2.12.Функции нескольких случайных аргументов

2.12.1.Свертка

Пусть Z = X + Y , где случайные			величиныX и Y	независимы	и
имеют функции плотности вероятностиf1 (x) и f2 ( y)				соответственно.
Случайная величина Z имеет функцию плотности вероятности
		+¥
	f (z) = ò f1 (x) f2 (z - x) dx .			(2.12.1)
		-¥
Выражение в	правой	части(2.12.1) называется свёрткой функций
плотности вероятности f1 (x)		и f2 ( y) .
Если случайные величины X и Y неотрицательны, то формула (2.12.1)
имеет вид:		z
	f (z) = ò f1 (x) f2 (z - x) dx .			(2.12.2)
		0
Пример 2.68.	Пусть	случайные	величиныX1 и X2	независимы	и

равномерно распределены на отрезках[0,2] и [0,3] соответственно. Найти закон распределения случайной величины Z = X1 + X 2 .

Решение. Все значения случайной величиныX1 равновозможны в отрезке [0,2], поэтому ее плотность вероятности f1 (x) во всех точках этого отрезка должна быть одинакова, т.е. постоянна. Значение этой постоянной находим из условия, что интеграл от функции плотности вероятности по всем возможным значениям случайной величины равен единице. Итак, случайная величина X1 имеет функцию плотности вероятности f1 (x) =1 / 2

при x Î[0,2] и

f1 (x) = 0

при

остальныхx. Из тех же соображений

случайная

величина X2

имеет

плотность

вероятностиf2 (x) =1 / 3 при

x Î[0,3] и

f2 (x) = 0

при остальныхx. Так как X1 и X2 неотрицательны, то

функцию

плотности

вероятности f (z) случайной

величины Z = X1 + X 2

можно найти по формуле (2.12.2).

При

z < 0

произведение

функций f1 (x) f2 (z - x) º 0 и поэтому из

формулы (2.12.2) следует, что f (z) = 0. При 0 £ z < 2 (см. рис. 12.1)

z

z

1

1

z

f (z) = ò f1 (x) f2 (z - x) dx= ò

×

dx =

.

2

0

0

3

6

115

		Рис. 2.12.1
	При 2 £ z < 3 получаем (см. рис. 2.12.2)
	z	2	1		1		1
	f (z) = ò f1 (x) f2 (z - x) dx= ò			×		dx =		.
			2				6
	0	0			3

Рис. 2.12.2

При 3 £ z < 5 (см. рис. 2.12.3)

	z	2	1		1		5 - z
	f (z) = ò f1 (x) f2 (z - x) dx= ò			×		dx =		.
			2				6
	0	z-3			3

116

Рис. 2.12.3

При 5 £ z

функция f (z) = 0

так как в

формуле(2.12.2) под

знаком

интеграла произведение f1 (x) f2 (z - x) º 0.

Итак,

f (z) = 0

при z < 0 ,

f (z) =

z

при 0 £ z < 2 ,

f (z) =

1

при

3

5 - z

6

2 £ z < 3, f (z) =

при 3 £ z < 5 , f (z) = 0

при 5 £ z .

График функции

6

плотности

вероятности f (z)

изображен

на

. рис2.12.4.

Закон

распределения

с

такой

плотностью

вероятности

иногда

называют

трапециевидным.

		Рис. 2.12.4
Ответ. f (z) = 0 при z < 0			,	f (z) =	z	при 0 £ z < 2 ,	f (z) =	1		при
	5 - z			6			3
2 £ z < 3, f (z) =		при 3 £ z < 5	,	f (z) = 0 при 5 £ z .
6

Задача 2.68.1. Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезках соответственно [0, a] и [0,b]. Найдите плотность

117

распределения

случайной

величиныZ = X + Y.

Найдите

вероятности

Р(a < z < b) и

Р(z < a).

(См. пример 2.68,

величины a и b возьмите

из

исходных данных к задаче 2.62.)

Замечание. Для Z = X – Y формула (2.12.1) имеет вид

+¥

f (z) = ò f1 (x) f2 (z + x) dx .

(2.12.3)

-¥

Задача 2.68.2.

Пусть

случайные

величиныX и Y

независимы

и

каждая из них равномерно распределена в отрезке[q – b;q + b]. Покажите,

что

случайная

величинаZ = X – Y

имеет

распределение, которое

не

зависит от q, и найдите плотность вероятности этой случайной величины.

(См. пример 2.68, формулу (2.12.3); b –– номер варианта.)

Задача 2.68.3. Случайные величиныX1

и X2

независимы и каждая

имеет

показательное

распределениеF (x) =1 – exp(-lx),

0 £ x , l > 0 .

Пусть

Z = X1 + X 2 .

Найдите M (Z ),

плотность распределения

случайной

величины Z и P[ X1 + X 2 < M (Z )]. (См. пример 2.68; l –– номер варианта.)

Задача 2.68.4. При измерении длительности импульса допускаются

погрешности при отсчете начала и конца импульса. Эти погрешности

независимы. Пусть

погрешность (ошибка) отсчета

начала

импульсаX

имеет

функцию

плотности

вероятностиf (x) = 2x / a2

при x Î[0, a]

и

f (x) = 0

при

остальныхx. Пусть погрешность отсчета конца

импульсаY

имеет равномерное распределение в[0, a] ,

т.е.

f ( y) =1 / a

при

y Î[0, a]

и

f ( y) = 0

при

остальныхy.

Найдите

вероятность

того, что

суммарная

ошибка в определении длительности импульса Z = X + Y не превзойдет a.

(См. пример 2.68; a –– номер варианта.)

Если X

и

Y

независимые

дискретные

случайные

величины и

Z = X + Y , то для них формула свертки (2.12.1) имеет вид:

P(Z = k) = P( X + Y

=k)

=åP=( X = xi )P (Y

k - xi ) .

(2.12.4)

i

Пример 2.69. Пусть

случайные

величиныX1

и X2

независимы

и

каждая имеет геометрический закон распределения:

X

1

2

3

4

L

k

L

P

p

pq

pq2

pq3

L

pqk–1

L

Требуется найти закон распределения случайной величины Z = X1 + X 2 .

118

Решение. Очевидно, что Z = X1 + X 2 может принимать значения 2, 3, 4,… . В соответствии с формулой (2.12.4)

P(Z = 2) =P( X= 1)P=(Y =1) pp= p2 ,

P(Z = 3) P=( X 1)=P(Y =2) + P( X = 2)P(Y= 1) =p × pq + pq × p 2=p2q.

P(Z = 4) P=( X 1)=P(Y =3) + P( X = 3)P(Y= 1) + P( X = 2)P(Y= 2) = = p × pq2 + pq2 × p + pq × pq = 3 p2q2 .

Закономерность образования вероятностей дляZ в достаточной степени проявилась. Можно предположить, что P(Z = k) = (k -1) p2qk -2. Вместо рассуждений по методу математической индукции можно просто заметить, что при вычислении каждой следующей вероятности добавляется еще одно слагаемое и в каждом слагаемом добавляется множительq. Поэтому P(Z = k +1) = kp2qk -1.

Ответ. P(Z = k) = (k -1) p2qk -2 , где Z = 2,3, 4,¼ .

Задача 2.69. Случайные величины X1	и X2 независимы и каждая
имеет биномиальный закон распределения с параметрами n = 3 и p, т.е.
P( X = k) pk (1 – p)3– k ,= k	0,1, 2,3.	=

Найдите закон распределения случайной величины Z = X1 + X 2 . (См. пример 2.69, величину p возьмите из исходных данных к задаче 2.59.)

Пример 2.70. Случайные X и Y независимы, причем X равномерно распределена на отрезке [0;2], а Y имеет функцию распределения F ( y) = 0 при y < 0 , F ( y) = y2 при 0 £ y < 1 и F ( y) =1 при 1 £ y . Требуется найти дисперсию произведения этих величин.

Решение. По свойству дисперсий для независимых случайных величин Х и Y

D( XY ) = D( X )D(Y ) + D( X )[M (Y )]2 + D(Y )[M ( X )]2.

Вычислим величины из правой части этого равенства. Так как все

	значения X равновозможны в отрезке [0;2], то			f (x) =1 / 2								при x Î[0;2] и
	f (x) = 0 при остальных x. Поэтому
	2	1		2			1				4
	M ( X ) = òx		dx =1, M ( X 2 ) = òx2					dx =				,
		2					2				3
	0			0	4				1
	D( X ) = M ( X 2=) – [M (=X )]2					– 12				.
				3
							3

119