неизвестна. (Иначе говоря, сколько нужно проделать независимых опытов, чтобы по их результатам можно было построить для неизвестной вероятности события доверительный интервал шириной2a с надежностью

g?) (См. пример 3.6 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 3.6.1.

	№	p	a	g	№	p	a	g		№	p	a	g
	1	0,55	0,02	0,95	11	0,69	0,02	0,99		21	0,41	0,02	0,97
2		0,56	0,03	0,96	12	0,71	0,03	0,90	22		0,40	0,03	0,98
3		0,58	0,04	0,97	13	0,72	0,04	0,95	23		0,39	0,04	0,99
4		0,59	0,05	0,98	14	0,73	0,05	0,96	24		0,38	0,05	0,90
5		0,60	0,06	0,99	15	0,74	0,06	0,97	25		0,37	0,06	0,95
6		0,62	0,07	0,9	16	0,75	0,07	0,98	26		0,36	0,07	0,96
7		0,64	0,08	0,95	17	0,45	0,08	0,99	27		0,35	0,08	0,97
8		0,65	0,09	0,96	18	0,44	0,09	0,9	28		0,34	0,09	0,98
9		0,66	0,10	0,97	19	0,43	0,10	0,95	29		0,33	0,10	0,99
10		0,68	0,01	0,98	20	0,42	0,01	0,96	30		0,32	0,01	0,95

Задача 3.6.2.	Вероятность события равнаb/100. Сколько нужно
сделать независимых опытов, чтобы с надежностьюg можно было
гарантировать, что	частота	события	в	этих опытах	отличается от
вероятности события	не более,	чем на a?	(См.	пример 3.6 и	исходные

данные к задаче 3.6.1, b –– номер варианта.)

3.3. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей

Пусть некоторое событиеА в серии изn1 независимых опытов произошло k1 раз, а в серии изn2 независимых опытов это событие появилось k2 раза. Пусть каждая серия состоит из достаточно большого числа опытов (хотя бы несколько десятков опытов в каждой )серии. Требуется проверить гипотезу о том, что вероятность появления события в каждой серии одинакова и равна р.

Если частоты появления события k1 и k2 в этих серия не принимают n1 n2

значений

близких

к0 или

1,

то по

центральной

предельной

теореме

частоты

имеют

близкие

к

нормальному

законы

распределени:

æ

p(1 - p)

ö

æ

p(1 - p)

ö

N ç p;

÷

и

N ç p;

÷

соответственно.

Поэтому

в

силу

n1

è

ø

è

n2

ø

190

устойчивости нормального закона распределения разность частотk1 - k2 n1 n2

æ	æ	1		1	öö
имеет закон распределения N ç0; p(1	- p)ç		+		÷÷.
				n2
è	è n1				øø

Заметим, что большие различия в частотах появления события свидетельствуют против гипотезы. Поэтому к критическим следует отнести

те серии наблюдений, для которыхk1 - k2 > C , где С –– некоторая n1 n2

положительная постоянная. Если уровень значимости выбрать равнымa, то постоянная С определяется из равенства

æ

ö

æ

k

k

ö

ç

C

÷

2

ç

÷

P ç

1

-

> C=

÷

1 - 2F =

a.

n1

n2

ç

÷

è

ø

ç

æ 1 1 ö ÷

ç

p(1 - p)ç

+

÷ ÷

n

n

è

è 1

2

ø ø

	Если по таблице	функции Лапласа(см. прил.,	табл. П2)		найти ta
			æ	1		1	ö
	такое, чтобы 1 – 2F(=ta )	a, то следует выбрать C = ta	р(1 - р)ç		+		÷	. К
						n2
			è n1				ø

критическим следует отнести те серии наблюдений, в которых модуль

разности частот			больше величиныt р(1 - р)	æ 1		+	1	ö	. В последнем
				ç				÷
			a				n2
				è n1				ø
равенстве в качестве оценки неизвестной				вероятности можно взять
величину р% =	k1 + k2		.
	n + n
1		2

Пример 3.7. В 225 независимых опытах событие A появилось 78 раз. В контрольной серии из 64 независимых опытов было зарегистрировано 12 появлений события. Можно ли считать, что вероятность событияA одинакова в обеих сериях опытов при уровне значимости b = 0,04 ?

Решение. Предположим, что вероятности события в этих опытах одинаковы. По таблице функции Лапласа(см. прил., табл. П2) находим, что 1 - 2F(2,06) = 0,04. Оценкой неизвестной вероятности в предположении, что гипотеза о равенстве вероятностей верна, может служить величина

р% = 78 +12 = 0,31. Поэтому критическую область составят те серии

225 + 64

опытов, в которых модуль разности частот превысит величину

191