4. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Пусть T –– некоторое множество действительных чисел. Случайной функцией называется совокупность случайных величин{X (t)} , зависящих

от параметра t ÎT .		При	каждом фиксированном		значении параметра
t = t0 ÎT имеем дело		со	случайной величинойX (t0 ) , которую называют
сечением	случайной функции при данном			значении параметраt = t0 . Роль
параметра чаще всего играет время или координата. Параметр может быть
и многомерным. Если параметр многомерный, то говорят о случайных
полях. Примером двумерного случайного поля может служить поверхность
волнующегося моря.
При	наблюдении		случайной	функции	мы получаем одну из

возможных ее реализаций –– неслучайную функцию. Поэтому случайную функцию можно рассматривать как совокупность всех ее возможных реализаций (см. рис. 4.1, на котором жирной линией выделена одна из

возможных реализаций, а	точками	отмечены	возможные значения
случайной величины X (t0 ) ).

			Рис. 4.1
Если	роль	параметраt играет			время,		то	случайную функцию
называют	случайным		процессом.	Если			параметр		дискретный, то
соответствующие		ему	случайные			величины			образуютслучайную
последовательность.
С изменением параметраt				изменяется				и закон распределения
случайной величины X (t) . Этот закон распределения можно задать в виде
функции распределения			F (x / t) = P{X (t) < x}.
Если функция распределения F (x / t) дифференцируема, то
			f (x / t) =	¶F (x / t)
				¶x

называется функцией плотности вероятности.

260

Для	дискретной	случайной	величины		одномерный		зако
распределения	задается	перечислением		возможных		значений
соответствующих им вероятностей
	P{X (t) = xk } pk (t), å=pk (t) 1.
		k
Конечномерным законом распределения случайной функцииX (t)
называется закон распределения n сечений случайной функции
	{X (t1 ), X (t2 ),K, X (tn )}, n Î N ,		t1,t2 ,K,tn ÎT.

Проследить за изменениями всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, как правило, практически невозможно. Поэтому обычно ограничиваются анализом числовых характеристик случайной величины X (t) . В первую очередь интересуются математическим ожиданием (начальным моментом первого порядка), дисперсией (центральным моментом второго порядка) и для анализа взаимосвязи между значениями процесса при разных значениях параметра

t рассматривают коэффициент ковариации (ковариационный момент). Математическим ожиданием случайного процесса X (t) называют

неслучайную

функцию mx (t) , значение

которой

при

каждом

фиксированном значении параметраt равно математическому ожиданию сечения процесса при этом значении параметра, т.е.

mx (t) = M [ X (t)] .

Дисперсией случайного

процесса X (t)

называют

неслучайную

функцию Dx (t) , значение которой при каждом фиксированном значении

параметра

t равно

дисперсии

сечения

процесса

при

этом

значении

параметра, т.е.

Dx (t) = D[ X (t)].

На

рис.

4.2

и

рис.

4.3

изображены

несколько

реализаций

соответственно

случайных

процессовX1 (t) и

X 2 (t) ,

которые имеют

одинаковые математические ожидания и дисперсии. Однако характер

протекания

этих

процессов

существенно

различен. У

процесса X1 (t)

реализации

плавные.

Это

свидетельствует

о

зависимости

значений

процесса, отделенных

небольшими промежутками

времени. Процесс

же

X 2 (t) меняется быстро и влияние предыдущих значений процесса быстро иссякает.

261

Рис. 4.2

Рис. 4.3

Для описания этих особенностей процесса существует специальная

характеристика,

которая

называется корреляционной функцией (иногда

говорят об автокорреляционной функции).

процесса X (t)

Корреляционной

функцией случайного

называют

неслучайную

функцию Kx (t1,t2 ) ,

значение

которой

при

каждых

фиксированных

значениях

параметраt1 и

t2

равно

коэффициенту

ковариации величин X (t1 )

и X (t2 ) , т.е.

Kx (t1,t2 ) = M [( X (t1) - mx (t1))( X (t2 ) - mx (t2 ))].

При равных

между

собой

аргументахt = t

2

= t

корреляционная

функция равна дисперсии случайного процесса:

1

K

x

(t,t) = M[ X (t) - m

(t)]2 = D (t).

x

x

Отметим некоторые свойства корреляционной функции:

1. При перестановке аргументов корреляционная функция не меняется:

Kx (t1,t2 ) = K x (t2 ,t1 ).

2. Прибавление к случайной функцииX (t) неслучайной функции j(t) не меняет ее корреляционной функции. Если Y (t) = X (t) + j(t), то

K y (t1,t2 ) = Kx (t1,t2 ).

3. При	умножении случайной функцииX (t)	на	неслучайную
функцию j(t)	корреляционная функция умножается	на	произведение
j(t1 )j(t2 ) . Если Y (t) = j(t) X (t), то
	K y (t1,t2 ) = j(t1 )j(t2 )Kx (t1,t2 ).

При решении некоторых научно-технических задач приходится иметь дело со случайными процессами, которые удается описать комбинацией простых (элементарных) функций, в которые в качестве параметров входят случайные величины. Такие случайные функции называют элементарными случайными функциями.

262

Например,

W (t) = X sin(Yt + Z ),

где

случайными

величинами

являются амплитуда X, частота Y и фаза Z гармонических колебаний.

Пример

4.1.

Элементарная

случайная

функция

имеет

вид

Z (t) = X sin(Yt),

где X

и Y

независимы,

причем X имеет

плотность

вероятности

f (x) = lexp(-lx),

l > 0,

x ³ 0

(показательный

закон

распределения с параметромl), а случайная величинаY равномерно

распределена в

отрезке [0, a] .

Требуется

найти

для Z (t)

математическое

ожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию.

Решение.

Обозначим sin(Y t)

через W (t) .

Учитывая, что

случайная

величина Y равномерно

распределена

на [0, a]

с

постоянной

плотностью

f ( y) =1 / a,

имеем

mw (t) = M [sin(Yt)]

1 a

sin( yt)dy

1 - cos at

.

=

=

Поэтому

a ò0

at

1

1 - cos at

mz (t) = M=( X )M [sin(Yt)]

×

,

l

at

так как

для

показательного

закона

распределенияm = M =( X )

1 / l.

Вычислим

x

KZ (t1,t2 ) = M{[ X sin(Yt1) – mxmw (t1)][ X sin(Yt2 ) – mxmw (t2 )]} =

= M{X 2 sin(Yt )sin(Yt

) – m m (t ) X sin(Yt

2

) – m m (t

) X sin(Yt ) +

1

2

x

w

1

x w

2

1

+(m

)2 m (t )m (t

)} =M ( X 2 )M [sin(Yt )sin(Yt

)] – (m

)2 m (t )m (t

) –

x

w

1

w 2

1

2

x

w

1

w

2

–(mx )2 mw (t2 )mw (t1) + (mx )2 mw (t1)mw (t2 ) =

= M ( X 2 )M [sin(Yt1)sin(Yt2 )] – (mx )2 mw (t1)mw (t2 ).

Для показательного закона распределения двукратное интегрирование по частям дает

¥

M ( X 2 ) = òx2l e-lx=dx 2 / l2 ,

0

a ò0

а M [sin(Yt )sin(Yt

)] =

1

a sin ( yt ) sin( yt

) dy

=

1

2

1

2

=

1

a {cos[ y(t - t

)] - cos[ y(t

+ t

)]} dy

1

é

sin=a(t1 - t2 )

-

sin a(t1 + t2 )

ù.

2a

2a

ò

1

2

1

2

ê

t

- t

2

t

+ t

2

ú

0

ë

1

1

û

Поэтому и при t1 < t2

и при t1 > t2

K

(t t

) =

1

é

sin a(t1 - t2 )

-

sin a(t1 + t2 )

ù

-

1

×

1 - cos at1

×

1 - cos at2

.

al2

l2

Z

1, 2

ê

t - t

2

t + t

2

ú

at

at

ë

1

1

û

263

Для вычисления дисперсии возьмем в полученном выражении t1 = t2 = t :

D (t) =

1

é

a -

sin 2at ù

-

(1 - cos at)2

.

2

ê

ú

2

z

al

2t

(a tl)

ë

û

Ответ. m

(t) =

1

×

1 - cos at

, D (t)

=

1

é

a -

sin 2at

ù

-

(1 - cos at)2

.

ê

ú

2

2

z

l

at

z

al

2t

(a tl)

ë

û

Задача 4.1. Элементарная случайная функция задана равенством

Z (t) = X exp(Yt),

где X и Y независимы,

причем X имеет M ( X ) = m , D( X ) = s2 , а случайная

величина Y

равномерно

распределена

в

отрезке[0, a] . Найдите

математическое ожидание mz (t) , дисперсию Dz (t) и автокорреляционную функцию KZ (t1,t2 ). (См. пример 4.1, a –– номер варианта.)

Пример 4.2. Пусть X1, X 2 ,¼, X n ,¼ –– последовательность

независимых случайных величин с функцией плотности вероятности f (x) = ax-(a+1) при x ³1 и f (x) = 0 при x <1, a > 0 .

Говорят, что последовательность {X i } превышает уровеньu (выходит за уровень u) в момент j, если X j > u . Рассмотрим N (u) = min{i ³1: Xi > u} ––

момент первого выхода последовательности(случайного процесса с

дискретным

временем) за уровень u.

Требуется

найти

распределение

случайной величины N (u) и ее математическое ожидание.

Решение. Вычислим

¥

1

p = P( X i > u) ò=ax-a-1dx= -x-a

¥u

=

.

a

u

u

Тогда P( Xi

£ u) =1 – 1 / ua и

æ

1 ök -1 1

P(N (u) = k) = ç1

-

÷

u

a

u

a

è

ø

–– это геометрический закон распределения.

распределенияP( X = k) = pqk -1 ,

Но

для геометрического закона

¥

k =1,2,3,¼,

M ( X ) = påk qk -1 =1 / p .

В

нашем

случае

рольp играет

k =1

величина 1 / ua. Поэтому

M (N (u)) =

1

= ua.

1 / ua

264

æ

1 ök -1 1

M (N (u)) = u

a

Ответ.

P(N (u) = k) = ç1

-

÷

, k

=1,2,3,¼;

.

u

a

u

a

è

ø

Задача

4.2.

Пусть X1, X 2 ,¼, X n ,¼

––

последовательность

независимых случайных величин с функцией плотности вероятности

f (x) = 2a2 x exp{–(ax)2},

x ³ 0,

a > 0.

Обозначим момент первого выхода последовательности за уровеньu через

N (u) = min{i ³1: X i > u}. Найдите

распределение

случайной

величины

N (u) и ее математическое ожидание. (См. пример 4.2, a –– номер варианта.)

Пример

4.3.

Пусть X1, X 2 ,¼, X n ,¼

––

последовательность

независимых

случайных

величин

с

нулевыми

математическим

ожиданиями

и

равными

дисперсиямиD( X i ) = D .

Требуется

найти

корреляционную

функцию

для

случайной

последовательност

Yn = X n + X n +1,

n = 0,1, 2,K .

Решение. Так как математические ожидания случайных величин

o

равны нулю, то X = X . Поэтому

oo

K y (s) = M [Yn Y n+s ] = M [YnYn+s ] =M [( X n + X n+1)( X n+s + X n+s+1)] .

При s = 0

K y (0) = M[( X n + X n+1)( X n + X n+1)] =

= M[( X 2 ) + M[ X X + ] + M [ X + X ] + M [ X 2+ ] D=+ D 2D. =

n n n 1 n 1 n n 1

При s =1

K y (1) = M [( X n + X n+1)( Xn+1 + X n+2 )] =

= M[ X X + ] + M [ X X + ] + M [ X 2+ ] + M [ X + X + ] = D.

n n 1 n n 2 n 1 n 1 n 2

При остальных s = 2,3,¼ величина K y (s) = 0.

Ответ. K y (0) = 2D , K y (1) = D , при остальных s = 2,3,¼ величина

K y (s) = 0.

Задача 4.3. Пусть X1, X 2 ,¼, X n ,¼ –– последовательность независимых
случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и равными
дисперсиями D( Xi ) = D.	Найдите	корреляционную	функцию	для
случайной последовательности
Yn = X n + aX n +1 + bX n +2 =,		n 0,1,2,¼,

где a и b –– постоянные величины. (См. пример 4.3, a –– последняя цифра номера варианта, b = a +1.)

265

Пример 4.4. Все положения случайной точки ( X ,Y ) равновозможны

в области D ={(x, y) : x2 + y2 £1, x ³ 0, y ³ 0}. Для случайного процесса

Z (t) = X cos wt + Y sin wt, постоянная w > 0 ,

требуется

найти

математическое

ожиданиеmz (t),

дисперсию

Dz (t) и

корреляционную функцию Kz (t1,t2 ).

Решение. По свойствам математического ожидания

M [Z (t)] = cos wt × M ( X ) + sin wt × M (Y ).

Так как площадь областиD равна p / 4 ,

а все положения случайной

точки ( X ,Y )

в

этой

области

равновозможны, то плотность

вероятности

случайной точки f (x, y) = 4 / p при (x, y) Î D и

f (x, y) = 0

при остальных

(x, y).

Маргинальная плотность вероятности случайной величины X равна

1-x2

4

2

f (x) =

ò

p

4 / p dy =

1 - x .

Поэтому

0

1

4

1

2

1

4

4

2

2

1/2

2

2

3/2

M ( X ) =

òx 1 - =x

dx -

ò(1 - x

)

d (1 - =x

) dx -

(1 - =x

)

.

p

0

p

0

3p

0 3p

Аналогично,

M (Y ) =

4

. Поэтому

3p

4

m (t) = M [=Z (t)]

(cos wt + sin wt),

z

3p

а Z (t) = X cos wt + Y sin wt –

4

cos wt – 4 sin wt =

o

4 ö

3p

4

3p

æ

æ

ö

o

o

=

ç X -

÷cos wt +

çY –

÷sin wt

= X cos wt + Y sin wt.

3p

è

3p ø

è

ø

Вычислим дисперсию X. Так как

4

1

ìx = sin t,

dx = cost dt

ü

M ( X 2 ) =

x2 1 - x2

dx

=

í

ý

ò0

p

îx = 0 Þ t = 0,= x 1Þ t = p / 2þ

4 p/2

2

2

1 p/2

2

1 p/2

1 - cos 4t

=

ò sin

t cos

t dt=

ò sin

2t dt =

ò

dt

=1 / 4,

2

p

0

p

0

p

0

то D( X ) =

1

æ 4 ö2

9p2 - 64

.

что D(Y ) =

9p2 - 64

-

ç

÷ =

Аналогично находим,

.

4

36p

2

36p

2

è 3p ø

Вычислим теперь корреляционную функцию процесса:

o

o

o

o

o

o

Kz (t1,t2 ) = M [Z=(t1) Z (t2 )]

M[( X cos wt1 +Y sin wt1)( X cos wt2 +Y sin wt2 )] =

= cos wt cos wt

o

o

o

o

M ( X 2 ) + sin wt sin wt

2

M (Y 2 ) + cos wt sin wt

M ( X Y ) +

1

2

1

1

2

266

o

o

2

9p - 64

+cos wt

sin wt M=( X Y )

(cos wt cos wt

+ sin wt sin

2

1

36p2

1

2

1

+cov( X ,Y )(coswt1 sin wt2 + cos wt2 sin wt1) =

=

9p2 - 64

cos w(t

- t

) + cov( X ,Y )sin w(t

+ t

).

36p2

1

2

1

2

éæ

4 öùæ

4 ö

Вычислим cov(X ,Y ) = M êç

X –

÷úçY –

÷

=

ëè

3p øûè

3p ø

= M ( XY ) –

4

M ( X ) –

4

M (Y ) +

16

= M ( XY ) –

16

3p

9p2

9p2

3p

wt2 ) +

.

4

1

1-x2

2

1

1

Но M ( XY ) =

òdx =ò

xy dy

òx(1 - x2 ) dx =

.

Поэтому

p

0

0

p

0

2p

cov( X ,Y ) =

1

-

16

=

9p - 32

.

9p2

С учетом этого получаем

2p

18p2

K

(t ,t

) =

9p2

- 64

cos w(t

- t

) +

9p - 32

sin w(t

+ t

),

z

36p2

18p2

1 2

1

2

1

2

D (t) = K

(t,t)

9p2 - 64

9p - 32

sin 2wt.

=

+

18p2

z

4

z

36p2

Ответ. mz (t) =

(cos wt + sin wt),

3p

D (t) =

9p2 - 64

+

9p - 32

sin 2wt,

36p2

18p2

z

K

(t ,t

) =

9p2

- 64

cos w(t - t

) +

9p -

32

sin w(t

+ t

).

z

36p2

18p2

1 2

1

2

1

2

Задача 4.4. Все положения случайной точки ( X ,Y ) равновозможны в

области D, ограниченной прямыми линиями:

x + y = a ,

x = 0,

y = 0 . Для

случайного процесса

Z (t) = X cos wt + Y sin wt,

w > 0

требуется найти

математическое

ожиданиеmz (t) , дисперсию Dz (t) и

корреляционную функцию Kz (t1,t2 ) . (См. пример 4.4, a –– номер варианта.)

	Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (t) и
Y (t)	называют	неслучайную функциюR	(t ,t	2	)	двух независимых
		xy	1
аргументов t1 и t2,		значения которой равны	корреляционному моменту

случайных величин X (t1 ) и Y (t2 ) :

267

oo

Rxy (t1,t2 ) = M [ X (t1 )Y (t2 )].

Коррелированными называют две случайные функции, если их взаимная корреляционная функция не равна тождественно . нулюВ противном случае говорят о некоррелированных случайных функциях.

r

Если рассматривать многомерный случайный процессX (t) ={X1(t), X 2 (t),¼, X n (t)}, то он имеет характеристики

m (t) = M ( X=),

K

(=t ,t

)

o

o

(t

)],

(i 1,2,3,¼, n).

i

M [ X

i

(t ) X

i

i

1 2

1

i

2

Эти

характеристики

описывают

поведение

отдельно

взятых

координат случайного процесса, но не учитывают взаимодействие между

ними. В

качестве

характеристики

взаимозависимости

координат

случайного

процесса

используют взаимную

корреляционную

функцию

o

o

Rij (t1,t2 ) = M [ X i (t1) X j (t2 )].

В

общем

случае

взаимная

корреляционная

o

o

o

o

функция Rij (t1,t2 ) = M [ X i (t1 ) X j (t2 )] не равна Rij (t2 ,t1 ) = M [ X i (t2 ) X j (t1)] , так

как ковариация между сечениями X i (t1 )

и X j (t2 )

(точки 1 и 2 на рис. 2.4.4),

вообще говоря,

не равна ковариации между сечениями X j (t1 )

и X i (t2 ) (на

рис. 4.4 точки 3 и 4).

Рис. 4.4

В терминах характеристик второго порядка, например, двумерный случайный процесс {X1 (t), X 2 (t)} описывают вектором средних значений {M [ X1 (t)], M [ X 2 (t)]} и матрицей корреляционных функций

	æ R (t ,t		)	R (t ,t		) ö
	ç 11 1	2		12 1	2		÷ .
	è R21 (t1,t2 )			R22 (t1 ,t2 ) ø
Наглядным	примером			двумерного			случайного	процесса(или

случайного поля) может служить поверхность моря.

268

Пример 4.5. Даны два случайных процесса

X (t) = U cos t +V sin t и Y (t) =U cos t – V sin t,

где случайные величиныU и V независимы

и

имеют

равные

дисперсии

D(U ) = D(V ) = D.

Требуется

найти взаимную

корреляционную функцию

этих процессов.

Решение. Так как M ( X ) = M (U )cost +M (V )sint, то

o

o

o

X (t) =U cost +V sin t –=M (U )cost – M (V )sin t

U cos t +V sin t.

o

o

o

Аналогично, Y (t) =U cost –V sin t. Тогда

o

o

o

o

o

o

Rxy (t1,t2 ) = M [ X (t1)Y=(t2 )]

M [(U cos t1 +V sin t1)(U cos t2 -V sin t2 )] =

= cos t cost

o

o o

o

o

o

M (U 2 ) + sin t cost

M (V U ) – cost sin t

2

M (U V ) – sin t sin t

M (V 2 ).

1

2

1

2

1

1

2

Величины U и V независимы, а значит и некоррелированы. Поэтому

o o

С

учетом

, тогочто

o

а

cov(U ,V ) = M (U V ) = 0.

M (U 2 ) = D(U ) = D,

o

M (V 2 ) = D(V ) = D, получаем

Rxy (t1,t2 ) = D(cos t1 cos= t2 – sin t1 sin t2 )

D cos(t1 + t2 ).

Ответ. Rxy (t1,t2 ) = D cos(t1 + t2 ).

Задача 4.5. Даны два случайных процесса

X (t) = bU cost +V sin t и Y (t) =U cos t – bV sin t,

где случайные величиныU и V независимы

и

имеют

равные

дисперсии

D(U ) = D(V ) = D.

Найдите

взаимную

корреляционную функцию

этих

процессов. (См. пример 4.5, b –– номер варианта.)

Пример 4.6. Даны два случайных процесса X (t) =Ut и Y (t) =U +Vt,

где U и V	независимы, имеют				M (U ) = M (V ) = 0				и D(U ) = D(V ) = D.
Требуется найти взаимную корреляционную функцию этих процессов.
Решение. Так как M [ X (t)] = M (Ut) = tM (U ) = 0									и M [Y (t)] =
									o	o
= M [U +Vt] M=(U ) + tM (V ) = 0, то Rxy (t1,t2 ) = M [( X (t1)Y (t2 )] =
	= M [(Ut )(U +Vt			)] t M=(U 2 ) + t			M (UV ) = t D.
		1	2		1	2			1
Ответ.	Rxy (t1,t2 ) = t1D.
Задача	4.6.	Даны	два		случайных			процессаX (t) =Ut + aV			и
Y (t) = bU +Vt,	где U и V			независимы, имеют					M (U ) = M (V ) = 0		и
D(U ) = D(V ) = D.		Найдите	взаимную			корреляционную				функцию	этих
процессов. (См. пример 4.6, a –– номер варианта,								b = a +1.)

269

Пусть X (t) и Y (t) –– две случайные функции, а случайная функция

Z (t)	равна Z (t) = X (t) + Y (t) .				Выразим	характеристики Z (t)				через
характеристики X (t) и Y (t) .
	Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно
сумме математических ожиданий этих функций:
			mz (t) = mx (t) + my (t).
		o
Заметим, что Z (t) = M (Z (t) - mz (t)) = M [ X (t) + Y (t) - mx (t) - my (t)] =
							o	o
		= M [ X (t) - mx (t)] + M [Y (t) - my (t)]= X (t) +Y (t).
		o	o		o	o	o		o
Поэтому Kz (t1,t2 ) = M[Z (t1)=Z (t2 )]					M{[ X (t1) +Y (t1) ][ X (t2 ) +Y (t2 )]} =
	o	o	o	o	o	o		o	o
	= M [ X (t1) X (t2 )] + M[Y (t1)Y (t2 )] + M[ X (t1)Y (t2 )] + M [Y (t1) X (t2 )] =
		= Kx (t1,t2 ) + K y (t1,t2 ) + Rxy (t1,t2 ) + Ryx (t1,t2 ).								(4.1)
	Легко	видеть, что	для	процесса Z (t) = X (t) – Y (t)					корреляционная
функция имеет вид:
		Kz (t1,t2 ) = Kx (t1,t2 ) + K y (t1,t2 ) – Rxy (t1,t2 ) – Ryx (t1,t2 ).								(4.2)
	Пример 4.7. Случайный процесс X (t) = sin(t +a) ,							а Y (t) = a sin t, где

a –– случайная величина с равномерным законом распределения на [-p, p].

Необходимо

найти

корреляционную

функцию

случайного

процесса

Z (t) = X (t) + Y (t) .

Решение.

Прежде

всего

вычислим

математические

ожидания

случайных процессов. Случайная величина a равномерно распределена на

[-p, p] с плотностью вероятности равной 1/2p. Поэтому

M [ X (t)] =

1

p sin(t + a) da=

-

1

cos(t + w)

-pp = 0,

2p -òp

2p

sin t

p

sin t

é

p

2

p

2

ù

M [Y (t)] =

= a da

-

= 0.

ê

ú

2p

-òp

2p

ë 2

2

û

Вычислим величины необходимые для использования формулы (4.1):

Kx (t1,t2 ) = M [sin(t1 + a) ×sin(t2 + a)]											1		p	sin(t1 + a)sin(t2 + a) da =
												=
												2p	-òp
		=	1		p [cos(t	- t	) - cos(t		+ t	2	+ 2a)] da =				1	cos(t			– t	);
			4p		1	2		1						2		1			2
					-òp
														M (a2 )			p2
K	y	(t ,t		) = M [a sin t ×a sin t				]	sin t sin=t									sin t =sin t			;
		1	2			1	2				1		2			3			1	2

270