- •Федеральное агентство по образованию
- •В.М. Полунин, г.Т. Сычёв Сборник тестовых задач по физике
- •Часть 1
- •Оглавление
- •От авторов
- •Введение
- •Общие методическиеУказания к решению задач и выполнению контрольных заданий
- •1. Физические основы механики
- •1.1. Примеры решения задач
- •Решением этого уравнения является выражение вида
- •Решением этого уравнения является выражение вида
- •1.2. Задачи первого уровня сложности для самостоятельного решения
- •2. Физические основы механики
- •2.1. Примеры решения задач
- •По закону сохранения энергии
- •2.2. Задачи первого уровня сложности для самостоятельного решения
- •3. Основы молекулярной физики и термодинамики
- •3.1. Примеры решения задач
- •Окончательно
- •Из него
- •С учетом последнего соотношения, для молярной массы смеси имеем:
- •Данное уравнение является общей формой записи закона распределения скоростей молекул, справедливой для любых интервалов скоростей.
- •Подставив эти значения и выполнив вычисление, получим
- •Однако это выражение еще не является ответом, так как Aвн есть сумма двух работ: работы a силы, приложенной к поршню (например, силы руки), и работы Aатм силы атмосферного давления, т.Е.
- •С учетом этого будем иметь
- •После сокращений на a/27b и в правой части на r получим
- •Подставив значения величин в си и произведя вычисление, получим
- •Таким образом:
- •3.2. Задачи первого уровня сложности для самостоятельного решения
- •Рекомендательный список литературы Основной
- •Дополнительный
- •Физические основы механики. Основные понятия, определения и законы п 1.1. Кинематика и динамика
- •9) Полное ускорение a:
- •10) Среднее ускорение при неравномерном движении:
- •1) В подвижной
- •2) В неподвижной
- •Вслучае переменной массы
- •П 1.2. Волновые процессы. Акустика
- •П 1.3. Энергия, работа, мощность. Законы сохранения в механике
- •П 1.4. Поле тяготения. Движение в поле центральных сил.
- •П 1.5. Основы специальной теории относительности
- •Основы молекулярной физики
- •1) Произвольной поверхности
- •П 2.2. Основные понятия, определения и законы молекулярной физики и термодинамики
- •П 2.3. Статистический метод исследования
- •П 2.4. Основы термодинамики
- •П 2.5. Реальные газы. Фазовые равновесия и превращения
- •П 2.6. Кинетические явления
- •Правила приближённых вычислений
- •Основные физические постоянные (округленные значения)
- •Некоторые астрономические величины
- •Плотность некоторых газов (при нормальных условиях)
- •Свойства некоторых жидкостей (при 20 0с)
- •Свойства некоторых твердых тел
- •Теплопроводность некоторых твердых тел (веществ)
- •Эффективный диаметр молекул, динамическая вязкость, и теплопроводность некоторых газов при нормальных условиях
- •Критические параметры и поправки Ван дер Ваальса
Данное уравнение является общей формой записи закона распределения скоростей молекул, справедливой для любых интервалов скоростей.
Учитывая, что относительная скорость u=v/vв и что в нашей задаче v1=vв и v2=4, получим: u1=1, и u2=. Следовательно, искомая часть молекул:
Чтобы избежать математических трудностей, связанных с нахождением неопределенного интеграла, воспользуемся тем очевидным фактом, что скорости всех молекул лежат в интервале от 0 до . Поэтому, если обозначить через N' число молекул, скорости которых меньше наиболее вероятной, т. е. лежат в интервале от 0 до 1, то можно записать:
.
Таким образом, вместо того, чтобы искать N/N можно найти
,
а затем вычислить N/N.
Так как зтот интеграл аналитически не вычисляется, то воспользуемся методом приближенного интегрирования. Для этого разложим подынтегральную функцию f(u)=exp(-u2)u2 в ряд Маклорена:
exp(-u2)=1-u2/1+u4/2-u6/6+u8/24-...
exp(-u2) u2=u2-u4/1+u6/2-u8/6+u10/24-...
Теперь, произведя интегрирование, имеем:
N'/N=4(1/3-1/5+1/14-1/54+1/264...)/1/2.
Ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, найдем (с погрешностью, не превышающей 0,01):
N'/N=0,43.
Тогда
N/N=1-0,45=0,57.
Ответ: N/N=0,57.
33. Найти число столкновений <z>, которые происходят в течение секунды между всеми молекулами, находящимися в объеме V=1,0 мм3 водорода при нормальных условиях. Принять для водорода d=2,310-10 м.
Решение. Число столкновений <z>, испытываемых одной молекулой за одну секунду, определяется по формуле
<z>= 2 1/2d2n2<v>V/2,
где d – эффективный диаметр молекулы;
n – концентрация молекул;
<v>=– средняя арифметическая скорость молекул газа.
Чтобы установить соотношение между величинами <z> и <z>, учтем, что если умножить число столкновений одной молекулы за одну секунду на число всех молекул N, то получим результат, превышающий в два раза искомое число <z>. Действительно, в одном столкновении участвуют сразу две молекулы, поэтому в число <z>N каждое столкновение входит дважды: один раз в счет столкновений одной из молекул данной пары, другой раз в счет столкновений второй молекулы. Следовательно, правильным будет выражение
<z>=<z>N/2=<z>nV/2,
где n=p/kT – концентрация молекул.
Подставив вместо <z>, n и <v> их значение, окончательно получим:
<z>=2 1/2d2p2V(8R/T)1/2/2k2T.
Выразим входящие в формулу величины в единицах СИ, подставив их в формулу и выполнив вычисление, будем иметь
<z>=1,61026 с-1.
Ответ: <z>=1,61026 с-1.
34. Пылинки массой m=10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура T воздуха во всем объеме одинакова и равна 300 К.
Решение. При равновесном распределении пылинок концентрация их зависит только от координаты y по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно применить формулу Больцмана
Так как в однородном поле силы тяжести U=mgy, то
По условию задачи, изменение Δn концентрации с высотой мало по сравнению с n (n/n=0,01), поэтому без существенной погрешности изменение концентрации n можно заменить дифференциалом dn.
Дифференцируя выражение по z, получим
Так как
,
то
dn=- mgndy/kT.
Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:
dy=- kT dn/mgn.
Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты (dy>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0).
Знак минус опустим (в данном случае он несущественен) и заменим дифференциалы dy и dn конечными приращениями y и n:
y=kTn/mgn.
Выразив входящие в формулу величины в системе СИ, подставив их в эту формулу, произведем вычисления
y=1,3810-233000,01/10-219,81=4,2310-3 м=4,23 мм.
Ответ: y=4,2310-3 м.
35. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление p=79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с t=5oC до t=1 oC. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик? Давление p у поверхности Земли считать нормальным.
Решение. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой
.
Барометр может показывать неизменное давление p при различных температурах T1 и T2 за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h1 (которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h2.
Запишем барометрическую формулу для двух случаев:
;
.
Найдем отношение po/p и обе части полученных равенств прологарифмируем:
Из полученных соотношений выразим высоты h1 и h1 и найдем их разность
Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу длины:
Выразив величины в СИ, подставив их в полученную формулу, произведем вычисления:
Ответ: Δh=-28,5 м.
36. Средняя длина свободного пробега <> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <v> молекул и число <z> соударений, которые испытывает молекула в 1с.
Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле
,
где – молярная масса вещества.
Среднее число <z> соударений молекулы в одну секунду определяется отношением средней скорости <v> молекулы к средней длине ее свободного пробега <>:
Размерность полученных величин очевидна. Подставив значения входящих в формулы величин в СИ, будем иметь
<v>=362 м/с;
<z>=9,05109 с-1.
Ответ: <v>=362 м/с; <z>=9,05109 с-1.
37. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме неона и водорода, принимая газы за идеальные.
Решение. Между молярными и удельными теплоемкостями идеального газа при постоянном давлении и при постоянном объеме существует связь:
Cp=cp и Cv=cv,
где а
Таким образом, для удельных теплоемкостей имеем
а .
Зная, что неон одноатомный газ, то для него число степеней свободы i=3, m=2010-3 кг/моль, а водород двухатомный газ для него число степеней свободы i=5, =2710-3 кг/моль. Подставляя в каждую из выше записанных формул значения число степеней свободы и значение универсальной газовой постоянной, вычисляем удельные теплоемкости для:
1) неона
2) водорода
;
.
Ответ: 1)
2) ; .
38. Найти отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме для кислорода.
Решение. Отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме идеального газа равно отношению его молярных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме:
Зная, что молярные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме связаны с числом степеней свободы и равны:
и
Для отношения удельных теплоемкостей будем иметь
Кислород двухатомный газ, следовательно, число степеней свободы i=5. Подставляя значение i в вышезаписанную формулу, имеем
Ответ: сp/cV=1,4.
39. Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа равна 14,7 кДж/(кгК). Найти молярную массу этого газа.
Решение. Известно, что удельная теплоемкость при постоянном давлении связана с молярной теплоемкостью газа:
Молярная теплоемкость при постоянном давлении
где i – число степеней свободы газа.
Таким образом:
Откуда
Подставляя в полученную формулу значения величин данных в условии задачи, с учетом того, что для двухатомного газа i=5 , будем иметь:
Ответ: μ=0,002 кг/моль.
40. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют 1=80% и 2=20% соответственно. Удельные теплоемкости для неона сv=6,24102 Дж/(кгК), сp=1,04103 Дж/(кгК); для водорода – сv=1,04104 Дж/(кгК), сp=1,46104 Дж/(кгК).
Решение. В общем случае количество тепла необходимого для нагревания смеси газов, например, при нагревании в условиях постоянного объема от температуры Т1 до температуры Т2 равна:
где сv(см) – удельная теплоемкость смеси;
(m1+m2) – масса смеси;
(T2-T1) – изменение температуры.
С другой стороны это количество тепла может быть вычислено по формуле:
где Q1 и Q1 – соответственно количество тепла, которое необходимо сообщить,чтобы изменить температуру неона и водорода в отдельности;
сv1 и сv2 – удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме;
m1 и m2 – массы неона и водорода.
Таким образом, имеем:
или
.
Откуда
где и– массовые доли неона и водорода соответственно.
Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении, будем иметь:
Аналогично можно получить формулу для определения удельной теплоемкости смеси неона и водорода при постоянном давлении:
.
Подставляя численные значения для удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении, будем иметь:
Ответ: ;
41. Кислород массой 2 кг занимает объемV1=1 м3 и находится под давлением p1=0,2 МПа (рис. 3.9). Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа.
Решение. Изменение внутренней энергии газа
ΔU=cvmΔT,
где cv=iR/2μ – удельная теплоемкость при постоянном объеме;
μ – молярная масса газа;
ΔТ=(Т3-Т1) – изменение температуры газа в конечном и начальном состояниях;
i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ).
Температуру газа в начальном и конечном состояниях можно определить из уравнения Менделеева–Клапейрона:
.
Для начальной температуры
.
Для конечной температуры
Тогда изменение внутренней энергии газа
Подставляя численные значения, будем иметь
Дж.
Ответ: ΔU=3,25 кДж.
42. Кислород массой 2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением p1=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3=0,5 МПа. Найти работу, совершенную газом, и теплоту, переданную газу (рис. 3.9).
Решение. Из уравнения Менделеева–Клапейрона
можно определить температуры, характерные для соответствующих состояний:
.
Таким образом, температура газа в начальном состоянии
T1=p1V1/mR;
в промежуточном
T2=p2V2/mR;
в конечном
T3=p3V3 /mR.
В процессе перехода газ совершал работу
A=A1+A2,
где A1 – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления;
A2 – работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема.
Работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного давления определяется соотношением:
а работа газа, совершенная при переходе в условиях постоянного объема т.к. V=0.
Таким образом, в данном случае
Количество тепла, переданного газу равно сумме изменения его внутренней энергии и работы, совершенной им:
Известно, что изменение внутренней энергии газа пропорционально изменению его температуры, при этом
.
Следовательно, для изменения внутренней энергии газа при его переходе из начального в конечное состояние, имеем:
где Т=T3–T1.
Таким образом, для количества тепла переданного газу имеем:
Подставив численные значения величин, будем иметь:
Т1=0,210613210–3/(8,311032)=385 К;
Т2=0,210633210–3/(8,311032)=1155 К;
Т3=0,510633210–3/(8,311032)=2888 К;
U=528,31(2888–385)/(23210–3)=3,25103 Дж;
A=28,31(1155–385)/3210–3=0,4103 Дж;
Q=3,25103+0,4103=3,65103 Дж.
Ответ: A=Дж; Q=3,65103 Дж.
43. Масса m=10 г кислорода находится под давлением p=0,3 МПа и при температуре 10 oС. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем V2=10 л. Найти количество теплоты Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа W до и после нагревания.
Решение. Количество теплоты Q, полученное газом в процессе нагревания
где – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении;
i=5 – число степеней свободы (кислород двухатомный газ);
R=8,31 Дж/(мольК) – универсальная газовая постоянная;
=0,032 кг/моль – молекулярная масса кислорода;
T1 и T2 – температуры газа в начальном и конечном состояниях. Для определения температуры газа в конечном состоянии воспользуемся соотношением между температурой и объемом газа, нагреваемого в условиях постоянного давления:
.
Откуда
Воспользовавшись уравнением Менделеева–Клапейрона, записанным в виде
находим объем газа в начальном состоянии:
Для конечной температуры будем иметь соотношение:
Подставляя численные значения, определяем конечную температуру газа:
Подставляя численные значения, находим количество теплоты, полученное газом в процессе нагревания:
Энергию теплового движения молекул газа можно определить по формуле
где CV=iR/2 – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Таким образом, для энергии теплового движения молекул газа в начальном состоянии имеем:
в конечном состоянии
.
Ответ:Q=7,9 кДж; W1=1,8 кДж; W2=7,6 кДж.
44. Масса 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом V=2 л при температуре t=10 oС. После нагревания давление в сосуде стало равным p2=1,33 МПа. Какое количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?
Решение. Так как объем газа не изменился, то сообщенное ему количество теплоты пошло на изменение его внутренней энергии Q=U, которое в свою очередь можно определить так:
U=mCV(T2–T1)/=mCVΔT/,
где Cv=iR/2 – молярная теплоемкость азота при постоянном объеме.
Следовательно,
U=miR(T2–T1)/2.
Для определения конечной температуры T воспользуемся тем, что при нагревании газа в условиях постоянного объема отношение давлений пропорционально отношению его температур в начальном и конечном состояниях
p1/p2=T1/T2.
Имеем
T2=T1p2/p1.
Начальное давление определяем из уравнения Менделеева–Клапейрона, записанного для первоначального состояния:
p1V1=mRT1/.
p1=mRT1/V1.
Так как по условию задачи V1=V, то для конечной температуры имеем:
T2=p2V/mR.
Подставляя значение T2 в формулу изменения внутренней энергии, которое равно количеству тепла, сообщенному газу, окончательно получим:
Q=imR(p2V/mR-T1)/2.
Размерность полученного результата очевидна. Численное значение Q равно
=4,13 кДж.
Ответ: Q=4,13 кДж.
45. Баллон с кислородом емкостью V=20 л при давлении p=100 ат и температуре t=7 oС нагревается до t=27 oС. Какое количество теплоты при этом поглощает газ?
Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газов, в условиях данной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагревания газа изохорным.
При изохорных процессах, подводимое к системе количество тепла идет на изменение ее внутренней энергии.
Из определения молярной теплоемкости следует, что элементарное количество теплоты, сообщенное телу при повышении его температуры на dT, равно:
dQ=CVdT.
Число молей найдем из уравнения газового состояния (Менделеева–Клапейрона)
=m/=p1V/RT1.
Так как газ нагревается при постоянном объеме, то С=СV, где СV=iR/2.
Подставив значения и СV в формулу для элементарного количества тепла, получим:
Отсюда, интегрируя и учитывая при этом, что все величины i, p1, T1, V постоянные, найдем полное количество теплоты, поглощенное газом при нагревании от T1 до T2, которое численно и будет равно изменению его внутренней энергии:
Q=U=ip1V(T2–T1)/(2T1).
Проверив размерность, подставив в полученную формулу значения входящих величин в системе СИ, произведем вычисления:
U=59,8105210–3(300-280)/(2280)=35103 Дж=35 кДж.
Ответ: ΔU=35 кДж.
46. Баллон емкостью V=20 л с кислородом при давлении p=100 ат и температуре t1=7oС нагревается до t2=27oС. Какое количество теплоты при этом поглощает газ?
Решение. Поскольку коэффициенты теплового расширения для твердых тел значительно меньше (приблизительно в сто раз), чем для газов, в условиях данной задачи можно пренебречь расширением баллона и считать процесс нагревания газа изохорным.
При изохорических процессах, подводимое к системе количество тепла идет на изменение ее внутренней энергии.
Применим к рассматриваемому газу первое начало термодинамики:
Q=dU+A.
Поскольку при изохорном процессе газ не совершает работы, то A=0, а
Q=dU.
Для внутренней энергии идеального газа справедливо соотношение
U=imRT/2=ipV/2.
Отсюда для изменения внутренней энергии имеем
U=ip1V(p2/p1-1)/2
Заменяя по закону Шарля для изохорного процесса отношение давлений p2/p1 отношением абсолютных температур T2/T1, получим:
Q=ip1V(T2/T1-1)=ip1VT1(T2-T1)/2.
Все величины, кроме i, даны в условии задачи. Поскольку кислород является двухатомным газом, то число степеней свободы i=5.
Выразим входящие в формулу величины в единицах СИ: p=9,8106 Па, V=2,0010-2 м3, T1=280 К, T2=300 К.