2.9. Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения имеет плотность вероятности

f (x) =		1		ì	(x - m)	2	ü
				exp í-			ý	,	(2.9.1)
					2s2
		2p s		î			þ

где –¥ < m < ¥ и s > 0 –– некоторые параметры.

График функции плотности вероятности(2.9.1) имеет максимум в точке х = m , а точки перегиба отстоят от точкиm на расстояние s. При х ® ±¥ функция (2.9.1) асимптотически приближается к нулю(ее график изображен на рис. 2.9.1).

Рис. 2.9.1

Помимо геометрического смысла, параметры нормального закона распределения имеют и вероятностный смысл. Параметр m равен

математическому

ожиданию

нормально

распределенной

случайной

величины,

а

дисперсия D( X ) = s2 .

Если

X : N (m;s2 ),

т.е. X

имеет

нормальный закон распределения с параметрами m и s2, то

Р(а <

Х < =b)

æ b - m ö

æ a - m ö

Fç

÷

- Fç

÷ ,

(2.9.2)

s

s

è

ø

è

ø

1

х

ì

t

2

ü

òexp=

где F(x)

í-

ý dt

–– функция Лапласа.

2p

0

î

2

þ

Значения

функции F(x) можно

найти

по

таблице(см. прил., табл.

П2). Функция

Лапласа нечетна, т.е. F(-x)= –F(x). Поэтому ее

таблица

дана только для неотрицательныхх. График функции Лапласа изображен

на рис. 2.9.2. При

значениях х > 5

она практически остается постоянной.

Поэтому в таблице даны значения функции

только

0для£ х £ 5. При

значениях х > 5 можно считать, что F(x) = 0,5.

87

Рис. 2.9.2

Если X : N (m;s2 ), то

		æ a ö
	Р(| X - m |< a) =2Fç					÷.		(2.9.3)
		è s ø
Пример	2.49. Случайная величинаX				имеет			нормальный закон
распределения	N (m;s2 ) . Известно, что	P( X <1) = 0,15866, а P( X > 4) =
= 0,30854. Найти значения параметров m и s2.
Решение. Воспользуемся формулой (2.9.2):
	æ1 - m ö				æ		-¥ - m ö
P( X <1) = P(-¥ < X <1) = Fç			÷		- Fç		=	÷
	è	s ø			è		s	ø

æ1 - m ö

=Fç ÷ + F(¥) = 0,15866.

è s ø

	Так как F(¥) = 0,5,	æ1 - m ö			æ m -1ö			= 0,5 – 0,15866=	0,34134. По
		то -Fç		÷	= Fç		÷
			s			s
		è		ø	è		ø

	таблице функции		Лапласа(см. прил., табл.			П2)	находим,			что	F(1) =
	= 0,34134. Поэтому		m -1		=1 или m – 1 = s.
			s
	Аналогично				æ	¥ - m ö		æ	4 - m ö
		P( X > 4) = P(4 < X < ¥) =Fç					÷	- Fç	=	÷	0,30854.
						s
					è		ø	è	s	ø

	Так как F(¥) = 0,5,	æ 4 - m ö			0,5 –= 0,30854 0,19146= . По таблице
		то Fç		÷
			s
		è		ø

	функции Лапласа (см.			прил., табл. П2)	находим, что F(1 / 2) = 0,19146.
	Поэтому	4 - m	= 0,5	или m – 4 = –0,5s.	Из системы двух уравнений
		s

m – 1 = s и m – 4 = –0,5s находим, что m = 3 , а s = 2 , т.е. s2 = 4. Итак, случайная величина X имеет нормальный закон распределенияN(3;4).

88

График функции плотности вероятности этого закона распределения изображен на рис. 2.9.3.

Ответ. m = 3 ; s2 = 4.

							Рис. 2.9.3
	Задача		2.49.	Случайная			величинаX				имеет		нормальный закон
распределения N (m;s2 ) . Известно, что:
	а) для нечетных вариантов P( X < =a)									a, а P( X < =b)					b;
	б) для четных вариантов P( X < =a) a, а P( X > =b)												b.
	Найдите значения				параметровm и					s2.	Сделайте				эскиз		функции
плотности вероятности					при найденных					значениях			параметров. Найдите
P( X 2 < 4). (См. пример 2.49 и исходные данные.)
	Исходные данные к задаче 2.49.
№	a		a	b		b		№		a		a			b		b
1	–2		0,0668	3		0,8413		16		–1/2		0,4013			2		0,1587
2	–1		0,1587	5		0,0227		17		5		0,6915			2		0,1587
3	–1		0,4332	4		0,8413		18		5		0,6915			2		0,8413
4	0		0,1587	6		0,0227		19		2		0,0227			8		0,8413
5	–2		0,1587	1		0,6915		20		2		0,0227			8		0,1587
6	2		0,8413	–1		0,6915		21		3		0,1587			12		0,9773
7	1		0,1587	5		0,8413		22		3		0,1587			4,5		0,6915
8	1		0,1587	5		0,1587		23		0		0,3085			6		0,8413
9	–6		0,0227	3		0,8413		24		0		0,3085			6		0,6915
10	3		0,1587	6		0,0227		25		–2		0,1587			4		0,6915
11	–3		0,1587	0		0,6915		26		–2		0,1587			4		0,3085
12	–3		0,1587	0		0,3085		27		2		0,5000			4		0,6915
13	0		0,3446	5		0,7258		28		4		0,6915			2		0,5000
14	–1/2		0,4013	2		0,8413		29		–3		0,1587			0		0,9773
15	–3		0,1587	0		0,0227		30		0		0,3446			5		0,2742

Пример 2.50. Ошибка измеренияX имеет нормальный закон распределения, причем систематическая ошибка равна1 мк, а дисперсия ошибки равна 4 мк2. Какова вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет по модулю 2 мк?

89

Решение. По условиям задачиX ~ N (1;4). Вычислим сначала вероятность того, что в одном измерении ошибка не превзойдет2 мк. По формуле (2.9.2)

P(| X |£	2) = P(-2 £	X £	æ 2 -1 ö				æ	-2 -1	ö
			2) = Fç			÷	- Fç	=	÷	F(1 / 2)	- F(-3 / 2)=
			è		2 ø		è	2	ø
	= F(1 / 2) + F(3 / 2)				=0,1915 + 0, 4332 = 0, 6241.

Вычисленная вероятность численно равна заштрихованной площади на рис. 2.9.4.

Рис. 2.9.4

Каждое измерение можно рассматривать как независимый .опыт Поэтому по формуле Бернулли(2.6.1) вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет 2 мк, равна P3 (3) =

= C33 (0,6241)3 (0,3753)0 »1 / 4.

Ответ. »1 / 4.

Задача 2.50. Ошибка измеренияX имеет нормальный закон распределения N (m;s2 ) . Найдите вероятность того, что при измерении ошибка по модулю не превысит v. Изобразите найденную вероятность на рисунке. Найдите вероятность того, что в n независимых измерениях ошибка измерения k раз превзойдет v. (См. пример 2.50 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.50.

№	m	s2	v	n	k	№	m	s2	v	n	k	№	m	s2	v	n	k
1	–1	4	2	4	1	11	2	2,25	3	4	1	21	–1	9	3	3	1
2	2	9	3	3	1	12	0,5	4	2	3	1	22	2	2,25	2	3	1
3	1	4	3	4	2	13	2	9	3	4	1	23	0,5	4	3	4	1
4	2	4	3	3	1	14	0,5	9	3	4	2	24	0,5	6,25	4	3	1
5	–1	16	5	4	1	15	–1	4	3	4	2	25	2	9	3	4	2
6	2	4	4	3	1	16	0,5	4	3	4	1	26	0,5	9	4	3	1
7	1	2,25	3	3	1	17	0,5	16	3	3	1	27	1,5	4	3	3	2

90

8	–1	9	2	4	1	18	2	9	3	4	1	28	–2	9	3	4	1
9	2	9	3	3	1	19	0,5	4	2	4	2	29	0	4	3	4	2
10	1	4	3	4	2	20	0,5	2,25	3	3	1	30	0	9	4	3	1

Пример 2.51. Функция плотности вероятности случайной величины

X имеет вид
f (x) = gexp{-2x2 – 4 / 3x +1 / 3}.	(2.9.4)

Требуется определить коэффициентg, найти M ( X ) и D( X ) , определить тип закона распределения, нарисовать график функции f (x) , вычислить вероятность P(-1 < X < 0).

	Замечание.					Если	каждый закон распределения из некоторого
семейства					законов		распределения	имеет	функцию	распределения
æ x - a ö					где F (x) –– фиксированная
F ç			÷	,				функция	распределения,	a Î R,
	b
è		ø
b > 0,		то			говорят,	что эти	законы распределенияпринадлежат к			одному

виду или типу распределений. Параметр a называют параметром сдвига, b –

– параметром масштаба.

Решение. Так как (2.9.4) функция плотности вероятности, то интеграл от нее по всей числовой оси должен быть равен единице:

¥¥

ò	f (x) dx = g ò e-2 x2 -3/4 x+1/3dx =1.	(2.9.5)
-¥	-¥

Преобразуем выражение в показателе степени, выделяя полный квадрат:

-2(x2 + 2 / 3x -1=/ 6) -2(x2 + 2 / 3x +1 / 9 -1 / 9 -1=/ 6) -2( x +1 / 3)2 + 5 / 9.

Тогда (2.9.5) можно записать в виде

¥

e5/9 g ò e-2( x+1/3)2 dx =1.

(2.9.6)

-¥

Сделаем

замену

переменных

,такчтобы

2(x +1 / 3)2 = t 2 / 2, т..е

x +1 / 3 = t / 2,

dx = dt / 2.

Пределы интегрирования при этом останутся

прежними. Тогда (2.9.6) преобразуется к виду

¥

dt

e5/9 g ò e-t 2 /2

=1.

-¥

2

Умножим и разделим левую часть равенства на

. Получим равенство

2p

1

1

¥

g

e5/9

ò e-t2 /2 dt =1.

2p

2

2p

-¥

91

¥

Так как 1 ò e-t2 /2 dt =1, как интеграл по всей числовой оси от

2p -¥

функции

плотности

вероятности

стандартного

нормального

закона

распределения N(0,1), то приходим к выводу, что

g =

2

e-5/9 .

Поэтому

2p

f (x) =

2

e-5/9 exp{-2x2

– 4 / 3x +1 / 3}

2

exp{= -2x2 - 4 / 3x – 2 / 9} =

2p

2p

=

2

exp{-2(x2 + 2 / 3x +1 / 9)} =

1

e

( x+1/3)2

2×1/4 .

-

0,5

2p

2p

Последняя

запись

означает, что

случайная

величина

имеет

нормальный

закон

распределения

с

параметрамиm = -1 / 3 и s2 =1 / 4.

График функции плотности вероятности этого закона изображен на .рис

2.9.5. Распределение случайной величиныX принадлежит к семейству

нормальных законов распределения. По формуле (2.9.2)

P(-1 < X < 0)=

æ 0 - (-1 / 3) ö

æ -1

- (-1 / 3)

ö

F(2 / 3)

+ F(4= / 3) 0,653.

Fç

÷

- F

ç=

÷

1 / 2

1 / 2

è

ø

è

ø

							Рис. 2.9.5
	Ответ. g =			2		е-5/9 ,	M ( X ) = -1 / 3,	D( X ) =1 / 4, N (-1 / 3; 1 / 4).
				2p
	Задача 2.51. Функция плотности вероятности случайной величиныX
	имеет вид					f (x) = gexp{ax2 + bx + c}.
	Найдите	коэффициент g, M ( X ),						D( X ) , определите	тип закона
	распределения,	нарисуйте					график функции f (x) . Вычислите		P(| x |< 2).

(См. пример 2.51 и исходные данные.)

92