2.14.2. Линейная корреляция

Корреляция называется линейной, если линия регрессии одной величины на другую является прямой. В противном случае говорят о нелинейной корреляции.

Пусть линия регрессии имеет видM (Y / X ) = rx + b. Согласно свойству линии регрессии, должен быть минимален средний квадрат отклонений Y от этой линии, т.е. минимальной должна быть величина

М (Y – b – rх)2 =F (b,r),

причем ее минимальное значение равно s2 (Y / x) .

Параметры b и r

можно

найти

из

условия минимума

функции

F (b,r). Необходимые условия экстремума дают систему уравнений

ìrМ ( Х 2 ) + bМ ( X ) = М ( ХY ),

í

îrМ ( X ) + b = М (Y ),

решения которой имеют вид

r = r

sY

, b = M (Y ) – r

sY

M ( X ),

(2.14.3)

ху s

Х

ху

s

Х

где rху –– коэффициент

корреляции (2.14.1).

Если

выражения (2.14.3)

подставить в F (b,r) , то после ряда преобразований получается, что

s2=(Y / X )

s2 (Y )(1 – r2 ).

(2.14.4)

ХY

Из соотношений (2.14.3) и (2.14.4)

можно

извлечь информацию о

свойствах коэффициента корреляции.

1. Так как s2 (Y / X ) ³ 0 и s2 (Y ) ³ 0 , то 1 – r2

³ 0 , откуда -1 £ r

£1.

ХY

ху

2. Если rху = 0 , то

в силу(2.14.3)

и

угловой

коэффициент

линии

регрессии равен нулю. Линия регрессии параллельна осиОX. В этом случае говорят, что величины некоррелированы, так как среднее значение Y не изменяется при измененииX. Отсутствие корреляционной зависимости не всегда означает независимость величин. Например, при постоянном

среднем	значении Y		может	изменяться	разброс	значений		относительно
среднего (см. рис. 2.14.2, на				котором	точками	изображены		возможные
положения случайной точки).
3. Из (2.14.3) следует, что угловой коэффициент линии регрессии r и
коэффициент		корреляции		имеют одинаковые		знаки. Если		rху > 0 , то
говорят,	что	величины коррелированы			положительно.		В этом случае
большему значению величины X соответствует большее среднее значение
Y (см.	рис.	2.14.3).	Еще раз подчеркнем, что			речь	идет	именно об

увеличении среднего значения Y. В отдельных опытах большемуX может соответствовать меньшее Y. Например, положительно коррелированы рост

143

и вес человека, возраст и высота дерева, качество сырья и качество продукции и т.д.

Рис. 2.14.2

Рис. 2.14.3

Если rху < 0 , то говорят, что величины коррелированы отрицательно.

Это означает, что большему значению одной величины соответствует в среднем меньшее значение другой. Например, число пропусков занятий и успеваемость коррелированы отрицательно.

4. Если r = ±1, то из (2.14.4) следует, что s2	(Y / X ) = 0 . В этом
ху

случае разброса относительно линии регрессии нет. Между величинами существует линейная функциональная зависимость.

5.	Из (2.14.4) следует, что s2 (Y / X ) ® 0 при | r	|®1. Значит, чем
	ХY
больше	по модулю коэффициент корреляции, тем	теснее прилегают

значения Y к линии регрессии, тем меньше средний квадрат ошибки прогноза Y по наблюдаемому значениюX. На рис. 2.14.4 для сравнения показан разброс положений случайной точки(X,Y) относительно линии регрессии при двух разных значениях коэффициента корреляции rХ(1)Y < rХ(Y2) .

Рис. 2.14.4

144

Коэффициент корреляции служит мерой линейной

зависимости

между

величинами. Он

показывает

насколько

статистическая

зависимость близка к функциональной.

Отметим, что в силу(2.14.3) уравнение линии регрессии можно

записать в виде

sY=X + M (Y ) – r

sY

Y = rX + b r

M ( X )

хy s

Х

хy

s

Х

или

Y - M (Y )

X - M ( X )

= r

.

(2.14.5)

sY

XY

sX

Пример 2.83. Случайные

величиныX и

Y

независимы

и имеют

одинаковое распределение с математическим ожиданием m и дисперсией s2.

1)Найти коэффициент корреляции случайных величин U = aX + bY

иV = aX – bY .

2)Найти коэффициент корреляции между случайными величинами

Z = X + Y и X.

Решение. 1) По определению ruv = M [(U - MU )(V - MV )] . Найдем s(U )s(V )

необходимые для вычисления ruv величины. По свойствам математического ожидания и дисперсии имеем:

M (U ) = M (aX + bY )= a M (X ) + bM =(Y ) am + bm, M (V ) = M (aX – bY ) aM=( X ) – bM (Y ) аm= – bm,

o

U =U -M (U=) aX + bY - M (aX + bY ) = aX + bY - (am + bm) =

o

o

= a( X - m) + b(Y - m) =a X + bY .

o

o

o

Аналогично, V =V – =M (V )

a X - bY ,

M [(U - MU )(V - MV )]=

o o

o

o

o

o

M (U=V )

M [(a X + bY )(a X - bY )] =

o

o

o

o

= M (a2 X 2 - b2 Y 2 ) =a2 M X 2 - b2 M Y 2 =

2

M ( X - m)

2

2

M (Y - m)

2

= a

2

s

2

2

s

2

2

2

- b

2

).

= a

- b

– b

s=(a

Так как X и Y независимы, то

D(U ) = D(aX + bY ) = a2 D( X ) + b2 D(=Y ) s2 (a2 + b2 ),

D(V ) = D(aX - bY ) = a2 D( X ) + b2 D(=Y ) s2 (a2 + b2 ),

В результате имеем

s2 (a2 -b2 )

a2

-b2

r =

=

.

a2

+b2

uv

s a2 + b2 s a2 + b2

145

2) Вычислим величины, которые необходимы для использования формулы

											r =					M ( XZ ) - M ( X )M (Z )																			.
												XZ															sX sZ
Так как X и Y независимы, то
				M (Z ) = M ( X + Y )= M ( X ) + M =(Y ) m + m = 2m,
				D(Z ) = D( X + Y=) D( X ) + D=(Y ) s2 + s2 =2s2 ,
	M ( XZ ) = M[ X ( X + Y )] M =( X 2 ) + M ( XY ) = M ( X 2 ) + M ( X )M=(Y )
											= M ( X 2 ) – m2 + 2=m2																						s2 + 2m2.
	Поэтому r									s2 + 2m2						- m × 2m 1																» 0,71.
							=				=
					XZ							s × s						2										2
	Ответ.			r		=		a2			-b2		;	r				=				1				» 0,71.
								a2			+b2
					uv									XZ								2
	Задача			2.83.							Случайные													величиныX и Y независимы																	и	имеют
одинаковое распределение с математическим ожиданиемm и дисперсией
s2. Найдите коэффициент корреляции случайных																																				величинU = aX + bY и
V = cX – dY.					Найдите									коэффициент																				корреляции					случайных					величин
U = aX + bY и X. (См. пример 2.83 и исходные данные.)
	Исходные данные к задаче 2.83.
№	a		b			c					d			№			a										b				c			d		№	a		b		c			d
1	4		3			2					1			11				1						3							1			1		21		1	–1		2			1
2	1		2			1					2			12				1						1							3			1		22		1	1		–2			1
3	2		1			2					1			13				1						1							1			3		23		1	–2		2			1
4	2		2			2					2			14				3						1							1			1		24		1	–2		–2			1
5	1		2			2					1			15				4						1							1			1		25		-1	2		2			–1
6	2		1			1					2			16				1						4							1			1		26		1	–3		3			1
7	1		2			1					1			17				1						1							4			1		27		1	–3		–3			1
8	1		1			2					1			18				1						1							1			4		28		3	–1		–3			1
9	1		3			3					1			19				4						1							1			4		29		3	–1		2			1
10	3		1			1					3			20				1						4							4			1		30		3	1		–2			1
	Пример			2.84.							Равновозможны																			все положения									случайной					точки
( X ,Y ) в треугольникеD															с						вершинамиА(0,0), В(0,1)																	и	С(2,1).			Найти
коэффициент						корреляции													случайных														величинX и Y.						Найти			линию
регрессии			Y			на X					и оценить точность прогноза величиныY по
наблюдаемому значению X.
	Решение. Равновозможность всех положений случайной точки ( X ,Y )
в треугольнике АВС (см. рис. 2.14.5) означает, что плотность вероятности
f (x, у) = 0			вне			этого треугольника, а																							в				точках			треугольника					постоянна.

146

Площадь	треугольника АВС равна 1.	В точках треугольника положим
f (x, у) =1.	Тем самым соблюдено	условие равенства единице объема,

заключенного между функцией плотности вероятности и координатной плоскостью (напомним, что это является одним из отличительных свойств функции плотности вероятности системы двух случайных величин).

Рис. 2.14.5

Маргинальные функции плотности вероятности величинX и Y равны соответственно:

		1	х
	f1 (x) = ò=1dу 1 -						при х Î[0, 2], f1 (x) = 0 при х Ï[0,2];
			2
		x/2
		2 у
	f2 ( y) = ò1dx = 2 y при у Î[0,1],																		f2 ( y) = 0										при у Ï[0,1].
		0
Вычислим		величины,		необходимые																	для								использования формул
(2.14.3) и (2.14.5):
	2																		2
M ( X ) = òx (1 - x / 2) dx = 2 / 3,											M ( X 2 ) = ò х2 (1 – х / 2)dx = 2 / 3,
	0																		0
	1																		1
M (Y ) = ò у × 2уdу = 2 / 3,											M (Y 2 ) = ò у2 × 2уdу =1/ 2,
	0																		0
o	o 2	1
M ( Х Y ) = òdx ò (х – 2 / 3)( у - 2 / 3) ×1dу =1 / 18.
	0	x/2
						2				4					2											,
Тогда s2Х	=M (=X 2 ) – [M ( X )]2							-				=					, sх		=				2
			3																			3
									9				9
s2	=M (=Y 2 ) – [M (Y )]2			1			-		4		=			1		, s			=	1								.
																		y
Y			2						9				18						3			2

147

По

формулам (2.14.3),

(2.14.5) находим

коэффициент корреляции

r

=

1

и

уравнение

линии

регрессииy =

1

x +

1

. Если

использовать эту

XY

2

4

2

линию регрессии для прогнозаY по известному значениюX, то средний

квадрат

ошибки

прогноза

по

(2.14формуле.4)

равен

2

(Y =/ X )

1 æ

1

ö

1

s

ç1 -

÷ =

» 0, 042.

4

24

18 è

ø

Ответ.	y =	1	x +		1	; s2 (Y =/ X )		1	» 0, 042.
							24
	4			2
Задача	2.84.1.			Равновозможны					все	положения случайной точки
( X ,Y ) в треугольнике с вершинамиA(0,0) ,										B(a,0)	и C(a,b) в нечетных
вариантах, и	с вершинами A(0,0) ,						B(a,0) и C(0,b)				в вариантах четных.

Найти коэффициент корреляции случайных величинX и Y. Найти линию регрессии Y на X и оценить точность прогноза величиныY по наблюдаемому значению X. (См. пример 2.84 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.84.1.

№	a	b	№	a	b	№	a	b	№	a	b	№	a	b	№	a	b
1	2	3	6	3	–1	11	–3	1	16	–4	–1	21	4	2	26	4	–3
2	2	–3	7	–3	2	12	–3	–1	17	3	3	22	4	–2	27	5	1
3	–2	1	8	–3	–2	13	3	2	18	3	–3	23	–4	2	28	5	2
4	–2	–1	9	2	2	14	3	–2	19	4	1	24	–4	–2	29	–5	1
5	3	1	10	2	–2	15	–4	1	20	4	–1	25	4	3	30	–5	2

	Задача 2.84.2. Случайная			точка ( X ,Y ) имеет функцию плотности
	вероятности	f (x, y) =	2(ax + by)	при (x, y)	в	единичном	квадрате
			a + b
	[0,1]´[0,1] и	f (x, y) = 0 вне		этого квадрата. Найдите для каждой из

случайных величин функцию плотности вероятности, математическое ожидание, дисперсию. Вычислите коэффициент корреляции этих величин. Найдите линию регрессии Y на X. (См. пример 2.84.2 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.84.2.

№	a	b	№	a	b	№	a	b	№	a	b	№	a	b	№	a	b
1	1	1	6	3	2	11	4	2	16	5	1	21	3	5	26	1	6
2	1	2	7	2	3	12	2	4	17	1	5	22	5	4	27	6	2
3	2	1	8	2	2	13	4	3	18	5	2	23	4	5	28	2	6
4	1	3	9	4	1	14	3	4	19	2	5	24	4	4	29	6	3
5	3	1	10	1	4	15	3	3	20	5	3	25	6	1	30	3	6

Пример 2.85. Подбрасывают два игральных кубика. Пусть X –– число выпавших «пятерок», а Y –– число нечетных очков. Найдите закон

148

распределения случайного вектора {X ,Y}, его математическое ожидание и

дисперсионную матрицу. Найдите коэффициент корреляции rXY .

Решение. Если кубики однородны и симметричны, то вероятность

выпадения каждой грани равна 1/6. Запишем сначала закон распределения

случайного

вектора {X ,Y}.

Каждая

из

компонент

вектора может

принимать только значения 0, 1 и 2. Поэтому закон распределения можно

представить в виде таблицы:

Y

X

0

1

2

P(Y = y)

0

1/4

0

0

1/4

1

1/3

1/6

0

1/2

2

1/9

1/9

1/36

1/4

P( X = x)

25/36

10/36

1/36

1

В клетках таблицы записаны вероятности P( X = x и Y = y).

Например,

P( X =1 и=Y =1)

1

×

1

+

1

×

1

=

1

,

так

как

с

вероятностью1/6

на

первом

6

2

6

2

6

вероятностью3 / 6 =1 / 2

кубике

появится «5»,

а

на

втором кубике с

выпадет четное число, либо наоборот, на первом кубике –– четное число, а

на втором ––

«5». Или, например,

P( X = 0 и= Y = 2)

2

×

2

=

1

, так как на

6

6

9

каждом

кубике

должна

выпасть

нечетная

цифра, но не «5». Вычислим

числовые характеристики случайного вектора:

M ( X ) = 0 × 25 / 36 +1×10 / 36 + 2 ×1 /=36 1 / 3 .

Заметим, что X имеет биномиальное распределение. Поэтому математическое

ожидание можно

было

подсчитать

проще: 2 ×1 / 6 =1 / 3

––

произведение

числа опытов на вероятность появления события

в

одном.

опыте

Аналогично,

M (Y ) = 0 ×1 / 4 +1×1 / 2 + 2 ×1 /=4

1. Для вычисления дисперсий

вычислим предварительно математические ожидания квадратов величин:

M ( X 2 ) = 02 × 25 / 36 +12 ×10 / 36 + 22 ×1 / 36=

7 / 18;

M (Y 2 ) = 02 ×1 / 4 +12 ×1 / 2 + 22 ×1 / 4 =1,5.

Тогда D( X ) = M ( X 2 ) – [M=( X ) ]2

7 / 18= – 1 / 9

5 / 18,

D(Y ) = M (Y

2

2

1,5 – 1

1 / 2 .

) =– [M (Y )]=

oo

cov( X ,Y ) = M ( X =Y ) (0 -1 / 3)(0 -1)1 / 4 + (0 -1 / 3)(1 -1)1 / 3 + +(1 -1 / 3)(1 -1)1 / 6 + +(0 -1 / 3)(2 -1)1 / 9 + (1 -1 / 3)(2 -1)1 / 9 +

+(2 -1 / 3)(2 -1)1 / 36 =1 / 6.

149

Дисперсионная матрица случайного вектора имеет вид

Коэффициент корреляции равен

rXY =

cov( X ,Y )

1 / 6

1

» 0,45.

=

=

D( X ) D(Y )

5 / 18 1 / 2

5

Ответ. 1 / 5 » 0, 45.

æ5 / 18	1 / 6	ö
ç	1 / 2	÷.
è1 / 6		ø

Задача 2.85. Вероятность того, что на лотерейный билет выпадет крупный выигрыш, равна p1, а вероятность мелкого выигрыша равнаp2. Приобретено три лотерейных билета. Пусть X –– число выигрышных билетов среди этих трех, Y –– число крупных выигрышей, Z –– число мелких выигрышей.

Ввариантах, номер которых делится на три с остатком один, найти: а) закон распределения вектора ( X ,Y ) ; б) коэффициент корреляции rxy.

Ввариантах, номер которых делится на три с остатком два, найти: а) закон распределения вектора ( X , Z ) ; б) коэффициент корреляции rxz.

Ввариантах, номер которых делится на три без остатка, найти: а) закон распределения вектора (Y , Z ) ; б) коэффициент корреляции ryz.

(См. пример 2.85 и исходные данные.)

У к а з а н и е . Для вычисления вероятностей пар возможных значений случайных величин использовать формулу (2.6.2).

Исходные данные к задаче 2.85.

№	p1	p2	№	p1		p2	№	p1		p2	№	p1	p2
1	0,01	0,05	9		0,01	0,09	17	0,005		0,08	25	0,02	0,07
2	0,01	0,04	10		0,005	0,05	18	0,005		0,09	26	0,02	0,08
3	0,01	0,06	11		0,005	0,04	19	0,02		0,05	27	0,02	0,09
4	0,01	0,03	12		0,005	0,06	20	0,02		0,04	28	0,03	0,10
5	0,01	0,02	13		0,005	0,03	21	0,02		0,06	29	0,03	0,12
6	0,01	0,10	14		0,005	0,02	22	0,02		0,10	30	0,03	0,08
7	0,01	0,07	15		0,005	0,10	23	0,02		0,12	31	0,03	0,12
8	0,01	0,08	16		0,005	0,07	24	0,02		0,10	32	0,03	0,08
	Замечание. Рассмотрим индикатор события A:
			ì1, если событие A появилось;
			I A = í
			î0, если событие A не появилось.
	Известно,		что		M (I A ) = P( A=)			pD= (I A )		p(1 - p) = pq.			Силу

зависимости между событиямиA и B можно оценить по величине коэффициента корреляции индикаторов этих событий. По формуле (2.14.1) имеем

150

r

=

M (I A I

B ) - M (I A )M (IB )

=

P( AB) -

P(

A)P(B)

.

(2.14.6)

AB

D(I A )D(IB )

P( A)P( A ) P(B)P(B)

Коэффициент

rAB

принимает

значения в[-1;1], но есть некоторые

особенности в трактовке значений коэффициента.

Если

rAB = 0 ,

то

события независимы и наоборот(вспомните, для

случайных величин факт равенства коэффициента корреляции нулю не означал независимость случайных величин). Положительные значения коэффициента корреляции говорят о том, что появление одного события увеличивает вероятность появления другого. Например, из рис. 2.14.6 видно, что отношение площади областиB к площади прямоугольника меньше, чем отношение площади областиAB к площади областиA. Поэтому факт появления событияA увеличивает вероятность появления события B.

Рис. 2.14.6

Чем ближе		к плюс	единице	значениеr , тем	в	большей	степени
				AB
проявляется	это	увеличение. При		rAB = +1 появление		одного	события
всегда влечет	появление		другого. Если же rAB < 0 , то		появление		одного

события уменьшает вероятность появления другого. Например, из рис. 2.14.7 видно, что отношение площади областиB к площади прямоугольника больше, чем отношение площади областиAB к площади области A. Поэтому факт появления событияA уменьшает вероятность появления события B. Значение rAB = -1 свидетельствует о том, что появление одного события исключает появление другого.

Рис. 2.14.7

Пример 2.86. В одной урне четыре белых и два черных шара, во второй два белых и три черных. Обозначим через A и B выбор белого шара соответственно из первой и второй .урныЯсно, что P( A) = 2 / 3 , а

151