1

p

Rxy (t1,t2 ) = M [sin(t1 + a)×a sin t2=]

sin t2 ×

-òp a sin(t1 + a) da =

2p

1 é

p

p

ù

= sin t2

ê-a cos(t1 + a)

-p + ò cos(t1 + a) daú

=

2p

1

ë

-p

û

= sin t

é-pcos(t

+ p) - pcos(t

- p) + sin(t

+ a=)

p ù

sin t

2

cost .

2 2p ë

1

1

1

-p û

1

Аналогично,

Ryx (t1,t2 ) = sin t1 cost2. По формуле (4.1)

1

p2

K

z

(t

,t

) =

cos(t

- t

) +

sin t

sin t

2

+ sin t

2

cost

+ sin t cos t

2

=

1

2

2

1

2

3

1

1

1

1

p2

=

cos(t

– t

) + sin(t

+ t

) +

sin t sin t

.

2

1

2

1

2

3

1

2

1

p2

Ответ.

cos(t

– t

) + sin(t

+ t

) +

sin t

sin t

.

2

1

2

1

2

3

1

2

Задача 4.7. Случайный процесс X (t) = cos(wt +a), а Y (t) = a sin t, где
a –– случайная величина с равномерным законом распределения на [-p, p].
Необходимо	найти		корреляционную	функцию	случайного	процесса
Z (t) = X (t) + Y (t)		в	нечетных вариантах	и для	случайного	процесса
Z (t) = X (t) -Y (t)		в четных вариантах. (См. пример 4.7, a –– номер варианта.)

4.1 Стационарные случайные процессы

Случайный процесс называетсястационарным, если все его характеристики не зависят от времени.

Определение.

Случайная

функцияX (t)

называется строго

стационарной (стационарной в узком смысле), если все ее конечномерные законы распределения не изменяются от сдвига параметра(времени) на произвольную величину t0. Это в частности означает, что ее математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функции зависит только от разности аргументов.

Определение. Случайная функция X (t) называется стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание постоянно, а корреляционная функции зависит только от разности аргументов т.е.

mx (t) = const,= K x (t1,t2 ) Kx (t1,t1 + t) k=x (t).

(4.1.1)

Так как Kx (t,t) = D( X ) , то условие (4.1.1) означает и постоянство дисперсии.

271

Пример 4.8. Дан случайный процессX (t) = cos(t + j), где j –– случайная величина, равномерно распределенная в отрезке [0, 2p] . Требуется доказать, что этот случайный процесс стационарен в широком смысле.

Решение. Для доказательства необходимо проверить выполнение

условий (4.1.1). Найдем математическое ожидание

mx (t) = M= [ X (t)]

M [cos(t + j)]= M[cost cos j – sin t sin j] =

= cost × M [cos j] - sin t × M [sin j] = 0,

так как

2 p

1

1

2p

M [cosj] =

cos j dj

=

sin j

0

= 0

и

2p ò0

2p

2p

1

1

2 p

M [sin j]

sin j dj

cos j

= 0,

=

-=

0

2p

ò0

2p

где 1/2p –– плотность вероятности случайной величиныj. Заметим, что

o

X (t) = X (t) - m= x (t) cos(t + j)]=– 0 cos(t + j). Поэтому

oo

Kx (t1,t2 ) = M=[ X (t1) X (t2 )] M [cos(t1 + j)cos(t2 + j)] =

=1 M [cos(t2 + j – t1 - j) + cos(t1 + j + t2 + j)]= 2

=1 cos(t2 – t1) + M[cos(t1 + t2 + 2j)] = 1 cos(t2 – t1), 2 2

так как M [cos(t

+ t

+ 2j)]=

1

2p

cos(t

+ t

+ 2j) dj =

1

sin(t

+ t

+ 2j)

2p

=

2

2p ò0

2

2

1

1

4p

1

0

1

=

[sin(t

+ t

+ 4p) - sin(t

+ t

)] = 0.

2

4p

1

t

2

1

Итак,

m

(t) = 0,

а K

x

(t ,t

) =

cos(t

– t ),

т.е. зависит

только

от

2

x

1 2

2

1

разности t2 – t1 = t.

Корреляционная

функция

оказалась

независящей

от

величины j, которую в приложениях обычно трактуют как «фазу».

Ответ. Процесс стационарен в широком смысле.

Задача 4.8. Докажите,

что случайный процесс X (t) = sin(at + j) , где

j –– случайная величина, равномерно распределенная в отрезке[-p, p],

стационарен в широком смысле. (См. пример 4.8, a –– номер варианта.)

Пример

4.9.

Значения

случайного

процессаX (t)

изменяются

скачками в случайные моменты времениtk, k = 0,1,3,K . Моменты скачков образуют простейший (пуассоновский) поток событий интенсивностиm, т.е. вероятность того, что за время t произойдет k скачков равна

272

(mt)k		-mt
	e		.	(4.1.2)

k!

Винтервале (tk ,tk +1 ) между двумя скачками X (t) может принимать

лишь два значения 0 или 1 с вероятностями соответственно 1 - p = q и p.

Значения X (t)

в

различных интервалах

независимы. (Такой

процесс

называют фототелеграфным сигналом.)

Необходимо найти mx (t),

D[ X (t)], Kx (t1,t2 ), и выяснить, является ли

этот процесс X (t)

стационарным в широком смысле.

Решение. В произвольный момент времениt

значения

процесса

имеют распределение

X (t)

0

1

P

q

p

Поэтому mx (t)

= M=[ X (t)]

0 × q +1× p = p;

D[ X (t)] = (0 – p)2 q + (1 –=p)2 p p2q + q2 p= pq( p + q) = pq.

Заметим,

что если между моментами t1 и t2 не было скачков процесса

(вероятность

чего

по

формуле(4.1.2) равна

e-m|t| , где t | =t

- t

2

| ), то

значения процесса X (t1 )

и X (t2 )

совпадают и

1

o

o

o

D[ X (t=)]

pq.

M [ X (t ) X (t

)] = M [ X (t )]=2

1

2

1

Если же между моментамиt1 и t2 скачки были, то величины X (t1 ) и

oo

X (t2 ) независимы и M [ X (t1 ) X (t2 )] = 0 . Поэтому

oo

Kx (t1,t2 ) = M [ X (t1) X=(t2 )] pqe-m|t| +0 ×(1 – e-m|t| ) = pqe-m|t| .

Итак, математическое ожидание и дисперсия процесса постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности значений аргументов. Это означает, что процесс стационарен в широком смысле.

Ответ.	m	x	(t) = p, D[ X (t)] = pq,	K	x	(t	,t	) = pqe-m|t| .	Процесс
						1	2
стационарен в широком смысле.
Задача	4.9. Значения случайного					процессаX (t)			изменяются

скачками в случайные моменты времениtk, k = 0,1,3,K . Моменты скачков образуют простейший (пуассоновский) поток событий интенсивности m. В

интервале (tk ,tk +1 )		между двумя		скачкамиX (t)			имеет	биномиальное
распределение	с	параметрамиn		и p.	Значения		X (t)	в	различных
интервалах независимы.
Найдите	mx (t), D[ X (t)],		Kx (t1,t2 )		и	выясните, является			ли	этот
процесс X (t)	стационарным		в	широком		смысле. (См. пример 4.9,				в

нечетных вариантах n = 3 , в четных вариантах n = 4 , значение p возьмите из исходных данных к задаче 2.76.)

273

Пример 4.10. Случайный процессX (t) строится следующим образом. В некоторый случайный момент времениT появляется прямоугольный импульс длительностиt0 и случайной амплитудойA1. В момент времени T + t0 этот импульс сменяется новым импульсом той же длительности и случайной амплитудыA2, и т. д. Величины A1 , A2 ,¼ независимы, и каждая с равными вероятностями принимает одно из двух значений «+1» или «–1». Одна из возможных реализаций процессаX (t) показана на рис. 4.1.1.

	Рис. 4.1.1
Требуется найти mx (t), D[ X (t)],				Kx (t1,t2 )	и выяснить, является ли
этот процесс X (t) стационарным в широком смысле.
Решение. Для любого момента времени t:
mx (t) = M [ X=(t)] –1×1 / 2 +1×1 / 2 = 0,
D[ X (t)] = (-1)2 ×1 / 2 +12 ×1 / 2 =1.
Обозначим t1 = t	и t2 = t + t. Так как равновозможны все положения
точки t в [tk ,tk +1 ) , то	t имеет	равномерное			распределение [0,в t0 ) с
функцией плотности вероятности f (t) =1 / t0 .
Случайный процесс центрирован ( mx (t) = 0 ), поэтому
Kx (t1 ,t2 ) = =M [ X (t1 ) X (t2 )]				M [ X (t) X (t + t)].
Если вместе t1 и t2 = t + t принадлежит промежутку [tk ,tk +1 ) , то
	M[ X (t ) X (t		)] = M ( A2 ) =1.
Вероятность этого	1	2
			– t) M= ( A2=) 1 – t / t
P(t < t –=t) P(t < t		0				.
0				i	0
Если же t > t0 – t,	вероятность чего равна t / t0 , то
	M [ X (t1 ) X (t2 )] = 0
в силу независимости	случайных		величинAi. Поэтому K				x	(t ,t	) = M ( A2 ) ×
								1 2

×P(t < t=0 – t) 1 - t / t0 при 0 < t < t0 и Kx (t1,t2 ) = 0 при t > t0 (см. рис. 4.1.2).

274

Рис. 4.1.2

Постоянное

значение

математического

ожидания

процесса

и

зависимость корреляционной функции Kx (t1,t2 ) = kx (t) только от разности

аргументов t = t2 – t1

свидетельствуют о

том,

что

процесс стационарен в

широком смысле.

Ответ.

mx (t) = 0, D[ X (t)] =1,

Kx (t1,t2 ) =1 – t / t0

при

0 < t < t0

и

Kx (t1,t2 ) = 0 при t > t0 . Процесс стационарен в широком смысле.

Задача 4.10. Случайный процесс X (t) строится следующим образом. В

некоторый случайный момент времени T появляется прямоугольный импульс

длительности t0

и

случайной

амплитудойA1. В

момент времениT + t0 этот

импульс сменяется новым импульсом той же длительности и случайной

амплитуды A2, и

т.д Величины

A1 , A2 ,¼ независимы

и

одинаково

распределены. Одна из возможных реализаций процесса представлена на рис.

4.1.3. В нечетных вариантах величины A равномерно распределены в отрезке

[–a, a] . В четных вариантах

величины A имеют

плотность

вероятности

f (x) =

2 a

при

x Î[–a, a] и

f (x) = 0 при остальных x.

p(a2 + x2 )

Найдите mx (t),

D[ X (t)],

Kx (t1,t2 )

и

выясните,

является

ли

этот

процесс X (t)

стационарным

в

широком смысле. Постройте

график

корреляционной функции. (См. пример 4.10, a –– номер варианта.)

Рис. 4.1.3

Пример 4.11. Случайный процессX (t) строится следующим образом. На числовой осиОt реализуется простейший поток событий интенсивности .λ Случайный процесс X (t) принимает попеременно

275

случайные значения a и –a. При наступлении события	простейшего потока
X (t) скачком меняет свое значение aс на –a или	наоборот. Одна из

реализаций процесса показана на рис. 4.1.4, где точками на оси отмечены события простейшего потока.

		Рис. 4.1.4
Требуется	найти	математическое	ожидандисперсию,	и
ковариационную функцию этого случайного процесса.
Решение. Так	как моменты изменения		знака никак не связаны со

значениями процесса X (t) , нет оснований считать, что какое либо из значений (a или –a) более вероятно, чем другое. Следовательно,

mx (t) = –a ×0,5 + a ×0,5 = 0.

Рассмотрим значения процесса в произвольные моменты времени t1 и t2. Так как mx (t) = 0, то

oo

Kx (t1,t2 ) = M [ X (t1) X (t2 )] = M [ X (t1) X (t2 )].

Произведение

X (t ) X (t

2

) = –a2 ,

если

в интервале (t ,t

2

)

происходит

1

1

нечетное число событий(тогда значения

процесса X (t1 )

и

X (t2 )

будут

разных знаков). Если же в интервале(t1,t2 )

происходит

четное

число

событий, то X (t ) X (t

2

) = a2 .

1

t= - t

( t

< t

Вероятность

появления

за времяt

2

)

четного

числа

событий простейшего потока равна

2

1

1

(lt)2k

¥ (lt)2k

2

¥

-lt

-lt

Pчет

= P[ X (t1 ) X (t2 ) = a

]

å

=

e

e

å

=

k=1

(2k)!

k =1

(2k)!

-lt

-lt

elt

+ e-lt

-2lt

Тогда

= e

ch lt

e=

=

2

(1 + e

) / 2.

= P[ X (t ) X=(t

) –a2

] =1 – (1 + e-2lt ) / 2 = (1 – e-2lt) / 2.

P

2

нечет

1

Следовательно,

a2

(1 + e-2lt ) / 2 – a2

(1 – e=-2lt ) / 2 = a2e-2lt.

K

x

(t

,t

2

) = k

x

(t)

1

Аналогично, при t

2

< t , т.е. при t

t

2

– =t < 0,

1

1

Kx (t1,t2 ) = kx (t) = a2e-2l(-t) .

276

Полученные выражения для kx (t) можно объединить в одну запись:

Kx (t1,t2 ) = kx (t) = a2e-2l|t|.

График этой функции изображен на рис. 4.1.5.

Рис. 4.1.5

Дисперсия процесса равна D[ X (t)] = kx (0) = a2.

Ответ. m

(t) = 0, D[ X (t)] = a2 ,

K

x

(t ,t

) = a2e-2l|t|. Процесс стационарен

x

1

2

в широком смысле.

Задача

4.11.

На числовой

осиОt

реализуется

простейший

поток

событий

интенсивности

.

λ Случайный

процессX (t)

принимает

попеременно случайные

значенияA и

–A.

При

наступлении события

простейшего

потока X (t)

скачком

меняет

свое

значение Aс на –A или

наоборот (значения A и –A

независимы). Случайная

величина A

имеет

распределение: P( A =1) = p ,

P( A = 2)

1=– p

q=.

Одна из реализаций этого процесса приведена на . рис4.1.6, где

точками на оси отмечены события простейшего потока.

Найдите математическое ожиданиеmx (t),

дисперсию D[ X (t)] и

корреляционную

функцию Kx (t1,t2 )

этого

случайного

процесса. (См.

пример 4.11, p = 0,b , где b –– номер варианта.)

Рис. 4.1.6

277

Пример 4.12. Случайный процессX (t) устроен следующим образом. На оси времени реализуется простейший поток событий интенсивности λ. При появлении события этого потока процессX (t)

скачком возрастает на единицу. Между скачками он убывает линейно под углом минус 45°. Одна из реализаций процесса приведена на рис. 4.1.7, где точками на оси отмечены моменты появления событий простейшего потока.

Рис. 4.1.7

Требуется	найти	математическое	ожиданиеm	(t),	дисперсию
			x

D[ X (t)] и корреляционную функцию Kx (t1,t2 ) этого случайного процесса и его нормированную корреляционную функцию.

Решение. Каждый скачок процесса равен единице. Поэтому значение процесса в момент времени t можно записать в виде

X (t) = N (t) – t,

где N (t) –– число скачков за время t.

Случайная величина N (t) имеет пуассоновский закон распределения, причем

M[N (t)] = D[N=(t)] lt, M=[N 2 (t)] (lt)2 – lt.

Поэтому M [ X (t)] = M=[N (t)] – t lt =– t (l – 1)t,

D[ X (t)] = =D[=N (t) – t] D[N (t)] lt.

oo

Так как M ( X Y ) = M [( X – M ( X ))(Y – M (Y ))] = M ( XY ) – M ( X )M (Y ),

то при t1 < t2

oo

Kx (t1,t2 ) = M[ X (t1) X (t2 )] M=[ X (t1) X (t2 )] - M [ X (t1)]M [ X (t2 )] =

= M[ X (t ) X (t		)] – (l – 1)t (l – 1)t	2	M [ X (t ) X=(t		)] – (l – 1)2 t t	.
1	2	1		1	2	1 2

Но M [ X (t1 ) X (t2 )] = M [(N (t1) – t1)(N (t2 ) – t2 )] =

=M [N (t1 )N (t2 ) – t1N (t2 ) – t2 N (t1 ) + t1t2 ] =

=M [N (t1 )N (t2 )] - t1M [N (t2 )] - t2 M [N (t1 )] + t1t2

= M [N (t )N (t		)] – t lt	2	- t	lt + t t= M [N (t )N (t				)] – 2lt t	+ t t	.
1	2	1		2	1	1 2	1	2	1 2	1 2

278

В свою очередь

M [N (t )N (t

)] = M [N (t )(N (t ) + N (t

2

– t ))]= M[N 2 (t )] + M [N (t )N (t

2

– t )].

1

2

1

1

1

1

1

1

Так как случайные величиныN (t1 ) и

N (t2 – t1 )

независимы,

а для

распределения

Пуассона M ( X 2 ) = l2 + l ,

если

параметр распределения

равен λ, то M [N (t )N (t

)] = (lt )2

+ lt

+ lt l(=t

– t )

lt + l2t t

.

В итоге имеем

1

2

1

1

1

2

1

1

1 2

) = lt + l2t t

- (l =– 1)2 t t

K

x

(t ,t

- 2lt t

+ t t

lt .

1

2

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1

Аналогично, при t2 < t1 получаем Kx (t1,t2 ) = lt2 . Поэтому

Kx (t1,t2 ) = lmin(t1,t2 ).

Нормированная корреляционная функция:

r(t ,t

) =

lmin(t1,t2 )

=

min(t1,t2 )

.

1

2

lt1

lt2

t1t2

Если

t1 < t2 ,

то

r(t1,t2 ) =

t1 t2

, если

же t2 < t1,

то

r(t1,t2 ) =

t2 t2

.

Величины X (t1 ) и X (t2 ) коррелированы положительно.

Ответ. M [ X (t)] = (l – 1)t,

Dx (t) = lt,

Kx (t1,t2 ) = lmin(t1,t2 ).

Задача

4.12.1.

Случайный

процессX (t)

убывает

скачками в

случайные моменты времени, образующие на числовой оси простейший поток событий интенсивности . λПри появлении события простейшего

потока	процесс скачком убывает на величинуk / 10l. Между скачками
X (t)	линейно возрастает с угловым коэффициентомk / 10 . Одна из

реализаций процесса показана на рис. 4.1.8.

	Рис. 4.1.8
Найдите	математическое ожиданиеmx (t), дисперсию D[ X (t)]	и
корреляционную	функцию Kx (t1,t2 ) этого случайного процесса	и его

нормированную корреляционную функцию. (См. пример 4.12, k –– номер варианта.)

Задача 4.12.2. На числовой оси реализуется простейший поток событий интенсивности .λ В момент появления события простейшего

279

потока случайный процесс X (t)	становится равным нулю и до появления
следующего события потока	растет	линейно с угловым коэффициентом
k / 10 . Затем все повторяется сначала.		Одна из реализаций процесса X (t)
приведена на рис. 4.1.9.

	Рис. 4.1.9
Найдите	математическое ожиданиеmx (t), дисперсию D[ X (t)]	и
корреляционную	функцию Kx (t1,t2 ) этого случайного процесса	и его

нормированную корреляционную функцию. (См. пример 4.12, k –– номер варианта.)

Пример 4.13. Случайный процесс X (t) изменяет свое состояние в моменты времени, которые образуют простейший поток интенсивности .λ В каждой точке скачка процессX (t) возрастает на единицу, а затем убывает по экспоненте с показателем–1 до точки следующего скачка. Одна из реализаций такого процесса приведена на рис. 4.1.10. Требуется найти математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию этого случайного процесса.

Рис. 4.1.10

Замечание. Описанный процесс может служить простейшей математической моделью воздействия потока электронов на анод. Поток электронов от катода к аноду близок к простейшему потоку некоторой интенсивности λ. При попадании электрона на анод напряжение на нем

280

X (t) возрастает на некоторую единицу, а затем убывает по экспоненте, показатель которой зависит от характеристик электронной схемы.

Решение. Результат воздействия i-го скачка, происшедшего в момент времени Ti, имеет вид: X i (t) = 0 при t < Ti и X i (t) = exp{–(t – Ti )} при t ³Ti , или

X i (t) = h(t – Ti )exp{–(t – Ti )},

где h(t) = 0 при t < 0 и h(t) =1 при t ³ 0.

Так как поток скачков простейший, то за времяt произойдет случайное число скачковN, распределенных по закону Пуассона с

параметром lt. Поэтому X (t)	является суммой случайного	числаN
случайных слагаемых X i (t) :
N	N
X (t) = å=X i (t)	åh(t -Ti )exp{-(t - Ti )}.	(4.1.3)
i=1	i=1

Воспользуемся следующим фактом: Простейший поток событий на (0,t) можно представить как совокупность случайного числа точек, каждая из которых равномерно распределена на (0,t) независимо от других точек. Поэтому (4.1.3) можно переписать в виде

N
X (t) = åexp{-(t - qi )}, t > 0, qi < t,	(4.1.4)
i=1

где все qi равномерно распределены на (0,t), а N не зависит от qi. Из (4.1.4) следует, что

M [ X (t)]= M [N ]M [exp{-(t - qi )].

(Здесь мы воспользовались ,темчто математическое ожидание суммы случайного числа одинаково распределенных случайных величин равно произведению математического ожидания числа этих величин на математическое ожидание одной из них.)

Так как число слагаемых N распределено по закону Пуассона, то

M (N ) = =D(N ) lt.					(4.1.5)
Каждая из величин равномерно распределена в (0,t) . Поэтому
	1 t		x-t	-t
M [exp{-(t - qi )}]		ò0	e= dx	(1 – =e ) / t.
	t

В итоге

M [ X (t)] = lt=(1 – e-t ) / t l(1 – e-t ).

Кроме того,

2	1 t		2( x-t )
M [(exp{-(t - qi )}) ]		ò0	e= dx
	t

1- e-2t

=. (4.1.6)

2t

281

Рассмотрим		два	момента	времениt1 и t2	( t1 < t2 ).	Значение	X (t2 )
равно	значению X (t1 ) ,		умноженному на exp{-(t2 – t1)}, плюс				вклад
V (t2 – t1 )	от скачков процесса на интервале (t1,t2 ) :
		X (t2 ) = X (t1)exp{–(t2 – t1)} +V (t2 - t1).
Величины		X (t1 ) и V (t2 – t1 )		независимы,	так как	они связаны со

скачками процесса в непересекающихся интервалах времени (0,t1 ) и (t1,t2 ) . Поэтому при t1 < t2

K

(t ,t

o

o

)]

o

o

o

- t ))] =

) = M[ X=(t ) X (t

M [ X (t )( X (t )e-(t2

-t1 )

+V (t

2

x

1

2

1

2

1

1

1

o

o

o

- t )] = D

(t )e-(t2 -t1 ) .

= M [( X (t ))2 e-(t2 -t1 ) ] + M [ X (t )V (t

2

1

1

1

x

1

Аналогично, при t2 < t1 получим

Kx (t1,t2 ) = Dx (t2 )e-(t1-t2 ).

Поэтому Kx (t1,t2 ) = Dx (min(t1,t2 ))e-|t2 -t1|. Остается вычислить:

D (t) = M (N )D(et -qi ) + D(N )[M (e-(t-qi ) )]2.

x

С учетом (4.1.5), (4.1.6) и того, что D( X ) = M ( X 2 ) – [M ( X )]2 получаем

D (t) = lt{D(e-(t -qi ) ) + =M (e-(t -qi ) )2} ltM= {(e-(t -qi ) )2}

l

(1 - e-2t ).

x

2

l

В итоге, K

(t ,t

) =

(1 - exp{-2min(t ,t

)})exp{- | t

- t |}.

x

2

1

2

2

1

2

1

l

Ответ. M [ X (t)]

= l(1 – e-t ), D (t) =

(1 - e-2t ),

x

2

l

K

(t ,t

) =

(1 - exp{-2min(t ,t

)})exp{- | t

- t |}.

x

2

2

1

2

1

2

1

Задача 4.13. Электроны от катода на анод поступают группами. Моменты поступления групп образуют простейший поток интенсивности l. Обозначим через Wi –– случайное число электронов iв-й группе. Случайные величины Wi независимы и имеют одинаковое распределение. (Подобная ситуация возникает при работе линейного детектора, когда на его вход в случайные моменты времени подаются случайные импульсы

величины Wi). Скачок	напряжения	от	прихода	очередной	партии
электронов суммируется с остаточным напряжением на аноде, которое
между поступлениями импульсов убывает по экспоненциальному закону с
показателем a. Пусть X (t)	–– напряжение на аноде в моментt. Одна				из

реализаций случайного процесса приведена на рис. 4.1.11.

282

Рис. 4.1.11

Найдите математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию случайного процессаX (t) . (См. пример 4.13. Величины Wi

имеют биномиальное распределение: Pn (k) = Cnk pk (1 - p)n-k , k =1, 2,3,¼, n. Значения n и p возьмите из исходных данных к задаче 2.59.)

Стационарная в широком смысле функцияX (t) , представимая во всей области определения в виде

		n
	X (t) = mx	+ å(Uk cos wk t +Vk sin wkt),				(4.1.7)
		k =1
где Uk и Vk –– центрированные случайные				величины, удовлетворяющие
условиям M [U U	] = M [VV ] = D ,		M [U U	] = M[VV	] = 0	при i ¹ j ,
i i	i i	i	i j	i j

M [UiVj ] = 0 при всех i и j, называется случайной функцией с дискретным

спектром.

Такая случайная функция имеет автокорреляционную функцию

n
kx (t)= åDk coswk t.	(4.1.8)

k=1

Равенство (4.1.7) называют спектральным разложением случайного процесса, а равенство (4.1.8) спектральным разложением корреляционной функции. Представление (4.1.8) показывает, что дисперсия процесса

является суммой дисперсий отдельных гармоник на частотахw

k

( k = 0,1, 2,¼, n ):

n

Dx = kx (0) = åDk .

k =1	является
Говорят, что стационарная случайная функцияX (t)

случайной функцией с непрерывным спектром, если существует такая действительная неотрицательная функция Sx (w) , определенная при всех wÎ(-¥;¥), что

283

	¥
kx (t)	=òS x (w)cos wt dw, ,			(4.1.9)
	0		ò
		p
Sx (w)	=	2	¥ k x (t)cos wt dt.	(4.1.10)
Функцию Sx (w) называют			0
			спектральной плотностью, а	формулы

(4.1.9) и (4.1.10) называют формулами Винера––Хинчина. Из этих формул и свойств корреляционной функции следует, что Sx (w) –– функция четная,

т.е. Sx (w=) Sx (-w). Поэтому Sx (w) изображают обычно только для

неотрицательных w. Случайные функции, обладающие конечной дисперсией, имеют спектральные плотности, которые стремятся к нулю на бесконечности быстрее, чем 1 / w.

В силу четности корреляционной функции стационарного процесса и его спектральной плотности формулы(4.1.9) и (4.1.10) можно записать в виде:

1

¥

iwt

kx (t) =

e

S x (w) dw,

(4.1.11)

2 -ò¥

1

¥

-iwt

Sx (w)

ò

e k x (t) dt.

(4.1.12)

p

=

-¥

Формулы (4.1.11) и (4.1.12) означают, что корреляционная

функция и

спектральная

плотность связаны

взаимно обратными преобразованиями

Фурье. Выражения

вида (4.1.11)

называют интегралом

Фурье.

Интеграл

Фурье

является

обобщением

разложения

в

ряд

Фурье

для

случ

непериодической

функции

на

бесконечном интервале. Это разложение

функции

на

сумму простых

гармонических

колебаний

с непрерывным

спектром.

Заметим, что дисперсию стационарного случайного процесса с

непрерывным спектром можно выразить в виде интеграла от спектральной

плотности:

¥

1 ¥

Dx = kx (0)=

òS x (w) dw

=

ò S x (w) dw.

0

2 -¥

Пример 4.14. Корреляционная функция стационарного случайного

процесса X (t)

имеет вид

kx (t) = exp{– | t |}(1+ | t |).

Требуется найти спектральную плотность процесса. Решение. В соответствии с формулой (4.1.12)

Sx	(w)=	1	¥ e-iwt (1+ | t | ) e-|t| dt =
		2p -ò¥

	1	0	1	¥
		ò e-iwt (1 - t ) etdt +		òe-iwt (1 + t ) e-tdt
	2p		2p
		-¥		0

284

2 + w2

Вычислим сначала первый интеграл

0

ìu

=1 - t, =du

-dt,

ü

ò

e(1-iw) t

(1

- t )d t

í

(1-iw)t

(1-iw)t

=

d t,

= v e

/ (1

ý

-¥

îdv = e

- iw)þ

1 - t

1

0

1

1

=

e(1-iw)t |0

+

e(1-iw) t dt

-

=e(1-iw)t |0

=

1 - iw

-¥

1 - iw -ò¥

1 - iw (1 - iw)2

-¥

=

1

+

1

.

1

- iw

(1 - iw)2

Аналогично

¥

1

1

òe-iwt (1 + t ) e-tdt

=

+

.

+ iw)

2

Поэтому

0

1 + iw

(1

Sx (w)

1

é

1=

+

1

+

1

+

1

ù

=

ê

ú

2p

(1 - iw)

2

1 + iw

+ iw)

2

ë1

- iw

(1

û

=

1 é

2

+

2

ù

=

2

+ w2

.

ê

ú

2p

+ w

2

2

)

2

p(1

2

)

2

ë1

(1

+ w

û

+ w

Ответ. Sx (w) = p(1 + w2 )2 .

Задача 4.14.1. Найдите спектральную плотность стационарного случайного процесса X (t) , если его корреляционная функция имеет вид

kx (t)	s2 exp{= –a | t |}(1 – a | t |).
(См. пример 4.14, a –– номер варианта.)
Задача 4.14.2. Корреляционная функция стационарного случайного
процесса X (t) имеет вид
	ì	2	(1- | t | /a), | t|£ a,
kx (t) = ís
	î0,			| t |> a.
Требуется найти спектральную плотность процесса. (См. пример 4.14, a ––
номер варианта.)					функции X (t)
Спектральная плотность производной от случайной
связана со спектральной плотностью этой функции Sx (w) соотношением
				2	(4.1.13)
Sx& (w) w=Sx (w) .
Пример 4.15. Спектральная плотность случайной функции X (t)						имеет
вид 1 / (w2 + 4)3. Требуется	найти			дисперсию производной	этой	случайной
функции.

285

¢

Решение.

Согласно (4.1.13)

спектральная

плотность

производной

2

2

3

. Тогда

X (t)

имеет вид w / (w + 4)

¥

¥

w2

ìu = w, du= dw;

ü

D( X ¢(t)) =

ò

S

(w) dw

ò

dw

ï

ï

x&

í

w

d

w

=

1

2

=

2

3

2

ý

(w + 4)

ïdv =

=

2

3

, v -

(w

+

4)

ï

-¥

-¥

4

î

(w + 4)

þ

w

¥

1 ¥

dw

1 ¥

w2 + 4 - w2

= -

-¥

+ =4 -ò¥

-ò¥

dw =

4(w2 + 4)2

(w2 + 4)2

16

(w2 + 4)2

1 ¥

dw

1 ¥

w2

1

w

¥

1 ¥

w2

=

-ò¥

-

-ò¥

dw =

arctg

-¥ -

-ò¥

dw =

16

w2 + 4

16

(w2 + 4)2

32

2

16

(w2 + 4)2

ìu = w, =du dw;

ü

p

1 æ

w

1 ¥

dw ö

ï

ï

¥

= í

wdw=

1

2

ý

-

ç

|-¥

+

÷ =

-ò¥ w2

ïdv =

= 2

2

, v

-

(w

+ 4)

ï

32 16 è

2(w2 +

4)

2

+ 4

ø

2

î

(w + 4)

þ

p

1

æ

1

arctg

w

¥

ö

p

p

p

.

=

-

ç=

-¥

÷

-

=

¢

32

16 è 4

2

ø

32

64

64

= p / 64.

Ответ. D( X (t))

Задача 4.15. Найдите дисперсию производной от случайной функции

X (t) , спектральная

плотность

которойSx (w) =

b

.

(См.

пример

(w2 + a2 )2

4.15, a –– номер варианта.)

Пусть kx (t)

–– автокорреляционная функция стационарного случайного

¢

процесса X (t) . Найдем взаимную корреляционную функцию процессов X (t)

и X (t) . Так как процесс X (t)

стационарен, то mx

= 0 и mx¢ = 0. Поэтому

		o		o	¢
R ¢	(t ,t	¢						)]=
		) = M [ X (t ) X (t			)] M [ X (t ) X (t
x x	1 2		1	2		1	2
= lim		M [ X (t1 + Dt) X (t2 )] - M [=X (t1) X (t2 )]
	Dt®0				Dt

é			X (t1	+ Dt) - X (t)					ù
M êlim							X (t2 )		ú=
				Dt
ëDt®0									û
lim	K	(t + Dt,t ) - K				(t ,t		)
	x	1		2=	x	1 2
Dt®0				Dt

=

¶ Kx (t1,t2 )

=

¶ kx (t)

.

¶t

¶t

1

(t)

1

(t)

¶ k

(t)

t= - t , то R ¢

(t

,t

) =

¶ k

¶t ¶ k

×(-1)

.

Так как t

x

×

=x

-

=x

2 1

x x

1

2

¶t

¶t1

¶t

¶ t

Аналогично, Rxx¢ (t1,t2 ) =

¶ Kx (t1

,t2 )

¶kx (t)

¶t ¶ kx (t)

×(1)

¶kx

(t)

.

=

×

=

=

¶t2

¶ t

¶t2

¶t

¶ t

Пример 4.16. Спектральная плотность случайного стационарного

процесса

X (t)

имеет

вид: Sx (w) = w2 ,

если

| w|Î[3,6], и

Sx (w) = 0

при

286

остальных

w.

Требуется

найти

автокорреляционную функцию этого

процесса.

функцияSx (w) четная, то

Решение.

Так

как

по формуле(4.1.11)

получаем

¥

6

iwt

2

2 æ

-sin wt 6

ö

k

x

(t)

ò

e

S

x

(w) dw= 2

ò

w

cos wt dw=

2w

ç

|

=

t

3

÷

-¥

3

è

ø

	2w2		2w2 sin 3t
=		(sin 3t - sin 6t)	=	(1 - 2cos3t).
	t		t

Ответ. 2w2 sin 3t (1 - 2cos3t). t

Задача

спектральную

остальных w. процесса. (См. варианта.)

4.16.1.Случайный стационарный процессX (t) имеет

плотность Sx (w) = a2 ,	если | wÎ[b, 2b] | , и	Sx (w) = 0	при
Требуется найти	автокорреляционную	функцию	этого

пример 4.16, a –– номер варианта, b –– первая цифра номера

Задача 4.16.2. Спектральная плотность стационарного случайного процесса X (t) имеет вид

Sx (w) = a exp{– | w|/ w0}, a > 0, w0 > 0.

Найдите автокорреляционную функцию этого процесса и его дисперсию. (См. пример 4.16, a –– номер варианта.)

Пример 4.17.	Задана	спектральная	плотность	стационарного
случайного процесса

Sx (w)= 2exp{–bw2}, b > 0.

Требуется найти корреляционную функцию этого процесса. Решение. По формуле (4.1.11) получим:

¥

kx (t) ò eiwt e-bw=2 dw. -¥

Непосредственно вычислять такой интеграл трудно. Поэтому воспользуемся следующим приемом. Продифференцируем обе части равенства:

¥

iwt -bw2

i ¥

iwt

-bw2

¢

ò iwe e

ò e 2be

dw =

wdw.

kx (t) =

-¥

2b -¥

Проинтегрируем

по

частям:

u = ei wt ,

du = iteiwtdw,

dv =2be-bw2 wdw,

-bw2

i æ

iwt

-bw2

¥

¥

-bw2

iwt

ö

v = -e

.

Тогда

kx¢(t)

ç

-e

=e

|-¥ + it ò e

e

dw÷.

Первое

2b è

-¥

ø

287