Окончательно

d=(/(p N_А))^1/3.

Произведем вычисления

м.

Ответ: ; м.

12. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p₁=1 МПа и при температуре T=300 К. После того как из баллона было взято m=10 г гелия, температура газа понизилась до Т=290 К. Определить давление гелия оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона, применив его дважды к начальному и конечному состояниям газа:

;

,

где m₁, m₂ – масса гелия в баллоне в начальном и конечном состояниях;

μ – молярная масса гелия;

R – универсальная газовая постоянная;

T₁ и T₂ – температуры газа в начальном и конечном состояниях.

Массы m₁ и m₂ гелия найдем из уравнения Менделеева–Клапейрона:

m₁=p₁V/RT₁,

m₂=μp₂V/RT₂.

Тогда масса гелия оставшегося в баллоне будет равна

Для давления (p) гелия, оставшегося в баллоне, будем иметь:

или

Численно

МПа.

Ответ: p=0,364 МПа.

13. Баллон содержит 80 г кислорода и 320 г аргона. Давление смеси 1МПа, температура 300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем баллона.

Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальные давления кислорода p₁ и аргона p₂ можно определить, воспользовавшись уравнением Менделеева – Клапейрона

p₁=m₁RT/(m₁V);

p₂=m₂RT/(m₂V).

По закону Дальтона, давление смеси газов

или

откуда объем баллона

Подставив численные значения, будем иметь:

10^-3 м³.

Ответ: V=26,210^-3 м³.

14. Какое количество молекул находится в комнате объемом 80м³ при температуре 17 ^oС и давлении 750 мм. рт. ст.?

Решение. Количество молекул N, содержащееся в комнате, можно определить, зная массу воздуха m,его молярную массу μ и число Авогадро N_А. Число молекул в одном киломоле газа равно числу Авогадро. А число киломолей содержащихся в массе m , определяется соотношением:

=m/.

Следовательно,

N=m/(N_А).

Массу m содержащегося в комнате воздуха определяем из уравнения Менделеева–Клапейрона

,

где p – давление воздуха;

V – объем;

R – универсальная газовая постоянная;

T – абсолютная температура (T=t+273);

m – масса воздуха.

Следовательно, для числа молекул воздуха имеем:

Подставляя все данные, предварительно выразив их в системе СИ, будем иметь

молекул.

Ответ: N=210²⁴ молекул.

15. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре T=350 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой 4 г.

Решение. Согласно теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, на каждую степень свободы приходится энергия:

,

где k – постоянная Больцмана;

Т – абсолютная температура.

Молекула кислорода двухатомная, поведение такой молекулы описывается 5–ю степенями свободы (три из них приписываются поступательному движению и две – вращательному).

Следовательно, кинетическая энергия вращательного движения молекулы кислорода может быть рассчитана по формуле:

<Wвр>=2<Wк>=2(1/2) kТ=kТ.

Энергия вращательного движения всех молекул, содержащихся в 4 г кислорода, может быть определена как произведение числа молекул N на энергию одной молекулы:

Wк=N<Wвр>=NkТ.

Число молекул определяется соотношением:

где – молекулярная масса кислорода;

m – его масса;

N_А – число Авогадро.

Таким образом:

Подставив численные значения, предварительно выразив их в системе СИ, будем иметь:

<Wвр>=1,3810^–23350=4,8310^–21 Дж.

Дж.

Ответ: W_к=364 Дж.

16. Масса 10 г кислорода находится при давлении 304 кПа и температуре 10 ^oС. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем 10 л. Найти объем газа до расширения, температуру газа после расширения, плотности газа до и после расширения.

Решение. Согласно условию задачи, расширение газа вследствие нагревания происходило при постоянном давлении. В этом случае оказывается справедливым соотношение

.

Для определения температуры газа после расширения воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона для конечного состояния газа

,

где p₂ – давление газа после расширения;

V₂ – его объем после расширения;

m – масса газа;

 – молекулярная масса кислорода;

R – универсальная газовая постоянная;

T₂ – абсолютная температура газа.

Следовательно, для конечной температуры имеем

Для определения объема газа до расширения можно вновь воспользоваться уравнением Менделеева – Клапейрона, записанным для первоначального состояния газа:

где p₁, V₁, T₁ – его давление, объем и температура до расширения.

Из данного уравнения имеем

.

Учитывая то, что плотность газа ₁=m/V₁, подставляя значения V₁ и V₂ из уравнений Менделеева – Клапейрона, записанные для соответствующих состояний, для плотности кислорода до и после расширения будем иметь

и

Подставляя численные значения в системе СИ, окончательно имеем

;

л;

₁= 4,14 кг/м³;

₂=1кг/м³.

Ответ: ; л; ₁= 4,14 кг/м³; ₂=1кг/м³.

17. Масса газа 12 г занимает объем 4 л при температуре 7 ^oC После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной 0,6 кг/м³. До какой температуры нагрели газ?

Решение. Воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона

можно показать, что между плотностью газа =m/V и давлением существует связь

Следовательно, в начальном состоянии давление газа

В конечном

Так как нагревание газа производилось при постоянном давлении, то p₁=p₂

отсюда

Подставляя численные значения в системе СИ для конечной температуры, будем иметь:

Ответ: T₂=1400 K.

18. В баллоне находилась масса m₁=10 кг газа при давлении p₁=10 МПа. Какую массу газа взяли из баллона, если давление стало равным p₂=2,5 МПа? Температуру газа считать постоянной.

Решение. Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) для двух состояний: начального и конечного

и

Из второго соотношения определяем объем сосуда и подставляем его значение в первое уравнение, имеем:

а

Из последнего соотношения получаем связь между давлением газа в сосуде и его массой для данного случая:

Отсюда масса газа оставшегося в баллоне:

.

Так как масса израсходованного газа m=m₁–m₂, то окончательно, после соответствующих преобразований, имеем

Подставляя численные значения (в системе СИ) определяем массу взятого из баллона газа:

кг.

Ответ: Δm=7,5 кг.

19. В сосуде находится масса m₁=14 г азота и масса m₂=9 г водорода при температуре 10 ^oС и давлении 1 МПа. Найти молярную массу смеси и объем сосуда.

Решение. По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме парциальных давлений компонентов входящих в смесь

p=p₁+p₂,

где p – давление смеси;

p₁ – парциальное давление азота;

p₂ – парциальное давление водорода.

Из уравнения Менделеева–Клапейрона:

Для каждого из давлений (смеси и парциальных) можно записать:

;

;

.

Следовательно, так как p=p₁+p₂, имеем:

.

Откуда

Из последнего соотношения для молекулярной массы смеси будем иметь:

Из уравнения Менделеева–Клапейрона, для смеси газов, объем сосуда равен:

Подставляя численные значения в системе СИ, находим молекулярную массу смеси:

кг/кмоль.

и объем сосуда

м³.

Ответ: μ_см=4,6 кг/кмоль; V=11,710^-3 м³.

20. Для получения хорошего вакуума в стеклянном сосуде, для удаления адсорбированного газа, необходимо прогревать стенки сосуда при откачке. На сколько может повыситься давление в сферическом сосуде радиусом 10 см, если адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд? Площадь поперечного сечения молекул S_o=10^–19 м². Температура газа в сосуде 300 ^oС. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным.

Решение. Для определения давления воспользуемся основным уравнением молекулярно–кинетической теории в виде

p=n_okT,

где n_o – число молекул в единице объема;

k – постоянная Больцмана;

Т – абсолютная температура газа.

С учетом того, что

n_o=N/V,

где N – число молекул в объеме V, для давления имеем

По условию задачи слой молекул в сосуде мономолекулярный, следовательно, число молекул в нем можно определить исходя из соображений:

,

где S=4r² – площадь поверхности сосуда;

S_o – площадь поперечного сечения молекул газа.

Так как сосуд сферический, то его объем V=4/3r³.

Таким образом, окончательно для давления газа в сосуде будем иметь соотношение:

Подставляя численные значения в полученное соотношение (в системе СИ) определяем давление газа в сосуде

Па.

Ответ: p=2,4 Па.

21. В воздухе содержится 23,6% кислорода и 76,4% азота (по массе) при давлении 100 кПа и температуре 13 ^oС. Найти плотность воздуха и парциальные давления кислорода и азота.

Решение. Для определения плотности воздуха воспользуемся уравнениемМенделеева–Клапейрона

откуда

а

Для определения парциальных давлений так же воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона, записанным для каждого из компонентов, входящих в смесь воздуха:

где V – объем воздуха.

Откуда

Так как =m/V, то V=m/, следовательно

Подставляя численные значения в системе СИ, для плотности воздуха и парциальных давлений кислорода и азота будем иметь:

кг/м³;

кПа;

кПа.

Ответ: ρ=1,2 кг/м³; p₁=21 кПа; p₂=79 кПа.

22. В сосуде находится количество =10^–7 моль кислорода и масса m₂=10^–6 г азота. Температура смеси 100 ^oС, давление в сосуде p=133 мПа. Найти объем сосуда, парциальные давления кислорода и азота и число молекул в единице объема.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, записанным для смеси газов в виде

,

где _см=₁+₁=(₁+m₂/₂) – число молей или киломолей газов составляющих смесь.

Имеем

pV=(₁+m₂/₂)RT.

Отсюда

V=(₁+m₂/₂)(RT/p).

Парциальные давления компонентов образующих смесь определяем так же из уравнения Менделеева–Клапейрона, записанным для каждого из газов

p₁V=₁RT и p₂V=(m₂/₂)RT.

Откуда для парциальных давлений кислорода и азота соответственно имеем

p₁=₁RT/V и p₂=m₂RT/₂V.

Для определения числа молекул в единице объема необходимо воспользоваться основным уравнением молекулярно – кинетической теории для давления

p=n_okT.