или 591, 28 < M ( X ) < 594, 72 с вероятностью 0,99.

б) В случае неизвестной дисперсии ее можно оценить на основе тех же опытных данных:

	2	» s	2	(592 -593)2 + (595-593)2 +K + (590 -593)			2	6,5,
s				=
				8
				s =	6,5	» 2,55.

По таблице распределения Стьюдента (см. прил., табл. П3) для n – 1 = 9 – 1 = 8

степеней свободы и заданной вероятностиg = 0,99						находим tg =3,355.
Тогда по формуле (3.4.6)
593 – 3,355 ×	2,55			< M ( X ) < 593+3,355 ×	2,55
9						9

или 590,15 < M ( X ) < 595,85 с вероятностью 0,99.

Ответ. а) 591, 28 < M ( X ) < 594, 72 ; б) 590,15 < M ( X ) < 595,85 .

Задача 3.10. Случайная величинаX имеет нормальный закон распределения. Построить доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины при уровне надежностиg = 0,9 в предположении, что:

а) дисперсия случайной величины неизвестна; б) дисперсия случайной величины известна и равна 1,44.

(См. пример 3.10 и исходные данные к задаче 3.11.)

3.5. Доверительный интервал для дисперсии

Пусть случайная величина X имеет нормальный закон распределения

N (m,s2 ), где m и s2

неизвестны.

Пусть Х1, Х 2 ,K, Х n

–– результаты n

независимых наблюдений этой случайной величины.

(n -1)s2

В этих условиях, согласно теореме Фишера, величина

имеет

s2

распределение c2

(распределение «хи-квадрат») с n – 1 степенью свободы.

Назначим уровень надежности g и подберем числа n1 и n2 так, чтобы

æ (n -1)s2

ö

1 - g

æ (n -1)s2

ö

1

- g

P ç

£ n1 ÷

=

и P ç

³ n2

÷ =

.

s

2

2

s

2

2

è

ø

è

ø

Тогда P æn <

(n -1)s2

< n =ö

g.

ç

1

s

2

2 ÷

è

ø

Величины n1 и n2

удовлетворяют равенствам

197

		n1		- g		+¥		1 - g
		ò fn-1 (x)dx =	1		и	ò	f (x)dx =		,
				2
		0				n2	2
										n – 1
где fn -1 (x)		плотность распределения «хи-квадрат» с									степенью
свободы.
Решения этих уравнений находят с помощью таблиц (см. прил., табл. П4).
Для	n1	входы таблицы:		r = n – 1			и b = (1 + g) / 2 .			Для	n2 входы
таблицы:	r = n – 1 и b = (1 - g) / 2 .

Рис. 3.5.1

Если n1 и n2 (см. рис. 3.5.1) найдены, то

			(n -1)s2							(3.5.1)
	n <						< n
			s2
1								2
или
	(n -1)s2		< s	2	<	(n -1)s2
									.	(3.5.2)
	n2						n1

Это и есть доверительный интервал для дисперсии, соответствующий уровню надежности g.

Пример 3.11. Даны результаты наблюдений случайной величины, имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами:

Х1 = 0,7 ,

Х 2 = 3,1,

Х 3 = -0,9 ,

Х 4 =1,8 ,

Х 5 = 2, 2 , Х 6 = -0,3,

Х 7 =1,9 ,

Х8 = 4,2 ,

Х 9 =1,5 ,

Х8 = 2,8 . Требуется построить доверительный интервал

для дисперсии при уровне надежности g = 0,9 .

Решение. Оценим сначала математическое ожидание:

0,7 + 3,1 - 0,9 +1,8 + 2, 2 - 0,3 +1,9 + 4, 2 +1,5 + 2,8

M ( X ) »

X

1,7 .

10

=

По формуле (3.1.3) оценим дисперсию

n

å( X i

)2

- X

2

+ (3,1

2

-1,7)

2

D( X ) » s2

i=1

(0,7 -1,7)

-1,7)= +K+ (2,8

» 2,39.

n -1

9

Обратимся к таблице распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4).

198

Для величины n1

входы таблицы: r = n – 1 =10 – 1 =9 и b (1 += g) / 2 =

= (1 + 0,9) / 2 = 0,95. По таблице находим n1 = 3,32. Для n2

входы таблицы:

r = n – 1 = 9 и b (1=– g) / 2 = 0,05. По таблице находим n2 =16,92.

В итоге с вероятностью g = 0,9 имеем, в соответствии с формулой

(3.5.1),

9 × 2,39

9 × 2,32

9 × 2,39

3,32 <

<16,92 или 1,27 =

< s2 <

= 6,29.

s2

16,92

3,32

Для

среднего

квадратического

отклонения

имеем

с

той

же

надежностью g = 0,9 доверительный интервал 1,13 < s < 2,5.

Ответ. (1,27;6,29).

Задача 3.11. По приведенным данным наблюдений случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения, постройте доверительный интервал для дисперсии при уровне надежностиg = 0,96 в нечетных вариантах и g = 0,8 в четных вариантах. (См. пример 3.11 и исходные данные.)

Исходные данные к задаче 3.11.

	№	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9
	1	1,9	0,4	3,3	1,5	0,9	2,6	2,4	1,4	2,7
2		3,5	2,1	2,4	2,8	0,5	2,5	2,8	0,5	2,5
3		3,7	2,9	3,6	6,3	4,4	3,2	5,1	4,8	2,1
4		2,6	1,5	3,3	2,5	0,9	4,9	2,2	3,1	4,2
5		1,7	0,2	3,1	1,3	2,4	0,7	1,2	2,5	2,2
6		2,8	1,5	1,7	2,7	1,1	5,1	2,2	4,5	3,3
7		3,6	6,2	5,1	4,4	3,2	4,8	2,1	3,7	2,9
8		1,6	0,1	3,0	1,2	0,6	2,3	2,1	1,1	2,4
9		3,2	2,4	0,8	4,8	2,1	3,0	4,1	2,5	1,4
10		1,5	2,9	0,1	1,1	0,4	2,2	2,0	1,0	2,3
11		2,3	0,7	4,7	2,0	2,9	4,0	2,4	1,3	3,1
12		0,3	1,4	0,0	2,8	1,0	2,1	1,9	0,9	2,2
13		5,0	3,4	2,6	1,0	2,3	3,2	1,6	4,3	2,7
14		2,2	3,6	0,6	1,1	2,7	1,7	2,6	1,5	2,9
15		3,6	2,3	1,2	0,7	2,9	1,8	2,7	3,0	1,6
16		2,0	3,4	0,4	2,7	0,9	2,5	1,5	1,3	2,4
17		6,1	3,1	4,3	5,0	4,7	2,0	3,6	2,8	3,5
18		2,6	0,3	3,2	1,4	0,8	1,3	1,8	2,5	2,3
19		0,9	2,6	2,4	1,4	2,7	1,9	0,4	3,3	1,5
20		2,8	0,5	2,5	2,8	0,5	2,5	3,5	2,1	2,4
21		6,3	4,4	3,2	3,7	2,9	3,6	5,1	4,8	2,1
22		4,9	2,2	3,1	4,2	2,6	1,5	3,3	2,5	0,9
23		0,2	3,1	1,3	2,4	1,7	0,7	1,2	2,5	2,2
24		1,7	2,7	1,1	5,1	2,2	2,8	1,5	4,5	3,3
25		3,2	4,8	2,1	3,7	2,9	3,6	6,2	5,1	4,4
26		2,3	2,1	1,1	2,4	1,6	0,1	3,0	1,2	0,6

199