С учетом последнего соотношения, для молярной массы смеси имеем:

_см=(₁n₁+₂n₂)/(n₁+n₂).

Решив систему уравнений, найдем неизвестные n₁ и n₂:

n₁=(RT-p₂)/(kT(₁-₂)),

n₂₌(RT-p₁)/(kT(₂-₁)).

Выражая входящие в формулы величины в единицах СИ, подставив их значения, выполнив вычисления, получим

n₁=3,5710²⁴ м^-3; n₂=4,110²⁵ м^-3.

Ответ: n₁=3,5710²⁴ м^-3; n₂=4,110²⁵ м^-3.

25. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа 450 м/с. Давление газа 50 кПа. Найти плотность газа при этих условиях.

Решение. Средняя квадратичная скорость молекул газа связана с его температурой соотношением

,

где R – универсальная газовая постоянная;

μ – молекулярная масса газа;

T – абсолютная температура газа.

Для определения температуры газа воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона

,

где =m/V – плотность газа.

Следовательно,

.

Откуда

Подставляя численные значения, имеем:

кг/м³.

Ответ: ρ=0,74 кг/м³.

26. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул воздуха =0,3 нм.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул газа

,

где <v> – средняя арифметическая скорость молекул;

<z> – среднее число столкновений каждой молекулы с остальными молекулами в единицу времени;

σ – эффективный диаметр молекулы;

n – число молекул в единице объема (концентрация молекул). Для определения числа молекул в единице объема воспользуемся основным уравнением молекулярно–кинетической теории для давления

p=nkT,

,

где k – постоянная Больцмана;

Т – температура газа.

Тогда для средней длины свободного пробега имеем

.

Подставляя численные значения, окончательно получаем:

=9310^-9 м=93 нм.

Ответ: <λ>=93 нм.

27. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул углекислого газа при температуре 100 ^oС, если средняя длина свободного пробега <>=870 мкм.

Решение. Число столкновений молекул газа в единицу времени связано со средней длиной свободного пробега соотношением

,

где – средняя арифметическая скорость.

Следовательно,

.

Подставляя численные значения, имеем

с^-1.

Ответ: <z>=4,910⁵ с^-1.

28. При некотором давлении и температуре 0 ^oС средняя длина свободного пробега молекул кислорода 95 нм. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул кислорода, если давление кислорода уменьшить в 100 раз.

Решение. Среднее число столкновений в единицу времени

где – средняя арифметическая скорость молекул газа;

<> – средняя длина свободного пробега молекул.

При изменении давления газа длины свободного пробега обратно пропорциональны давлению:

где ₁, ₂ – длина свободного пробега молекул газа при соответствующих давлениях p₁ и p₂.

В нашем случае:

.

Подставляя численные значения для <z>, имеем

.

Ответ: <z>=4,510⁷ с^-1.

29. Какая часть молекул кислорода при t= 0 ^oС обладает скоростями от 100 до 110 м/с?

Решение. Согласно распределению молекул по скоростям (закону Максвелла)

,

где u=v/v_в – относительная скорость;

v – данная скорость;

–наиболее вероятная скорость молекул;

u – интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью u.

Тогда искомая часть молекул, которую необходимо определить

.

В нашем случае v=100 м/с; Δv=10 м/с; наиболее вероятная скорость v=(2RT/)^1/2=376 м/с. Следовательно, u=v/v_в=100/376, u²=0,071; u=10/376; exp(–u²)=0,93.

Тогда

Ответ:ΔN/N=0,4%.

30. Сосуд, содержащий газ, движется со скоростью v_o, затем быстро останавливается. На сколько увеличится при этом средний квадрат скорости теплового движения молекул газа в случаях: одноатомного газа, двухатомного газа? Газ считать идеальным.

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть M масса газа в сосуде. Двигаясь со скоростью v газ, как целое, обладает кинетической энергией

.

Эта формула определяет кинетическую энергию направленного движения молекул, в котором они участвуют вместе с сосудом. После остановки сосуда направленное движение молекул в результате их соударений со стенками сосуда очень скоро превратится в хаотическое.

Пренебрегая теплообменом между газом и стенками сосуда за рассматриваемый промежуток времени, можно газ считать изолированной системой. Тогда из закона сохранения энергии следует, что «исчезнувшая» кинетическая энергия направленного движения молекул W должна быть равна приросту энергии хаотического движений молекул (приросту внутренней энергии U):

W_к=U.

Определим внутреннюю энергию газа. Для идеального одноатомного газа это есть энергия поступательного хаотического движения молекул:

,

где m – масса молекулы;

N – число молекул в сосуде.

Имеем

Отсюда следует, что изменение внутренней энергии одноатомного газа при торможении

U=U₂-U₁=M[v²_кв2-v²_кв1],

где v_кв1,v_кв2 – средние квадратичные скорости молекул газа соответственно в начале и конце торможения.

Подставив в уравнение W_к=U значения W_к и U, получим первый ответ

v²_кв2–v²_кв1=v₀².

Внутренняя энергия идеального двухатомного газа складывается из энергий поступательного и вращательного движения молекул. При этом три степени свободы приходятся на поступательное движение и две – на вращательное. В соответствии с законом о равномерном распределении энергии по степеням свободы, три пятых кинетической энергии W пойдет на увеличение энергии поступательного движения молекул и две пятых – на увеличение энергии их вращательного движения. Таким образом, имеем:

.

Из последнего соотношения получим второй ответ:

.

Ответ: 1) ; .

31. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре T, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше чем на 5,0 м/с? Задачу решить для двух значений T: 1) 400 К, 2) 900 К .

Решение. Распределение молекул по скоростям выражается законом Максвелла: число молекул N , относительные скорости которых лежат в интервале от u до u + u:

где N – полное число молекул газа;

–функция распределения Максвелла;

u=v/v_в – относительная скорость;

v – данная скорость;

v_в – наиболее вероятная скорость.

Закон распределения Максвелла оказывается справедливым при условии u<u. Поскольку в задаче идет речь о наиболее вероятной скорости, надо считать v=v_в. Следовательно, u=v/v_в=1 и вышенаписанное уравнение примет более простой вид:

.

Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале u:

Прежде чем производить расчеты, необходимо убедиться в том, что выполняется условие u<u. Так как u=v/v_в , то u=v/v_в.

Чтобы вычислить u , найдем сначала наиболее вероятную скорость при Т=400 К и Т=900 К по формуле:

:

v_в1=28,31400/0,002=1,8210³ м/с,

v_в2=28,31900/0,002=2,7310³м/с.

Подставляя эти значения v_в и имея в виду, что v=10 м/с, поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежащих в интервале от v_в=--5,0 м/с до v_в=5,0 м/с, получим:

u₁₌1/182, u₂=1/273.

Так как u=1, видим, что условие u<u выполняется для обеих температур.

Теперь найдем

N₁/N=4/((3,14)^1/22,7182)=0,0046,

N₂/N=4/((3,14)^1/22,7273)=0,0030.

Таким образом, при увеличении температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается, а число молекул, скорости которых лежат в одном и том же интервале около наиболее вероятной, уменьшается.

Ответ: N₁/N=0,0046, N₂/N=0,0030.

32. Какая часть молекул газа имеет скорости превышающие наиболее вероятную?

Решение. В условии задачи речь идет о молекулах, скорости которых заключены в интервале от наиболее вероятной скорости v до v+v, т.е. в бесконечно большом интервале скоростей. Таким образом, условие применимости закона распределения скоростей, заключающееся в том, что u<u, или v<v, здесь не выполняется. Поэтому от уравнения в форме:

надо перейти к дифференциальной форме этого закона

Полное число N молекул, относительные скорости которых лежат в заданном интервале от u₁ до u₂, найдем, интегрируя правую часть в этих пределах: