æ

X

Y

ö

2

2

I (t) =

X

+ Y

ç

cos wt +

sin wt ÷ .

X 2 + Y 2

X 2 + Y 2

è

ø

Тогда можно считать (см. рис. 2.15.2), что

X

= sin j, а

Y

=

X 2 + Y 2

X 2 + Y 2

= cos j, где j –– некоторый угол.

Рис. 2.15.2

Поэтому

I (t) = X 2 + Y 2 (sin j cos wt + cos jsin wt) =X 2 + Y 2 sin(wt + j).

Величину Z =	X 2 + Y 2	обычно трактуют как«амплитуду», а j
считают «сдвигом по	фазе».	Найдите распределение случайного вектора

(Z ,j). (См. пример 2.88. Величину w возьмите равной номеру варианта.)

2.16. Правило «трех сигм»

Пусть случайная величинаX имеет закон распределенияN (m;s2 ). Вероятность того, что эта случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на три средних квадратических отклонения равна

P(| X – m |< 3s) = 2F(3s / s) = 2F(3)= 0,997 »1,

т.е. отклонения, большие 3s, имеют вероятность 0,003. Во многих приложениях такой вероятностью можно пренебречь и считать, что при единичном наблюдении нормально распределенной случайной величины

интервалом	практически	возможных			значений			является	интервал
(m – 3s;m + 3s). Это утверждение обычно называют правилом «трех сигм».
Заметим, что для любой случайной величины из неравенства Чебышева
следует, что			s2
	P(| X - m |< 3s) ³1 -			1 -	1		» 0,9 .
			=
					9
			(3s)2

Поэтому правилом «трех сигм» иногда пользуются не печалясь о том, что случайная величина вовсе не имеет нормального закона распределения.

156

Замечание. Последние годы все чаще предпочитают брать не3s, а 3,9s. Тогда получается более «симпатичная» вероятность

	P(| Х – m |< 3,9s) =2F(3,9s / s) =2F(3,9)=				0,999 »1.
(Величина 0,999 впечатляет больше, нежели 0,997!)
Пример 2.89.1.		Монета подброшена100 раз. Герб				выпал 30	раз.
Можно ли считать, что монета было симметричной?
Решение. Подбрасывание монеты можно считать независимым опытом,
число которых n =100 . Число появлений события в большой серии опытов
имеет примерно нормальный закон распределения					с параметрамиm = nр и
s2 = nрq .	Если монета		симметрична, то р = 0,5 ,		q =1 – р = 0,5.		Тогда
m =100 ×0,5 = 50 и s2		100=	×0,5 ×0,5 = 25 ,	s = 5 . Поэтому для симметричной
монеты	практически	возможными		значениями	числа	выпадений герба

являются значения от 35 до 65. Число 30 к ним не принадлежит.

Ответ. При симметричной монете такой результат практически невозможен.

Пример 2.89.2. Некто утверждает, что он экстрасенс. Для проверки был проделан следующий опыт. Взято пять карточек с рисунками простейших геометрических фигур. Испытатель выбирает карточку наугад, а испытуемый, находясь в соседней комнате, пытается определить, руководствуясь сверхчувственным восприятием, какая карточка выбрана экспериментатором. Карточки перемешиваются. Затем опыт повторяется. Так проделали 100 раз. Оказалось, что в 28 случаях испытуемый правильно назвал карточку. Есть ли основания считать, что имело место сверхчувственное восприятие?

Решение. Естественно предположить, что 28 совпадений произошли случайно. Вероятность угадать нужную карточку равна1/5. Угадывание каждой карточки можно считать независимым опытом. Так как опытов много ( n =100 ), то число совпадений имеет близкий к нормальному закон

распределения	с	параметрамиm = nр =100 ×1 / 5 = 20			и	s2	nр=q
=100 ×1 / 5 × 4 / 5 =16.		Тогда s = 4	,и согласно	правилу «трех			сигм»,
практически возможно угадать от 20 – 3 × 4 = 8 до 20 + 3 × 4 = 32						раз. Число
28 входит в интервал возможных значений при простом угадывании.
Следовательно,	полученные		опытные	данные	не		подтверждают
сверхчувственного восприятия.

Замечание. Предположим, что экстрасенс все-таки настаивает на своем сверхчуственном восприятии. Серию опытов повторили. Совпадений

оказалось 31. В			этом	случае	всего	опытовn = 200 , np = 40 ,
3s=		»17.	Интервал		практически	возможных	значений:
	200 × 0, 2 ×0,8
(23;57). Общее число совпадений равно 28 + 31 = 59.

157

Такое	число	совпадений	при	простом	угадывании	практически
невозможно. Это может послужить поводом для					тщательной проверки
условий	эксперимента (подавляющее			большинство	так	называемых

экстрасенсов –– откровенные жулики). Или следует настоять на лабораторном обследовании экстрасенса (от чего экстрасенсы всячески уклоняются, их стихия –– работа на публику).

Задача 2.89.1. Монета подброшена n раз. Герб выпал k раз. Можно ли считать, что монета было симметричной? (См. примеры 2.89.1 и 2.89.2 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 2.89.1.

№	n	k	№	n	k	№	n	k	№	n	k	№	n	k
1	144	95	7	144	55	13	144	86	19	144	53	25	324	145
2	256	100	8	256	105	14	256	150	20	256	145	26	400	175
3	324	132	9	324	180	15	324	140	21	324	182	27	484	272
4	400	232	10	400	175	16	400	228	22	400	180	28	900	401
5	484	210	11	484	270	17	484	212	23	144	56	29	400	168
6	900	402	12	900	491	18	900	489	24	256	110	30	256	112

Задача	2.89.2.	При	изготовлении	массовой	продукци
(шарикоподшипники, резисторы и т.д.) p% изделий оказываются высшего
сорта. Для текущего контроля за технологическим режимом время от
времени отбирают наугадn изделий и проверяют. Среди проверенных
оказалось k	изделий	высшего	сорта. Есть ли основания считать, что

технологический режим разладился и требует вмешательства в него, или некоторое отклонение от ожидаемого результата можно объяснить случайностями выбора? Сохранятся ли ваши выводы, если при повторном обследовании n издений среди них оказалось k – 2 первосортных изделия?

(См. примеры 2.89.1, 2.89.2 и исходные данные; p –– в четных вариантах равно 90, в нечетных вариантах 80.)

Исходные данные к задаче 2.89.2.

№	n	k	№	n	k	№	n	k	№	n	k	№	n	k
1	100	72	7	100	69	13	144	105	19	144	104	25	144	105
2	144	121	8	144	124	14	100	84	20	100	80	26	100	85
3	121	83	9	121	86	15	121	85	21	121	84	27	196	141
4	100	82	10	100	83	16	144	123	22	144	126	28	144	127
5	144	102	11	144	100	17	100	71	23	100	73	29	196	139
6	121	98	12	121	103	18	121	100	24	121	100	30	144	127

158