
Подставляем выражение для скорости и силы Минковского и, расписывая сумму, получим
Откуда
Тогда вектор силы Минковского будет представлен компонентами
Скалярное произведение силы на скорость- есть работа совершенная частицей в единицу времени, равная изменению энергии частицы
Интегрируя данное уравнение, получим
, где const = 0;
Константу определил Эйнштейн и экспериментально подтвердил
Для снеподвижного тела справедливо выражение для энергии
E=mc2 – уравнение Эйнштейна.
Это уравнение выражает энергию покоя частицы.
∆m = ∆E/c2
Покоящийся электрон и позитрон испускают два γ-кванта с суммарной энергией равной сумме энергий покоя электрона и позитрона.
Импульс и энергия частицы
Представление4- импульса:
;
Подставим выражение для скорости
; ;
Сопоставим выражения для энергии и для нулевой компоненты импульса и можем записать
;
Тогда компонентное предсталение 4-вектора импульса будет иметь вид
Если определить квадрат импульса, то
С другой стороны,
Откуда
Здесь квадрат 4-импульса как и квадрат любого вектора является инвариантом
Разность между полной энергией и энергией покоя равна кинетической энергии частицы
при малых разложение в ряд Тейлора
Тогда приближенное выражение для кинетической энергии запишем
Что совпадает с классической теорией без релятивизма
Полная энергия выражается через импульс функцией Гамильтона
Гамильтониан для свободной частицы
H=√E2 = E=c√(p2 + m2c2)
Для частицы во внешнем поле гамильтониан имеет вид
H=c√(p2 + m2c2) + U
где U – потенциальная энергия частицы в поле