- •Дисциплина «Физика» список литературы
- •Дополнительная
- •2. Учебные пособия
- •I. Учебная программа
- •Лекция №1
- •1. Современная картина строения физического мира.
- •1.5.Практическое использование элементарных частиц
- •1.1. Понятие о векторах и простейших действиях над ними
- •3.Метод размерных оценок в задачах физики
- •3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования
- •3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок
- •1.Размерность произвольной физической величины может быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.
- •2.Размерности обеих частей равенства, отражающего некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.
- •3.3. Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.
- •5. Мгновенная угловая скорость.
- •6. Связь линейной и угловой скоростей.
- •7. Модуль и направление углового ускорения.
- •8. Связь тангенциального и углового ускорения.
- •9. Мгновенное угловое ускорение.
- •5. Работа и энергия. Закон сохранения энергии
- •5.1. Работа и кинетическая энергия
- •5.2. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем
- •5.3. О законе сохранения энергии и непотенциальных силах
- •5.4. Простые примеры
- •5.5. Равновесие и устойчивость
- •6.1. Особенности движения замкнутой системы из двух взаимодействующих материальных точек. Приведенная масса
- •6.2. Центр масс системы материальных точек
- •6.3. Потенциальная энергия взаимодействия. Закон сохранения
- •6.5. Упругие и неупругие соударения
- •Лекция 4
- •2. Избранные вопросы классической механики
- •2.1. Некоторые положения механики Ньютона.
- •2.2. Принципы механики Лагранжа.
- •2.3. Принцип Гамильтона.
- •7.1. Момент импульса и момент силы
- •7.3. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Динамика твердого тела.
- •Свойства симметрии и законы сохранения. Сохранение энергии.
- •Сохранение импульса.
- •Сохранение момента импульса.
- •9.1. Принцип относительности Галилея
- •9.2. Законы механики в неинерциальных системах отсчета.
- •Некоторые задачи механики. Движение частицы в центральном поле сил.
- •2. Основные физические свойства и параметры жидкости. Силы и напряжения.
- •2.1. Плотность.
- •2.2. Вязкость.
- •2.3. Классификация сил.
- •2.3.1. Массовые силы.
- •2.3.2. Поверхностные силы.
- •2.3.3. Тензор напряжения.
- •8.3. Течение идеальной жидкости. Уравнение непрерывности
- •8.4. Архимедова сила. Уравнение Бернулли
- •8.5. Вязкость. Течение Пуазейля
- •1.4.1. Поток векторного поля.
- •2.3.4. Уравнение движения в напряжениях.
- •Уравнение Эйлера и Навье-Стока.
- •Специальная теория относительности.
- •10. Введение в релятивистскую механику
- •10.1. Постоянство скорости света для всех систем отсчета.
- •10.2. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени
- •10.3. Импульс и энергия в релятивистской механике
- •Относительность одновременности событий
- •Зависимость массы тела от скорости
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
- •1.3. Фундаментальные взаимодействия
- •1.4. Стандартная модель и перспективы
- •1.1. Фермионы
- •1.2. Векторные бозоны
- •11.Элементарные частицы
- •11.1. Основные понятия и законы
- •11.1.1.Виды взаимодействий
- •11.1.2.Законы сохранения
- •11.2.Примеры решения задач
- •12.1. Основные свойства элементарных частиц.
- •12.2. Законы сохранения в микромире
- •12.3. Кварковая структура адронов
- •12.4. Электрослабое взаимодействие
- •Физика в конспективном изложении Содержание:
- •1. Вводные сведения - 6
- •Электричество – 49
- •9. Постоянное электрическое поле – 49
- •9.13.4.2. Теорема Гаусса для вектора - 78 10. Постоянный электрический ток – 79
- •10.7. Закон Ома для неоднородного участка цепи – 82 Магнетизм. Уравнения Максвелла – 83
- •11. Магнитное поле в вакууме – 83
- •11.11.3.1. Плотность энергии магнитного поля – 103 12. Магнитное поле в веществе – 103
- •Предисловие
- •1. Вводные сведения
- •1.1. Предсказание будущего - задача науки
- •1.2. Предмет физики
- •1.3. Физическая модель
- •1.4. Язык физики?
- •1.5. Экспериментальная и теоретическая физика
- •Физические основы механики
- •3.1.3. Абсолютно твердое тело
- •3.2. Тело отсчета
- •3.3. Система отсчета
- •3.4. Положение материальной точки в пространстве
- •3.10.1. Нормальное и тангенциальное ускорение
- •4. Динамика материальной точки
- •4.6.1. Система си (System international)
- •4.6.1.1. Размерность силы
- •5.3. Работа
- •5.6.1. Консервативность силы тяжести
- •5.6.2. Неконсервативность силы трения
- •5.7. Потенциальная энергия может быть введена только для поля консервативных сил
- •5.8.Закон сохранения механической энергии
- •6. Кинематика вращательного движения
- •6.1. Поступательное и вращательное движение
- •6.2. Псевдовектор бесконечно малого поворота
- •6.5. Связь линейной скорости материальной точки твердого тела и угловой скорости
- •8. Элементы специальной теории относительности
- •8.2. Принцип относительности Галилея:
- •8.3. Неудовлетворительность механики Ньютона при больших скоростях
- •8.5.1. Вывод преобразований Лоренца
- •8.6. Следствия из преобразований Лоренца
- •9.3. Электрическое поле
- •9.3.6. Принцип суперпозиции электрических полей
- •9.3.7. Напряженность поля точечного заряда
- •9.3.8. Линии напряженности
- •9.3.9. Линии напряженности точечных зарядов
- •9.4.4.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
- •9.4.4.3. Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра
- •9.9. Проводник в электрическом поле
- •9.10. Электроемкость уединенного проводника
- •9.11. Электроемкость конденсатора
- •9.12. Энергия электрического поля
- •9.12.1. Плотность энергии электрического поля в вакууме
- •9.13. Электрическое поле в диэлектрике
- •9.13.1. Диэлектрик?
- •9.13.1.1. Два типа диэлектриков - полярные и неполярные
- •9.13.2. Поляризованность диэлектрика (вектор поляризации) - это дипольный момент единицы объема:
- •9.13.4.1. Плотность энергии электрического поля в диэлектрике
- •10.4. Закон Ома для участка цепи
- •10.5. Закон Ома в дифференциальной форме
- •10.6. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
- •Магнетизм. Уравнения Максвелла
- •11.5.6. Магнитное поле тороида
- •11.6. Закон Ампера
- •11.7. Сила Лоренца - это сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в нем заряд
- •11.7.1. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле
- •11.8. Рамка с током в магнитном поле
- •11.11.1. Потокосцепление
- •11.11.2. Индуктивность соленоида
- •11.11.3. Энергия магнитного поля
- •12. Магнитное поле в веществе
- •12.2. Классификация магнетиков
- •13. Уравнения Максвелла
- •13.3. Система уравнений Максвелла в интегральной форме
- •13.4. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме
6.5. Упругие и неупругие соударения
Обратимся к изучению круга явлений, которые, в зависимости от области физики, именуются столкновениями, соударениями, рассеянием. Преимущественно процессы такого рода важны в физике микромира (едва ли не главная задача в физике элементарных частиц — задача о рассеянии).
Столкновения составляют один из важнейших предметов рассмотрения в физической кинетике, т. е. в молекулярной физике, физике плазмы, растворов и т. д. Но и в небесной механике, коль скоро речь идет не о регулярных планетных или звездных системах, но об астероидах, кометах, фрагментах, образовавшихся как следствие взрывных процессов, данная проблема занимает достойное место.
Главная особенность взаимодействий, которые могут быть квалифицированы как столкновения, состоит в следующем. Участвующие в них частицы (тела) как бы «приходят из бесконечности» и в конечном состоянии «уходят на бесконечность», где взаимодействием можно пренебречь. Сразу ясно, например, что взаимодействие Земли и Солнца не может быть отнесено к этой категории. А вот соударение биллиардных шаров — в принципе, может, хотя о бесконечностях в пределах биллиардного стола говорить и не принято. Но при достаточной и вполне разумной степени идеализации задачи
(пренебрежение трением о сукно, тем более — обменом импульса через возмущение
воздуха или гравитационным взаимодействием шаров) можно утверждать, что шары взаимодействуют в процессе удара, но не взаимодействуют до или после него. Значительно сложнее представить таким образом столкновение заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, поскольку сила и потенциальная энергия их взаимодействия не обращаются в нуль ни на каком конечном расстоянии. Отсюда и возникает бесконечность в корректном определении процесса столкновения, а в реальной ситуации мы всегда имеем дело с некоторым приближением к таковому.
Мы в рамках курса механики ограничимся достаточно простыми примерами, по преимуществу такими, когда при соударении тела приходят в непосредственный контакт друг с другом. Термин «соударение» как раз и относят обычно к классической механике макроскопических тел. В этом случае определение траекторий тел после соударения путем решения уравнений движения оказывается часто очень сложной, а иногда вообще
невыполнимой задачей. Вот тут-то особенно полезными оказываются законы сохранения энергии и импульса, прменение которых к задачам о соударениях мы сейчас рассмотрим.
При соударении макроскопические тела деформируются. При этом некоторая часть кинетической энергии, которой обладали тела перед ударом, переходит в потенциальную энергию упругой деформации, а некоторая часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию образующих тела атомов и молекул. В зависимости от того, насколько меняется внутренняя энергия тел, при решении задач используют нередко одно из двух приближений: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.
Абсолютно упругим ударом называют такое соударение тел, при котором переходом части их энергии во внутреннюю энергию тел можно пренебречь.
Можно считать, что при таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела восстанавливают свою форму, отталкивая друг друга. В результате потенциальная энергия упругой деформации переходит обратно в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяется двумя условиями — законом сохранения полной энергии и законом сохранения полного импульса сталкивающихся тел. При абсолютно неупругом ударе тела «слипаются», т. е. после удара они движутся с одинаковой скоростью либо покоятся. Кинетическая энергия тел полностью или частично превращается в их внутреннюю энергию. Кинетическая энергия тел до и после соударения имеет различное значение, и выполняется лишь закон сохранения импульса.
Пример абсолютно неупругого удара показан на рис. 6.12.
Рассмотрим также пример абсолютно упругого удара, причем ограничимся случаем центрального удара двух однородных шаров, один из которых первоначально покоится. (Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры.) Пусть вращение шаров отсутствует. Пусть справедливо приближение, в котором два тела образуют как бы замкнутую систему, или, что то же, внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга (как, например, при скольжении
Рис. 6.12. Абсолютно неупругий удар
шаров без трения по горизонтальной поверхности). Обозначим массы шаров m1иm2
Пусть второй шар до удара неподвижен, а первый до удара двигался в положительном направлении оси х со скоростью vо (рис. 6.13).
Эти неизвестные пока величины являются проекциями на ось х
Рис. 6.13. Упругий удар
соответствующих векторов vi и V2, и, следовательно, их знак, полученный в результате решения, определит, в каком направлении оси х шары будут двигаться после удара.
Запишем условия сохранения энергии и импульса:
(6.40)
(6.41)
Решение системы уравнений (6.40), (6.41) — задача элементарная. Искомые
значения для v1ж v2
(6.42)
Отметим некоторые особенности движения шаров при их упругом центральном ударе, вытекающие из полученного решения (6.42). Если массы шаров равны, то из (6.42) следует, что v1= 0,v2=v10. Это означает, что в таком случае первый шар после удара останавливается, а второй движется с той скоростью, которая была у первого шара до удара. Именно по этой причине наилучшей защитой от быстрых нейтронов оказываются вещества, содержащие как можно больше водорода. При столкновении нейтрона с ядром
атома водорода — протоном — последний перехватывает практически всю кинетическую энергию (поскольку Мр= Мn), а нейтрон останавливается.
Рассмотрим случай упругого столкновения тела со стенкой, т. е. с телом, массу которого можно считать бесконечно большой. Для этого случая из (6.42) получаем
v1 = - v10, v2 = 0,
т. е. в результате упругого столкновения со стенкой первый шар меняет свою скорость на противоположную, отскакивая от стенки с той же по модулю скоростью, с которой он к стенке подлетал. Если же столкновение происходит с движущейся стенкой (которая в принципе моделирует любое массивное тело), то весь этот сценарий просто переносится в систему отсчета движущейся стенки. Возвращаясь в лабораторную систему, получаем
v2 = v20 = const; v1 = - v10 + 2v20 (6.43)
в предположении, что v10,v20считаются однонаправленными (направления «вперед-назад» учитываются посредством знака +-. Подчеркнем, что соударение, упругое в системе отсчета стенки, безусловно остается таковым и в л-системе: при корректном подсчете кинетической энергии уже нельзя пренебрегать поправками кv1,v2порядка m1/m2в формуле (6.43).
Пусть теперь рассматривается упругое столкновение двух частиц, которое уже не может быть описано в рамках одномерной модели. Припишем индекс iначальным значениям всех физических величин, а индексf—конечным. Закон сохранения импульса в произвольной системе отсчета будет существенно трехмерным:
(6.44)
где р — сохраняющийся суммарный импульс системы сталкивающихся частиц. В
ц-системе р = 0, и размерность уравнения (6.44) понижается. Действительно, векторы
р1i= -p2i
определяют некоторую прямую, векторы
р1f = -p2f
— еще одну прямую, а две пересекающиеся прямые задают некоторую плоскость (исключая тот вырожденный случай, когда р1i||p1f,
так что задача оказывается одномерной). Следовательно, в ц-системе процесс рассеяния всегда происходит в некоторой плоскости, поэтому в общем случае вместо двух переменных v1,v2в уравнениях (6.40), (6.41), мы будем иметь дело с четырьмя. Процесс рассеяния, ввиду его фактической двумерности, удобно представить графически, как это показано на рис. 6.14.
В ц-системе
|р1i |= |p2i | = pс
тогда кинетическая энергия в ц-системе
(которая при упругом столкновении сохраняется) равна
Отсюда следует, что и после соударения
|р1f|= |p2f| = pс .
Таким образом, концы векторов р1i, ...,p2fв ц-системе можно представить лежащими на окружности, как это показано на рис. 6.14 а: в результате рассеяния векторы p12поворачиваются, как показано на рисунке, не изменяя своей длины (модуля). Похожая картинка получилась бы и для скоростей частиц, только концы векторов vx 2C располагались бы на концентрических окружностях с радиусами, соответственно равнымиpc/m1, pc/m2.
На рис. 6.14 б показано, как можно построить векторы скорости частиц в л-системе, складывая v1,2Cс вектором скорости центра масс. Такое построение можно провести и для начальных, и для конечных скоростей.
рис. 6.14
а)концы векторов р1i, ..., p2f в ц-системе можно представить лежащими на окружности
в результате рассеяния векторы p12 поворачиваются, не изменяя своей длины (модуля)
б)можно построить векторы скорости частиц в л-системе, складывая v1,2C с вектором скорости центра масс
Если бы столкновение было неупругим, но мы бы знали, какая именно доля кинетической энергии в ц-системе утрачена, можно было бы провести аналогичное построение, но радиус соответствующих окружностей был бы разным для начального и конечного состояний. Эта проблема — учет неупругости с известными потерями — чрезвычайно важна в контексте молекулярной, атомной и ядерной физики, ибо моделирует реакции — от химических до ядерных.