Ответ. 19/22.

Задача 2.22. В каждой из трех одинаковых внешне урн находитсяn шаров. В первой урнеk1 белых, а остальные черные, во второй урнеk2 белых, а остальные черные, в третьей урне все шары черные. Из взятой

	наугад урны			извлекли		один			за		другимm			шаров. Все			они		оказались
	черными.		Какова		вероятность				того, что следующий шар тоже будет
	черным? (См. пример 2.22 и исходные данные.)
		Исходные данные к задаче 2.22.
	№	n	m	k1	k2	№	n			m		k1		k2	№	n		m		k1	k2
	1	6	2	1	2	11		6		2		3		4	21	6		3		2	2
2		8	2	2	2	12		8		2		3		2	22	8		2		3	3
3		10	2	5	5	13		8		2		5		5	23	8		3		4	3
4		6	2	2	2	14		6		2		4		3	24	10		3		5	5
5		8	2	3	4	15		8		2		4		4	25	6		3		2	1
6		6	2	3	2	16		8		3		4		5	26	8		3		4	5
7		8	3	3	2	17		6		3		1		2	27	8		2		2	1
8		6	2	2	3	18		8		2		2		3	28	8		3		3	5
9		8	2	4	3	19		8		3		3		4	29	8		3		4	4
10		10	2	4	4	20		8		3		5		4	30	10		2		4	6

2.6.Повторные независимые испытания

2.6.1.Формула Бернулли

Опыты называются независимыми, если вероятность каждого исхода любого опыта не изменяется от того, какие исходы имели другие опыты.

Пусть производится n независимых опытов и известнаP( A) = p ––

вероятность появления событияА в каждом из опытов( P( A) =1 – р = q ). Тогда вероятность того, что в n независимых опытах событиеА появится ровно k раз, равна по формуле Бернулли

P (k) = Ck pk qn-k .		(2.6.1)
n	n

Число k = k0 , при котором вероятность Pn (k) принимает наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом появления события.

Если (n +1) р –– число дробное, то k0 равно целой части числа (n +1) р . Если же (n +1) р –– число целое, то k0 принимает два значения: k0 = (n +1) р – 1 и k0 = (n +1) р.

Пример 2.23.1. Предположим, что 30% студентов нашего института занимаются спортом. Какова вероятность того, что среди первых пяти встречных студентов окажется только один спортсмен? Какова вероятность

51

того, что среди них есть хотя бы один спортсмен? Каково наиболее вероятное число спортсменов среди них?

Решение. Так как студентов в институте много(несколько тысяч), то

по мере опроса нескольких из			них	пропорции		в	оставшейся части
практически не изменяются. Поэтому			можно		считать	опрос каждого
студента независимым опытом. Всего			опытов		производитсяn = 5,			а
вероятность положительного ответа p = 0,3.				По формуле Бернулли(2.6.1)
имеем P (1) = C1 ×0,3 × (0,7)4 = 0,36015.			Вероятность			хотя	бы	одного
5	5
правильного ответа проще вычислять, если перейти к противоположному
событию:	P (k ³1)	1 – P (0)= 1 – (0,7)5	=1 – 0,16807		=0,83193.		=Так	как
	5	5

(n +1) р =(5 +1)0,3 =1,8 (целая часть числа равна 1), то наиболее вероятное число спортсменов среди пяти опрошенных k0 =1.

Ответ. 0,36015; 0,83193; 1.

Пример 2.23.2. На каждый вопрос предлагаетсятри возможных
ответа, из	которых следуетвыбрать			один правильный. Задано пять
вопросов. Какова вероятность того, что путем простого угадывания удастся
правильно ответить на четыре вопроса? Какова вероятность угадать
правильный ответ хотя бы на один вопрос?
Решение.		Выбор	ответа на	вопрос можно		рассматривать	как
независимый опыт. Всего таких опытов производится n = 5,						а вероятность
успеха в каждом опыте равнар =1 / 3.				Тогда вероятность путем простого
угадывания	правильно		ответить	на	четыре вопроса P5равна(4) =
=С4 (1 / 3)4=(2 / 3)1		10 / 243 »1 / 24.
5
Вероятность угадать хотя бы один правильный ответ равна
P (k ³1)		1 – P (0)	1 – (2 /=3)5	1 – 32 / 243=211/243 » 7 / 8.			=
5		5

Ответ. 10 / 243 »1 / 24; 211/243 » 7 / 8.

Задача 2.23. Из кошелька на стол высыпали n монет.

а) Какова вероятность того, что k из них упали гербом вверх?

б) Какова вероятность того, что не менее k из них упали гербом вверх? в) Каково наиболее вероятное число монет, упавших гербом вверх? (См. примеры 2.23.1, 2.23.2 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.23.

№	n	k	№	n	k	№	n	k	№	n	k	№	n	k	№	n	k
1	4	1	6	5	3	11	6	4	16	7	4	21	8	3	26	9	2
2	4	2	7	5	4	12	6	5	17	7	5	22	8	4	27	9	3
3	4	3	8	6	1	13	7	1	18	7	6	23	8	5	28	9	4
4	5	1	9	6	2	14	7	2	19	8	1	24	8	6	29	9	5

52

5

5

2

10

6

3

15

7

3

20

8

2

25

9

1

30

9

6

Пример 2.24. Вероятность попадания в цель при выстреле равна0,3. Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы вероятность поражения цели была больше 0,9?

Решение. Каждый выстрел можно рассматривать как независимое испытание, и в каждом из них вероятность появления события(попадания

в цель) равна р = 0,3. Цель будет поражения, если в n выстрелах будет хотя бы одно попадание, вероятность чего равна

Pn (k ³1) =1 – Pn (0) > 0,9 Þ1 - (0,7)n > 0,9 Þ (0,7)n < 0,1 Þ n ³ 7.

Ответ. n ³ 7.

Задача 2.24.1. Для игрока в баскетбол вероятность забросить мяч в корзину со штрафного броска равнаp. Сколько бросков надо предоставить игроку, чтобы вероятность попадания в корзину хотя бы один раз было больше P = 0,9 ? (См. пример 2.24, p = 0, n, n –– номер варианта, для девятого варианта n = 35. )

Задача 2.24.2. В отделе технического контроля проверку каждой большой партии изделий производят следующим образ: омтбирается наугад n изделий и если среди них окажется хотя бы одно бракованное изделие, то партия направляется на пересортировку. Каков должен быть объем случайной выборки( n = ? ), чтобы партии, содержащие более k% брака, были отвергнуты с вероятностью большей, чем P?

В вариантах 1–9 величина k равна последней цифре номера варианта, а

P = 0,9.

Для вариантов 11–19 величина k равна последней цифре номера варианта, а P = 0,95.

В вариантах 21–29 считайте P = 0,98, а величину k возьмите равной последней цифре номера варианта.

В вариантах 10, 20, 30 возьмите P = 0,99, а k равным первой цифре номера варианта.

(См. пример 2.24.)

Пример 2.25. Монету подбрасывают до тех ,порпока герб не выпадет три раза. Какова вероятность того, что до этого цифра выпадет пять раз?

Решение. Всего должно состояться восемь подбрасываний монеты. Чтобы опыт закончился именно на восьмом броске, необходимо при восьмом подбрасывании получить герб, вероятность чего равна1/2, и до

53

этого при семи подбрасываниях герб должен выпасть ровно два, раза вероятность чего по формуле Бернулли (2.6.1) равна

P7 (2) = C72 (1 / 2)2 (1 / 2)5 = 21 / 128.

В силу независимости опытов искомая вероятность равна(21 / 128)(1 / 2) =

= 21 / 256 »1 / 13.

Ответ. 21 / 256 »1 / 13.

Задача 2.25. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна p. Стрельба производится доn попаданий. Какова вероятность того, что при этом будет m промахов? (См. пример 2.25 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.25.

№ n m p № n m p № n m p № n m p № n m p

1	2	3	0,3	7	5	4	0,4	13	4	5	0,4	19	5	5	0,2	25	6	3	0,4
2	3	3	0,4	8	3	5	0,2	14	4	5	0,2	20	5	5	0,4	26	7	2	0,2
3	4	3	0,2	9	3	6	0,4	15	5	2	0,4	21	6	2	0,3	27	7	3	0,3
4	5	3	0,5	10	3	7	0,3	16	5	2	0,6	22	6	3	0,2	28	5	6	0,4
5	5	2	0,3	11	4	3	0,3	17	5	3	0,3	23	6	4	0,6	29	7	4	0,3
6	5	4	0,6	12	4	4	0,2	18	5	4	0,3	24	6	2	0,5	30	7	5	0,4

Пример 2.26. Из начала координат начинает движение .точкаНа

каждом шаге	она с вероятностьюp =1 / 2	сдвигается на единицу вверх или
вероятностью	q =1 – p =1 / 2 сдвигается	на	единицу	вправо. Какова

вероятность того, что после восьми шагов частица окажется в точкеA (5;3)? Какова вероятность того, что за эти восемь шагов частица поднимется не менее, чем на пять единиц вверх?

Решение. Каждый шаг частицы можно считать независимым испытанием. Частица после восьми шагов окажется в точкеA(5;3), если из

восьми шагов три будут сделаны вверх(а остальные пять–– вправо), вероятность чего по формуле Бернулли (2.6.1) равна

P (3) = C3		(1 / =2)5 (1 / 2)3 7 / 32 » 0, 22.
8	8
Частица поднимется		не менее чем на пять единиц вверх, если не

менее пяти шагов из восьми будут сделаны вверх. Вероятность этого равна

P8 (k ³ 5) P=8 (5) + P8 (6) + P3 (7) + P8 (8) = 93 / 256 » 0,36.

Ответ. 93 / 256 » 0,36.

Задача 2.26.1. Из начала координат начинает движение точка. На каждом шаге она с вероятностьюp сдвигается на единицу вверх или вероятностью q =1 - p сдвигается на единицу вправо. Какова вероятность того, что после n шагов частица окажется в точкеA(k;n - k) ? Какова вероятность того, что за эти n шагов частица поднимется не более, чем на k единиц вверх? (См. пример 2.26 и исходные данные.)

54

Исходные данные к задаче 2.26.1.

№ n p k № n p k № n p k № n p k № n p k

1	9	1/2	3	7	5	1/4	1	13	9	1/4	2	19	7	1/2	1	25	7	1/3	1
2	5	1/2	2	8	9	2/3	2	14	6	1/2	0	20	8	1/2	3	26	8	2/3	3
3	8	1/2	2	9	6	1/4	4	15	6	1/2	2	21	7	2/3	3	27	9	3/4	1
4	8	1/3	3	10	6	1/4	0	16	6	1/2	4	22	8	2/3	1	28	7	1/4	3
5	9	1/3	2	11	6	1/4	2	17	7	1/2	5	23	7	1/3	5	29	8	1/4	3
6	5	1/3	2	12	8	1/4	3	18	7	1/2	3	24	7	1/3	3	30	7	1/4	5

Задача 2.26.2. Частица в начальный момент времени находится в начале координат. В каждую из последующихn секунд она сдвигается с вероятностями, равными 1/2, на единицу вправо или влево независимо от движений в предшествующие секунды. Какова вероятность того, что через

n секунд частица окажется в точке с координатойk? (См. пример 2.26 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.26.2.

№	n	k	№	n	k	№	n	k	№	n	k	№	n	k	№	n	k
1	8	6	6	8	–6	11	9	3	16	9	–7	21	10	–6	26	12	4
2	8	4	7	10	8	12	9	1	17	10	4	22	10	–8	27	12	2
3	8	2	8	10	6	13	9	–1	18	10	2	23	12	10	28	12	–2
4	8	–2	9	9	7	14	9	–3	19	10	–2	24	12	8	29	12	–4
5	8	–4	10	9	5	15	9	–5	20	10	–4	25	12	6	30	12	–6

Пример 2.27. Каждый из двух стрелков четыре раза стреляет в цель. Вероятности попасть в цель при каждом выстреле равны для них соответственно 0,6 и 0,8. Какова вероятность того, что у первого будет два промаха, а у второго только один? Какова вероятность того, что у стрелков будет равное число попаданий?

Решение. Каждый выстрел можно считать независимым опытом. Первый стрелок должен в четырех выстрелах попасть два раза, вероятность чего по формуле Бернулли (2.6.1) равна

P4 (2) = C42 (0,6)2 (0, 4)2 = 0,3456.

Второй должен попасть три раза, вероятность чего равна

	P (3) = C3 (0,8)3		(0, 2)1	= 0, 4096.
	4	4
Вероятность двух промахов у первого стрелка и одного промаха у
второго	стрелка	, равна		силу	независимости	, опытов
0,3456 ×0, 4096 = 0,1416.

Вероятность того, что у каждого стрелка будет m попаданий равна

C4m (0,6)m (0, 4)4-m C4m (0,8)m (0, 2)4-m.

Поэтому вероятность равного числа попаданий равна

4

åC4m (0,6)m (0, 4)4-m C4m (0,8)m (0, 2)4-m = 0, 2102.

m=0

55

Ответ. 0,3456; 0,2102.

Задача 2.27. Биатлонисту на каждом из двух рубежей необходимо поразить пять мишеней. Вероятность поразить мишень при выстреле лежа (на первом рубеже) равна p1, а при выстреле стоя(на втором рубеже) эта вероятность равна p2. Какова вероятность того, что оба рубежа биатлонист преодолеет без промахов? Какова вероятность того, что на каждом рубеже биатлонист допустит по одному промаху. Какова вероятность того, что биатлонист допустит только один промах? Какова вероятность того, что на первом рубеже биатлонист допуститk1 промах, а на втором k2 промахов. (См. пример 2.27 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.27.

№	p1	p2	k1	k2	№	p1	p2	k1	k2	№	p1	p2	k1	k2
1	0,95	0,85	0	2	11	0,95	0,75	0	2	21	0,80	0,65	2	2
2	0,95	0,80	1	2	12	0,95	0,70	0	2	22	0,90	0,70	2	2
3	0,90	0,85	0	2	13	0,90	0,65	1	2	23	0,90	0,70	1	2
4	0,90	0,80	0	2	14	0,90	0,60	1	2	24	0,80	0,70	1	2
5	0,90	0,75	1	2	15	0,85	0,60	1	2	25	0,80	0,70	0	3
6	0,90	0,70	0	2	16	0,85	0,80	1	2	26	0,90	0,75	1	3
7	0,85	0,80	1	2	17	0,90	0,70	1	2	27	0,90	0,65	1	3
8	0,85	9,75	0	2	18	0,90	0,75	2	2	28	0,90	0,65	2	2
9	0,85	0,75	1	2	19	0,80	0,75	1	2	29	0,90	0,75	1	2
10	0,80	0,70	2	2	20	0,80	0,65	1	2	30	0,95	0,75	2	2

Пример 2.28. Среди 300

изделий 15 бракованных. Для

проверки

наугад выбрали пять изделий. Какова вероятность того, что среди них нет

бракованных? Сравнить точное значение вероятности с приближенным,

найденным по формуле Бернулли.

Решение. Пусть

A ––

интересующее нас

событие. Выбрать пять

изделий

из 300 можно C5

способами. Событию A благоприятствуют

те

300

способы выбора, при которых пять изделий выбирается из285 годных.

Число таких способов равно C5

. Точное значение искомой вероятности (с

285

точностью до одной десятитысячной) равно P( A) = C5

/ C5

=0,7724.

285

300

Так как партия изделий велика, то выбор одного

за

другим

нескольких изделий не меняет заметно пропорции в этой партии. Поэтому

можно

считать,

что

производится

пять

независимых опытов

и что

вероятность выбора бракованного изделия в каждом опыте примерно равна

p =15 / 300 = 0,05.

По

формуле

Бернулли(2.6.1)

приближенное

значение

равно:

P( A) = P (0) C0 (0,05)0

5

(0,95)=

0,7738.

=

5

5

Ответ. Точное значение 0,7724; приближенное по формуле Бернулли 0,7738.

56

Задача 2.28. При приемочном контроле из партии, состоящей из n изделий, наугад проверяют m изделий. Если среди проверяемых окажется

хотя бы	одно бракованное, то партия бракуется. Какова вероятность
приема	партии, если на самом деле в нейk бракованных изделий?

Сравните точное значение этой вероятности с приближенным, найденным по формуле Бернулли. (См. пример 2.28 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.28.

№ n m k № n m k № n m k № n m k № n m k

1	100	10	1	7	200	10	4	13	75	5	3	19	300	25	3	25	500	25	2
2	100	10	2	8	200	20	2	14	75	10	3	20	300	50	3	26	150	10	3
3	100	10	3	9	200	20	1	15	50	10	1	21	400	40	2	27	150	15	1
4	100	20	1	10	200	30	1	16	100	5	1	22	400	20	2	28	150	30	1
5	100	15	1	11	75	15	1	17	100	15	2	23	500	50	2	29	150	15	2
6	200	10	2	12	50	5	1	18	300	30	3	24	500	25	4	30	200	10	1

Пример 2.29. Два игрока А и В подбрасывают монету. Если монета выпадает гербом вверх, то А получает очко. Если выпадает решка, то очко получает игрок В.

а) Какова вероятность того, что после 10 бросков монеты счет будет равным?

б) Какова вероятность того, что после этих бросков у игрока А будет на два очка больше?

Решение. Каждый бросок монеты можно считать независимым опытом, и таких опытов производится10. Счет будет равным, если в результате десяти бросков герб выпадет пять раз. Вероятность этого по формуле Бернулли (2.6.1) равна

Р (5) = С5		(0,5)= 10	63	»		1			.
10	10		256	4
Игрок А получит на два очка больше, если в десяти бросках герб
выпадет шесть раз, вероятность чего равна			105				1
Р (6) = С6		(0,=5)10			»			.
10	10		512	5

Ответ. 63 / 256 »1 / 4; 105 / 512 »1 / 5.

Задача 2.29. В урне содержитсяm1 белых и m2 черных шаров. Из урны производится повторный выбор n шаров.

а) Какова вероятность того, что будет выбрано равное число белых и черных шаров?

б) Какова вероятность того, что белых будет выбрано на k больше?

в) Какова вероятность того, что будет выбрано не менее двух белых шаров?

57

(См. пример 2.29 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.29.

№	m1	m2	n	k	№	m1	m2	n	k	№	m1	m2	n	k
1	1	2	6	2	11	1	2	12	4	21	4	2	10	4
2	1	2	8	2	12	1	2	10	4	22	2	4	6	2
3	1	2	10	2	13	2	3	6	2	23	2	4	8	4
4	3	1	8	2	14	2	3	8	4	24	2	4	10	4
5	3	1	10	2	15	2	3	10	4	25	4	3	6	2
6	2	1	6	2	16	3	2	6	2	26	4	3	8	2
7	2	1	8	2	17	3	2	8	4	27	4	3	10	4
8	3	1	6	2	18	3	2	10	4	28	3	4	6	2
9	2	1	10	4	19	4	2	6	2	29	3	4	8	4
10	1	2	8	4	20	4	2	8	4	30	3	4	10	4

Пример 2.30. Вероятность того, что в пяти опытах событиеA появится хотя бы один раз, равна 0,92224. Какова вероятность того, в трех опытах это событие появится не более одного раза?

Решение. Пусть вероятность появления события в одном опыте равна p. По условию,

		P (k ³1)= 1 - P=(0)			0	0	q	5	5	0,92224.
					1 - C=p				1 - q=
		5		5	5
Откуда q5 = 0,07776, т.е.				q = 0, 6 , а p = 0, 4 . Поэтому
P (k £1)	P (0)= + P (1)		=C0	(0, 4)0 (0,6)3 + C1 ×0, 4 ×(0,6)2						= 0, 216 + 0, 432 = 0,648.
3	3	3	3			3

Ответ. 0,648.

Задача 2.30. Вероятность того, что в n независимых опытах событие A произойдет хотя бы один раз, равна p. Какова вероятность того, что в m независимых опытах это событие появится не менееk раз? (См. пример 2.30 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.30.

№	n	p	m	k	№	n	p	m	k	№	n	p	m	k
1	3	0,488	4	1	11	3	0,973	5	2	21	3	0,936	5	2
2	4	0,5904	3	1	12	4	0,7599	3	1	22	4	0,7599	3	2
3	3	0,657	2	1	13	3	0,488	2	1	23	3	0,973	4	1
4	4	0,7599	3	2	14	4	0,7599	5	2	24	4	0,7599	5	1
5	3	0,784	5	1	15	3	0,657	5	1	25	3	0,488	5	2
6	4	0,8704	2	1	16	4	0,8704	3	1	26	4	0,8704	5	1
7	3	0,875	4	2	17	3	0,784	5	2	27	3	0,657	4	1
8	4	0,9375	5	1	18	4	0,9375	3	2	28	4	0,9375	5	2
9	3	0,936	2	1	19	3	0,875	2	1	29	3	0,784	2	1
10	4	0,5904	5	1	20	4	0,5904	3	1	30	4	0,9744	5	1

58

Пример 2.31. Вероятность того, что в четырех независимых опытах событие A произойдет два раза, рана 3/8. Какова вероятность того, что в шести независимых опытах событие тоже произойдет два раза?

Решение. Пусть вероятность событияA равна P( A) = p. По формуле Бернулли (2.6.1)

P (2) = C 2 p2 (1 - p)2 = 6 p2		(1 - p)2	= 3 / 8 ,
4	4
откуда p2 (1 - p)2 =1 / 16 или p(1 - p) =1 / 4.
В итоге имеем	равенство4 p2 - 4 p +1 = 0 , из которого следует, что

p =1 / 2. Тогда P6 (2) = C62 0,52 (1 - 0,5)2 =15 / 64.

Ответ. 15/64.

Задача 2.31. Вероятность того, что в четырех независимых опытах событие A произойдет два раза, равна:

8/27 в вариантах 1, 6, 11, 16, 21, 26; 27/128 в вариантах 2, 7, 12, 17, 22, 27; 96/625 в вариантах 3, 8, 13, 18, 23, 28; 25/216 в вариантах 4, 9, 14, 19, 24, 29; 216/625 в вариантах 5, 10, 15, 20, 25, 30.

Внечетных вариантах P( A) = p £1 / 2, в четных вариантах P( A) = p >1 / 2.

Ввариантах 1–10 найдите P5(2), в вариантах 11–20 найдите P5(3), в вариантах 21–30 найдите P5(4).

(См. пример 2.31.)

Пример 2.32. В цехе шесть станков, которые работают независимо друг от друга. В течение рабочего дня(восемь часов) каждый станок простаивает в сумме два часа. Какова доля времени, в течение которой в цехе работает не менее пяти станков?

Решение. Наблюдение над состоянием каждого станка можно

рассматривать как	независимый	опыт, число которых n = 6. Вероятность
застать станок	работающим	равнаp = 6 / 8 = 3 / 4 (в соответствии с

геометрическим определением вероятности). Тогда вероятность застать работающими не менее пяти станков равна

P (k ³ 5)	P (5)=+ P (6)		C5=(3 / 4)5	(1 / 4)1	+ C6	(3 / 4)6 (3= / 4)0	243 / 512 » 0,47.
6	6	6	6		6

Ответ. 243 / 512 » 0,47.

Задача 2.32. На светофоре красный и зеленый свет горят поt сек., а желтый –– 5 сек. Автомобилю предстоит проехатьn перекрестков, на которых светофоры работают независимо друг от. Найдитедруга вероятность того, что:

а) все светофоры автомобиль проедет без остановки;

59