x
дифференциального уравнения	t	| eiwt |=| cos wt + i sin wt=|
¢
kx (t) – 2b k=x (t).
слагаемое в скобке равно нулю,	так как e-¥ = 0 , а
= cos2 wt + sin2 t =1. Интеграл во втором слагаемом совпадает с kx (t) .
В итоге обнаружилась	возможность	найтиk (t) , как решение

Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение:

kx (t)

C exp{=–t2 / 4b}.

Для

определения произвольной

постоянной

зададим начальное

условие

¥

¥

1

p

kx (0) = ò e-bw2 dw ={замена w = t /

}=

ò e-t2 dw =

.

b

b

-¥

-¥

b

¥

(Напомним, что интеграл Пуассона ò e-t2 dw

=

.)

p

-¥

При

таком начальном условииC =

. Искомая корреляционная

p / b

функция имеет вид:

kx (t)

p

exp{=–t2 / 4b}.

b

Заметим, что и спектральная плотность, и корреляционная функция

этого процесса относятся к типу гауссовских кривых.

Ответ. kx (t)

p

exp{=–t2 / 4b}.

b

Задача 4.17. Стационарный случайный процесс имеет спектральную плотность

Sx (w)= W exp{–w2 / b2}, W > 0, b > 0.

Найдите корреляционную функцию этого процесса. (См. пример 4.17, W –– номер варианта, b –– первая цифра номера варианта.)

4.2. Преобразование случайных процессов динамическими системами

Для случайных процессов оказалось целесообразным расширить трактовку некоторых понятий математического анализа.

Говорят, что случайная последовательность X1, X 2 ,¼, X n ,¼ сходится к числу b в среднеквадратическом смысле, если

lim M ( X n - b)2 = 0.

n®¥

(этот факт записывают кратко X n ¾¾®с.к. b ).

288

Случайный процесс X (t) называется стохастически непрерывным в точке t = t0 , если

lim M [ X (t) - X (t0 )]2 = 0.

t ® t0

Случайная					¢		называется среднеквадратической
		величина X (t)
производной случайной функции X (t)						в точке t0 Î[0,T ] , если
			X (t	0	+ Dt) - X (t ) с.к.
					0		¾¾® X ¢(t0 ).
					Dt
Пусть имеется некоторая динамическая система. Под динамической
системой	понимается				любое	радиотехническое		устройство, прибор,

прицел, система автоматического управления, автопилот, вычислительное устройство и т.д.

На вход системы непрерывно подаются некоторые данные, система их перерабатывает и выдает результат этой переработки. Иногда входящие в систему данные называют«воздействием» или «сигналом», данные на выходе называют «реакцией» или «откликом» на воздействие. Обычно вместе с полезным сигналом поступают и случайные помехи, которые тоже перерабатываются динамической системой и влияют на отклик. Поэтому в

общем виде ставится формальная задача о переработке динамической системой некоторого случайного процессаX (t) . На выходе тоже получается случайный процесс Y (t). Схема описанной системы приведена

на рисунке 4.2.1.

Рис. 4.2.1

Естественно возникает вопрос: как по характеристикамX (t) , с учетом особенностей динамической системы, найти характеристики сигнала на выходе?

С формальной точки зрения, каждая динамическая система задает некоторое соответствие между сигналами на входе и откликами на выходе.

Правило, по которому функцияX (t) на входе преобразуется в функцию Y (t) на выходе, называется оператором. Символически это записывают в виде: Y (t) = A{X (t)}.

Оператор L называется линейным однородным оператором, если он обладает следующими свойствами:

1.L{X1 (t) + X 2 (t)} L={X1(t)} + L{X 2 (t)};

2.L{CX (t)} = CL{X (t)}, где C –– постоянная величина.

289

Примерами линейных операторов могут служить операторы

	d		t	t
		,	ò... dt, L{X (t)} = j(t) X (t),	L{X (t)} = ò X (t) j(t) dt,
	dt		0	0

где j(t) –– некоторая функция.

Оператор называют линейнымнеоднородным, если он состоит из линейной части с прибавлением некоторой определенной функции:

L%{X (t)} = L{X (t)} + j(t).

Если случайная функция X (t) с математическим ожиданием mX (t) и корреляционной функцией K X (t1,t2 ) преобразуется линейным однородным

оператором L в случайную функцию

Y (t) = L{X (t)},

то для нахождения математического ожиданияmY (t)	нужно применить
этот оператор к mX (t) , т.е.
mY (t) = L{mX (t)}.	(4.2.1)

А для нахождения корреляционной функцииKY (t1,t2 ) необходимо применить этот оператор к корреляционной функцииK X (t1,t2 ) сначала по одному аргументу, а затем по другому:

K

Y

(t ,t

2

) = L(t1 ) L(t2 ){K

X

(t ,t

2

)}.

(4.2.2)

1

1

d

Например, если

линейный

оператор

дифференцирования

dt

применяется

к

случайному процессуX (t) с математическим ожиданием

m

(t)

и

корреляционной

функциейK

(t ,t

) ,

то для Y (t) =

d

X (t)

X

X

2

1

dt

dX (t)

математическое

ожидание m (t) =

,

а

корреляционная

функция

Y

dt

¶2 K

(t ,t

K

(t ,t

) =

X

)

.

Y

2

1 2

1

¶t1

¶t2

Пример

4.18.

Задана kx (t)

––

корреляционная

функция

стационарного

случайного

процессаX (t) .

Требуется

найти

корреляционную функцию процесса

Y (t) = X (t) + dX (t) . dt

Решение. Воспользуемся формулой(4.1) для корреляционной функции суммы случайных процессов. Вычислим необходимые для этого величины.

290

Так как процесс X (t) стационарен, то его математическое ожидание и математическое ожидание его производной равны нулю. Поэтому

oo

R &		(t	,t	)= M [ X ¢(t )	X (t	)] = M [X ¢(t ) X (t				)]=
XX		1	2	1	2			1	2
é		X (t + Dt) - X (t )				ù		M [X (t1 + Dt) X (t2 )]- M [X (t1 ) X (t2 )]
= M êlim			1	1	X (t2 )ú		lim	=
				Dt						Dt
ëDt®0						û	Dt®0

= lim

KX (t1 + Dt,t2 ) - KX (t1,t2 )

=

¶K (t1,t2 )

.

Dt®0

Dt

¶t1

t=- t ,

¶K (t ,t

)

¶ k(t)

¶t ¶ k(t)

×(-1)

¶ k(t)

.

Но так как t

то

1 2

=

×

=

-

=

2

1

¶t1

¶ t

¶t1

¶t

¶t

Аналогично,

R & (t1,t2 ) = M [ X

(t1) X ¢(t2 )]

M

é

X (t1) lim

X

(t

+ Dt) - X (t

) ù

ê

= 2

2

ú

XX

Dt®0

Dt

ë

û

= lim

M [ X (t ) X (t

2

+ Dt)] - M [ X (t ) X (t

)]

lim

K

X

(t ,t

2

+ Dt) - K

(t ,t

)

1

Dt

=

1

2

1

=

X

1

2

Dt®0

Dt®0

Dt

¶K (t ,t

)

¶ k(t)

¶t ¶ k(t)

×(1)

¶k (t)

.

=

1

=2

×

=

=

¶t2

¶t2

¶ t

¶t

¶t

¶t

¶t

Так как k

(t) = K

(t ,t

) , где t

t=- t , то

= -1, а

=1. Поэтому

x

x

1

2

2

1

¶t1

¶t2

по формуле (4.2.1)

K & (t

,t

) = k (t)

¶2 K

(t ,t

)

= x

1 2=

X

1

2

x&

¶t1¶t2

¶t

édk

(t) ù

d 2k

x

(t)

¶t

= =

ê

x=

ú

×

dt

¶t1

¶t1 ë

dt

û

В итоге по формуле (4.2)

	¶t		é	dkx		(t)	×	¶t		ù	=
			ê							ú
	¶t							¶t
			ë		dt				2	û
1
d 2k			(t)		× (-1)			-kx¢¢(=t).
	=x
	dt

	ky (t) = kx (t) – kx¢¢(t)-	¶k(t)	+	¶k(t)	kx=(t) – kx¢¢(t).
		¶t		¶t
	Ответ. ky (t) = kx (t) – kx¢¢(t).

Задача 4.18.1. Задана Y (t) –– корреляционная функция стационарного случайного процесса X (t) . Найдите корреляционную функцию процесса

Y (t) = X (t) + a dX (t) . dt

(См. пример 4.18, a –– номер варианта.)

291

Задача 4.18.2. Задана kx (t) –– корреляционная функция стационарного случайного процесса X (t) . Найдите корреляционную функцию процесса

Y (t) = X (t) + dX (t) + d 2 X (t) . dt dt2

Выведите формулу для корреляционной функции процессаY (t) , а

затем вычислите эту Вычислите дисперсию варианта.)

корреляционную функцию	дляk (t=)	exp{–at2}.
процессаY (t) . (См. пример	x
	4.18, a	–– номер

Стационарной	линейной	динамической		системойназывается
устройство, которое	можно	описать	линейным	дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами:

a0Y (n) (t) + a1Y (n-1) (t) +K+ anY=(t) b0 X (m) (t) + b1 X (m-1) (t) +K+ bm X (t), (4.2.3)

где a0 , a1,K, an , b0 ,b1,K,bm –– постоянные коэффициенты, X (t) –– входящий стационарный процесс (воздействие), а Y (t) –– случайный процесс на выходе из системы (отклик). Если динамическая система устойчива, то по окончании переходного периода процесс Y (t) тоже стационарен.

Найдем характеристики Y (t) по характеристикам X (t) . Возьмем математическое ожидание от правой и левой частей равенства(4.2.3).Так как X (t) и Y (t) стационарные процессы, то их математические ожидания mx и my постоянны, а производные математических ожиданий равны нулю. Поэтому

a m

y

= b m

или m

y

=

bm

m .

n

m x

an

x

Обозначим оператор дифференцирования

d

через p, оператор

d 2

dt

dt 2

через p2 и т.д. Тогда уравнение (4.2.3) можно записать в виде

(a0 pn + a1 pn-1 +K+ an )=Y (t) (b0 pm + b1 pm-1 +K+ bm ) X (t),

или

Y (t) = b0 pm + b1 pm-1 +K+ bm X (t). a0 pn + a1 pn-1 +K+ an

Выражение

F( p) = b0 pm + b1 pm-1 +K+ bm a0 pn + a1 pn-1 +K+ an

(4.2.4)

(4.2.5)

называют передаточной функцией.

Уравнение (4.2.3) в операторной форме кратко записывается в виде

Y (t) = F( p) X (t).

292

Частотной		характеристикой					линейной	динамической			системы
называют функцию, которая получается заменойp на iw в передаточной
функции:						(iw)m + b (iw)m-1
			F(iw) =		b			+¼+ b
					0		1	m	.	(4.2.6)
					a (iw)n + a (iw)n-1
								+¼+ a
				0			1	n
Доказано,		что	спектральные			плотности процессовX (t)				и	Y (t)
связаны соотношением			Sy (w) =Sx (w) | F(iw) |2 .
										(4.2.7)
Это означает, что для получения спектральной плотности выходного
случайного	процесса		необходимо				умножить	спектральную			плотность
входного	процесса		на	квадрат			модуля	частотной			характеристики
динамической системы.
Пример 4.19. Динамическая система задана уравнением
				¢			¢			(4.2.8)
			3y (t) + y(t)				=4x (t) + x(t).

На вход системы подается стационарный случайный процессX (t) с

корреляционной

функцией kx (t)

=3exp{-2 | t|}.

Требуется

найти

дисперсию процесса на выходе в установившемся режиме.

Решение.

Вычислим

спектральную

плотность

случайного

процесса

X (t) по формуле (4.1.12)

1 ¥

-iwt

12

Sx (w)=

-ò¥ e

kx

(t)dt =

.

p

p(w2 + 4)

В операторной форме уравнение (4.2.8) имеет вид

Y (t) =

4 p +1

X (t).

3 p +1

4iw +1

Поэтому частотная характеристика F(iw) =

. По формуле (4.2.7)

3iw +1

16w2 +1

Sy (w)

Sx (w) | F=(iw) |

2

12

=

×

4iw +1

=

12

×

.

2

2

3iw +1

2

Поэтому

p(w + 4)

p(w + 4) 9w +1

¥

¥

12

(16w2 +1) dw

D(Y ) = ò Sy

(w)dw

ò

2

2

=

p

-¥

-¥ (w

+ 4)(9w +1)

24

¥

(16w2 +1) dw

24 é81

¥

dw

1

¥

dw

ù

=

ò

2

=

2

ê

ò

-

ò

ú =

p

+1)

p

5

2

5

2

0

(w + 4)(9w

ë

0

w + 4

0 9w +1û

24

é81

1

ù

=

ê

(arctg(¥) - arctg(0)) -

(arctg(¥)

- arctg(0))ú

» 96,4.

p

ë10

15

û

Ответ. D(Y ) » 96,4.

293

Задача 4.19.1. На вход динамической линейной системы, определяемой уравнением

a0 y¢(t) + y(t) b=0 x¢(t) + b1x(t),

подается					случайный					процессX (t)						с		корреляционной								функцией
kx (t)			a exp{–=b | t |}.					Найдите					дисперсию					процесса						на			выходе		в
установившемся режиме. (См. пример 4.19 и исходные данные, a –– номер
варианта, b –– последняя цифра номера варианта плюс 1.)
		Исходные данные к задаче 4.19.1.
№	a0		b0	b1		№	a0	b0	b1		№	a0		b0	b1		№	a0	b0		b1	№		a0	b0		b1
1	2		3	1		7	4	1	1		13	5		2	1		19	5	1		2		25	5	4		0
2	2		5	1		8	2	1	4		14	3		5	0		20	2	5		0		26	4	2		4
3	3		2	0		9	3	2	1		15	2		4	0		21	2	4		1		27	2	3		0
4	4		2	1		10	4	2	3		16	5		3	1		22	3	4		2		28	2	1		5
5	2		4	2		11	3	5	1		17	4		2	0		23	2	5		1		29	5	2		0
6	2		1	4		12	2	3	2		18	4		1	2		24	5	3		0		30	2	1		3

Задача 4.19.2. Работу электрической цепи(рис. 4.2.2) описывает дифференциальное уравнение

y¢(t) + R y(t) = x¢(t). L

Рис. 4.2.2

На вход поступает низкочастотный белый шумX (t) , имеющий спектральную плотность SX (w) D=/ w0 при w £ w0 и SX (w) = 0 при | w|> w0 . Найдите дисперсию процесса на выходе в стационарном режиме работы цепи. (См. пример 4.19, w0 равно номеру варианта.)

Задача 4.19.3. Работу линейной динамической системы описывает

дифференциальное уравнение
¢	¢
y (t) + ay(t) = x (t).
На вход поступает случайный процессX (t) , имеющий спектральную
плотность SX (w) = D / (w2 + a2 ) при w > 0	и SX (w) = 0 при w £ 0.	Найдите
дисперсию процесса на выходе в стационарном режиме		работы. (См.
пример 4.19, a –– номер варианта.)

294

Пример 4.20. На вход линейной динамической системы, описываемой

уравнением			¢¢	¢	¢			(4.2.9)
			y (t)	+ 3y (t) + 2 y(t)=	x (t) + x(t),
подается	стационарный			случайный	процессX (t)	с		математическим
ожиданием	m	x	(t) = m и	корреляционной функциейk			(t)	5exp{=– | t |}.
						x

Требуется найти математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе. Решение. Вычислим спектральную плотность случайного процесса

X (t) . По формуле (4.1.12)

1

¥

-iwt

5

¥

-iwt -|t|

5

0

-iwt t

5

0

-iwt -t

Sx (w)=

ò

e k x (t) dt =

ò

e e d t =

ò

e e d t +

ò

e e dt =

p

p

p

p

-¥

-¥

-¥

-¥

5 æ

1

0

1

¥

ö

=

ç

exp((1

- w)t) |-¥

+

exp(-(1 + iw)t)=|0

÷

1 - iw

p è

1 + iw

ø

=	5	æ	1	+	1 ö			=	5	.
		ç					÷
			1 - iw						2
	p è				1 + iw ø				p(1 + w )

Обозначим оператор дифференцирования

d

через p, а оператор

d 2

dt

dt 2

через p2. Тогда уравнение (4.2.9) можно записать в виде

( p2 + 3 p + 2)Y=(t) ( p +1) X (t),

или

p +1

Y (t) =

X (t).

p2 + 3 p + 2

Передаточная функция динамической системы имеет вид

F( p) =

p +1

,

p2 + 3 p + 2

а ее частотная характеристика

F(iw)

iw +1

=

iw +1

=

.

(iw)2 + 3iw + 2 3iw + (2 - w2 )

Спектральная плотность

процесса

на

выходе

системы, равна

согласно (4.2.7),

w2 +1

2

5

5

Sy (w) Sx (w) | F(i=w) |

=×

=

.

2

4

2

p(w

2

2

p(1 + w ) w

+ 5w + 4

+1)(w + 4)

Дисперсия процесса на выходе равна

¥		5	¥			dw
D(Y ) = ò	Sy	(w) dw = =	ò
				(w	2	+1)(w	2	+ 4)
-¥		p	-¥

5	¥ æ		1					1	ö
	ç				-				÷ dw =
3p			2	+1		w	2	+ 4
	-ò¥ è w								ø

	5	æ	¥		1		w ¥		ö
=		çarctg w|-¥		-		arctg		|-¥	÷	= 5 / 6.
					2		2
	3p è								ø

295

Если динамическая система устойчива, то при достаточно больших значениях t (после переходного периода) функцию Y (t) можно считать

стационарной. Так		как X (t) и Y (t)			стационарны, то математические
ожидания	их	производных		равны . Поэтомунулю		переход	к
математическим ожиданиям в равенстве (4.2.9) дает
	-2my (t) = mx (t) или my (t) = –m / 2.
Ответ. my (t) = - m / 2 , D(Y ) = 5 / 6.
Задача 4.20. На вход линейной динамической системы, описываемой
дифференциальным уравнением
		¢¢	¢		¢
		y (t) + ay (t) + by(t)=			x (t) + сx(t),
поступает стационарный случайный процессX (t) с математическим
ожиданием	mx (t) = m	и	ковариационной функциейkx (t) = D exp{–c | t |}.

Найдите математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе. (См. пример 4.20 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 4.20.

№	a	b	с	D	m	№	a	b	с	D	m	№	a	b	с	D	m
1	5	4	3	2	1	11	8	12	2	3	1	21	5	4	3	5	2
2	5	6	4	4	3	12	9	14	3	2	2	22	5	6	4	3	1
3	10	16	3	2	1	13	10	16	2	4	1	23	10	16	3	4	1
4	6	5	2	1	3	14	11	18	4	2	1	24	6	5	2	2	3
5	6	8	1	3	2	15	7	12	3	4	2	25	6	8	1	4	2
6	7	6	2	4	1	16	8	15	2	5	1	26	7	6	2	5	3
7	4	3	2	5	1	17	9	18	4	5	2	27	4	3	2	4	3
8	8	7	3	4	2	18	9	20	1	4	2	28	8	7	3	2	6
9	9	8	2	2	1	19	11	24	2	3	4	29	9	8	2	2	7
10	7	10	4	3	2	20	10	21	2	4	5	30	7	10	4	4	5

Пример	4.21.	Пусть X –– случайная				величина		сD( X ) = D < ¥.
Случайный процесс Y (t) определяется уравнением
			¢	bX ,= Y (0)			0,		(4.2.10)
		Y (t) + aY (t)
где a и b ––	постоянные		коэффициенты. Требуется					найти	дисперсию
процесса Y (t) .
Решение. Решим линейное дифференциальное уравнение(4.2.10)
методом Бернулли. Будем искать решение						в видеY (t) = u(t)v(t) . Тогда
уравнение (4.2.10) можно переписать:
	¢	¢		¢		¢	= bX .
	u v +uv +auv= bX Þv(u				+a u) + uv
Подберем	u(t)	так,	чтобы	u¢ + au = 0,			.т е.	du / dt = –au Þ
Þ du / u= –adt Þ ln u= –at Þ u(t) = exp(–at).						При	таком u(t)		получаем

296

уравнение e-at v¢ = bX . Откуда dv = bXeat dt или v = bX (eat / a + c). В итоге получаем общее решение уравнения (4.3.2):

Y (t) = u(t)v(t) =e-atbX (eat / a + c) bX ( 1=/ a + ce-at ).

При начальных условиях Y (0) = 0 имеем 0 = bX (1 / a + c) Þ c = –1 / a.

Частное решение уравнения (4.2.10) имеет вид Y (t) = bX (1 -e-at ). Поэтому a

D(Y ) = D[bX=(1 – e-at ) / a] b2 (1 - e-at )2 D / a2. Ответ. D(Y ) = b2 (1 – e-at )2 D / a2.

Задача 4.21.1. Случайный процесс Z (t) определяется уравнением

¢	= 0,
Z (t) + aZ (t) b( Xt= + Y ), Z (0)

где a и b постоянные коэффициенты, а X и Y –– независимые случайные величины с D( X ) = =D(Y ) D < ¥. Найдите дисперсию Z (t) . (См. пример 4.21, a –– первая цифра варианта, b –– номер варианта.)

Задача 4.21.2. Случайный процесс Z (t)			определяется уравнением
	¢
	Z (t) + aZ (t) = bX sin t,
где a и b постоянные	коэффициенты,	а	X –– случайная	величина с
D( X ) = D < ¥. Найдите	дисперсию Z (t) . (См. пример 4.21,			a ––	первая
цифра варианта, b –– номер варианта.)
Пример 4.22. На RC –– цепь, схема которой изображена на рис. 4.2.3,
подается случайное	напряжениеX (t)	с	математическим		ожиданием

mx (t) = m и ковариационной функцией Kx (t1,t2 ) = exp{– | t1 -t2 |}.

				Рис. 4.2.3
Требуется	найти			математическое	ожидание		и	дисперсию	с
напряжения Y (t) на выходе.
Решение. Дифференциальное уравнение, связывающее сигнал на
выходе Y (t) с сигналом X (t)				на входе имеет вид
		dY (t)	+ bY=(t) b X (t), где b		1=	> 0.		(4.2.11)
		dX			RC

297

Решение этого уравнения можно получить, например, методом

вариации

произвольной

постоянной. Однородному

уравнению

dY (t)

+ bY (t) = 0

соответствует

характеристическое

уравнениеk +b = 0 .

dX

Поэтому

решение

соответствующего

однородного

уравнения

имеет вид

Y1 (t) = С exp{–bt}.

Вместо

произвольной

постояннойC

подберем такую

функцию

C(t) , чтобы

Y (t) = C(t)exp{–bt}

стало

решением

уравнения

(4.2.11). Тогда при подстановке этого Y (t) в уравнение (4.2.11) получаем

¢

bX (t).

C (t)exp{-bt} – bC(t)exp{–bt} + bC(t)exp{–bt=}

Откуда следует, что

t

¢

= bexp{bt}X (t) и C(t)= bòe

bs

X (s)ds.

C (t)

0

Поэтому решение уравнения (4.2.11) имеет вид

t

Y (t) = bexp{–bt}òebs X (s)ds.

(4.2.12)

Запись (4.2.12) означает, что Y (t)

0

является результатом действия на

t

X (t) линейного оператора: L( X (t)) = b exp{–bt}òebs X (s) ds.

В соответствии с (4.2.1)

0

t

my (t) = bexp{–bt}òebsmds

=mexp{–bt}[exp{bt} – 1]

m[1 –=exp{–bt}].

0

По формуле (4.2.2) при t2 £ t1

t1

t2

K y (t1,t2 ) = b2 exp{–b(t1 + t2 )}òebs1 ds1 òebs2 es2 -s1 ds2 =

0

0

t1

t2

= b2 exp{–b(t1 + t2 )}òe(b-1) s1 ds1 òe(b+1) s2 ds2 =

0

0

b2

b2

=

exp{–b(t

+ t

)}(e(b-1)t1 -1)(e(b+1)t2

-1)

=(e-t1 - e-bt1 )(et2 - e-bt2 ).

b2 -1

1

2

b2 -1

Аналогично при t2 ³ t1 :

K

(t

,t

) =

b2

(e-t1 - e-bt1 )(et2 - e-bt2 ).

y

Поэтому дисперсия

1

2

b2 -1

b2

D(Y (t)) = K

(t,t) =

(e-t - e-bt )(et - e-bt ).

y

b2 -1

298