æ	1				1	ö
	2,06 × 0,31×	0,69		ç				+		÷ = 0,135.
					225				64
				è						ø
	Реальная разность частот равна		78	-		12		=0,09 < 0,135.
		225
					64
	Предположение о равенстве вероятностей не противоречит опытным
	данным.
	Ответ. Предположение о равенстве вероятностей правдоподобно.
	Задача 3.7. В серии из n1		независимых опытов событие A появилось

k1 раз, а в серии изn2					независимых опытов это событие появилосьk2 раз.
При	уровне		значимостиb можно ли считать, что вероятность появления
события A в этих сериях одинакова? (См. пример 3.71 и исходные данные.)
	Исходные данные к задаче 3.7.
№	n1		k1	n2		k2	b	№	n1	k1	n2	k2	b
1	75		14	181		50	0,05	16	76	8	132	21	0,05
2	65		26	50		31	0,05	17	61	9	120	14	0,02
3	80		22	35		7	0,02	18	68	8	96	21	0,05
4	120		19	40		12	0,05	19	92	27	36	9	0,05
5	100		29	60		22	0,02	20	112	8	400	64	0,02
6	72		18	90		13	0,05	21	45	7	300	25	0,05
7	95		19	70		9	0,05	22	30	2	80	12	0,05
8	80		11	30		2	0,02	23	400	35	600	76	0,02
9	400		112	160		50	0,05	24	196	29	64	4	0,05
10	140		21	50		4	0,05	25	175	25	38	3	0,05
11	56		14	120		41	0,02	26	160	57	400	111	0,02
12	64		13	256		76	0,0	27	110	24	50	4	0,05
13	52		20	140		81	0,05	28	140	81	52	20	0,02
14	130		71	48		33	0,02	29	60	22	100	27	0,05
15	82		14	56		4	0,05	30	140	23	50	4	0,05

3.4.Доверительный интервал для математического ожидания

3.4.1.Случай большой выборки

Пусть закон распределения случайной величиныХ неизвестен. Неизвестны так же М ( X ) и D( X ), причем D( X ) < ¥. Над случайной величиной проделано n независимых наблюдений и получена выборка значений Х1, Х 2 ,K, Х n . Построим доверительный интервал для

математического ожидания на основе точечной оценки X .

Если число наблюденийn достаточно велико(хотя бы несколько десятков), то

192

=

Х1=+ Х 2 +K+ Х n

X1

+

X 2

+K+

X n

X

n

n

n

n

представляет из себя сумму большого числа одинаково распределенных

независимых слагаемых с ограниченной дисперсией. На основании

центральной

предельной

теоремы

можно

имеет

утверждать, что X

близкий

к

нормальному

закон

распределения. Параметры

этого

нормального

закона

определяются

,

) = М ( X ) и

чтотем М ( X

) = D( X ) / n . Поэтому окончательно можно утверждать, что

D( X

æ

D( X )

ö

X : N ç

М ( Х ),

÷ .

(3.4.1)

n

è

ø

Запись формулы (2.9.3) для этого закона распределения имеет вид

æ

ö

ç

e

÷

P(| Х - М ( Х ) |< e) =2Fç

÷ .

(3.4.2)

ç

D(x) ÷

ç

÷

n

è

ø

Зададим вероятность g и по таблице функции Лапласа(см. прил. 1,

табл. П2)

выберем такое tg,

чтобы 2F(=t

)

g. Тогда t

= e /

D(x)

,

откуда

g

g

n

e = tg

D(x)

. Если такое e подставить в (3.4.2), то получим

n

æ

ö

D( X )

D( X )

Рç X – tg

< M ( X ) < X + t=g

÷

g,

(3.4.3)

n

n

è

ø

Если дисперсия случайной

величины

известна, то

формула (3.4.3)

решает задачу.

с М ( X )

и D( X ),

Если вместе

неизвестна

то

из

тех же

опытных

данных

можно

получить несмещенную

и

состоятельную

оценку для

дисперсии по формуле:

n

)2

D( X ) » s2

å( Х i - X

(3.4.4)

i=1

=

×

Тогда (3.4.3) имеет вид

n -1

æ

s

s

ö

Рç X – tg

< M ( X )

< X + t=g

÷

g.

(3.4.5)

n

n

è

ø

В выводе формул (3.4.3) и (3.4.5) ключевую роль играет тот факт, что

при большом числе независимых наблюдений среднее арифметическое их

результатов имеет близкий к нормальному закон распределения. Эту

формулу

можно

использовать

для

любой

случайной

величины

с

193

ограниченной дисперсией, лишь бы число наблюдений было достаточно велико (хотя бы несколько десятков).

	Пример 3.8. По результатам 100 наблюдений случайной величины X
										= 20,4
найдены оценки математического ожидания и дисперсии, равные Х
и	s2 = 3,62 .	Требуется		построить		доверительный			интервал		для
математического			ожидания	последовательно			для	уровней		надежности
g = 0,9 , g = 0,99 и g = 0,999.
	Решение. По таблице функции Лапласа(см. прил., табл. П2) находим,
что	2F(1, 65) = 0,9 , откуда			tg =1,65.	Для	уровня надежностиg = 0,99
соответствующее			значение tg =2,58 ,		а для	g = 0,999		имеем tg =3, 28 .
Подставляя		полученные		значения	(3.в4.5)		можем	утверждать, что

20,09 < M ( X ) < 20,71 при уровне надежности g = 0,9 ; 19,91 < M ( X ) < 20,89

при	уровне	надежностиg = 0,99 ; 19,78 < M ( X ) < 21,02	при	уровне
надежности g = 0,999 .
	Ответ.	19,78 < M ( X ) < 21,02 при g = 0,999 .

Задача 3.8. По результатамn независимых наблюдений получены оценки математического ожидания( X ) и дисперсии (s2) случайной величины X. Постройте доверительные интервалы для математического ожидания этой случайной величины при уровнях надежностиg = 0,95 и

g = 0,98. (См. пример 3.8 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 3.8.

№	n				s2		№	n					s2	№	n						s2	№	n				s2
		X								X							X							X
1	64	1,2			4,5		9		100	2,5			1,4	17		75	3,2				1,44	25	64	5,3			4,8
2	81	–1			2,25		10		70	1,4			1,96	18		60	–2				1,96	26	70	–1			2,25
3	90	4,8			3,2		11		64	1,3			4,2	19		55	3,4				4,8	27	64	4,8			3,2
4	85	–2			4		12		81	2,1			2,25	20		64	4,8				4	28	81	–2			4
5	60	3,5			1,96		13		100	2,4			1,6	21		81	–2				1,96	29	100	3,5			1,96
6	55	4,2			3,6		14		64	4,2			1,44	22		90	3,5				3,6	30	64	2,5			1,4
7	68	2,8			2,25		15		90	3,5			4	23		85	4,2				2,25	31	90	1,4			1,96
8	56	1,6			2,56		16		81	4,2			2,56	24		60	2,8				2,56	32	81	1,3			4,2
	Пример 3.9.						По		сгруппированным							данным					наблюдений			случайной

величины построить доверительный интервал для ее математического ожидания, соответствующий уровню надежности g = 0,98.

Интервалы	(0;4)	(4;8)	(8;12)	(12;16)	(16;20)
Число наблюдений	12	29	42	21	16

194

Решение. Представителем каждого интервала можно считать его середину. В данной серии из 120 наблюдений

Х = 2 ×12 +6 × 29 +10 × 42 +14 × 21 +18 ×1690 =10. 120

По формуле (3.1.3) оценим дисперсию случайной величины: s2 » s2 =

=

(2 -10)2 ×12 + (6 -10)2 × 29 + (10 -10)2

× 42 + (14 -10)2 21 + (18 -10)2 ×16

= 21,78,

119

s » 4, 67.

Общее

число

наблюдений велико. Поэтому, безотносительно к

закону распределения случайной величины, можно

воспользоваться

формулой (3.4.3).

Из

таблицы функции

Лапласа(см. прил.,

табл. П2)

находим, что 2F(2,33) = 0,98 , т.е. tg

= 2,33. Поэтому

10 – 2,33

4,67

< M ( X ) <10 + 2,33

4,67

,

120

120

или 9,01 < M ( X ) <10,99 .

Ответ. 9,01 < M ( X ) <10,99 .

Задача

3.9.

Результаты

наблюдений

случайной

величиныX

представлены

в

виде статистического

ряда. Постройте

доверительные

интервалы для математического ожидания этой величины для уровней

надежности g = 0,9

и

g = 0,95 .

(См.

пример 3.9

и исходные данные к

задаче 3.12.)

У к а з а н и е .

Иногда результаты наблюдений случайной величины

предварительно группируют и представляют в виде статистического ряда

X

(x1; x2 )

(x2 ; x3 )

K

(xk ; xk +1 )

Число наблюдений

n1

n2

K

nk

В этом случае для

оценки

математического ожидания и дисперсии

используют формулы:

k

k

åuini

)2 ni

å(ui - X

M ( X ) » X

=

i=1

и D( X ) » s2 =

i=1

,

n

n -1

где ui = (xi+1 + xi ) / 2 –– середина i-го интервала. Считается, что величина ui наблюдалась ni раз.

	3.4.2. Случай малой выборки
При	небольшом числе наблюдений для построения доверительного
интервала	необходима	информация	о	типе	закона	распределения

195

случайной величины. Рассмотрим задачу в практически важном случае, когда случайная величинаХ имеет нормальный закон распределения

N (m;s2 ).

Если s2 известно, а

неизвестно лишьm, то при независимых

наблюдениях

можно

воспользоваться

свойством

устойчивост

нормального закона распределения. Согласно этому свойству сумма

независимых случайных величин, подчиненных нормальному закону

распределения, сама имеет нормальный закон распределения. Поэтому в

названных

условиях

и

при

небольшом

числе

наблюдений

можно

имеет нормальный закон распределения и использовать

утверждать, что Х

формулу (3.4.3).

Если дисперсия s2 неизвестна, то при небольшом числе наблюдений

ее оценка на основе опытных данных получается грубой и формула(3.4.5)

не решает задачи построения доверительного интервала. В этом случае

æ

s

s

ö

P ç X

- tg

< m

< X +t=g

÷

g

(3.4.6)

n

n

è

ø

где соответствующее tg при заданном уровне надежностиg находят по таблице распределения Стьюдента (см. прил., табл. П3) для n – 1 степени свободы.

Формула (3.4.6) по структуре похожа на формулу(3.4.5), но tg в этих формулах определяется по разным таблицам.

Пример 3.10. Измерения сопротивления резистора дали следующие

результаты (в

омах):

Х1 = 592 ,

Х 2 = 595 ,

Х 3 = 594 , Х 4 = 592 ,

Х 5 = 593 ,

Х 6 = 597 ,

Х 7 = 595 , Х8 = 589 ,

Х 9 = 590 . Известно, что ошибки измерения

имеют

нормальный

закон

распределения. Систематическая

ошибка

отсутствует.

Построить

доверительный

интервал

для

истинного

сопротивления резистора с надежностью 0,99 в предположении:

а) дисперсия ошибки измерения известна и равна четырем;

б) дисперсия ошибки измерения неизвестна.

Решение. В данной серии из девяти наблюдений

=

592 +595+K +590

= 593.

Х

9

а)

Если

дисперсия

ошибки

измерения

известна, то

можно

воспользоваться формулой (3.4.3). Для этого из таблицы функции Лапласа

(см. прил., табл. П2) находим, что 2F(2,58) = 0,99,

т.е. уровню надежности

0,99 соответствует значение tg =2,58. Тогда по формуле (3.4.3)

593 - 2,58 ×	2			< M ( X ) < 593 + 2,58 ×	2
9			9

196