3.2. Расширенный минимаксный критерий

В критерии используются простейшие понятия теории вероятностей, а также теории игр.

Пусть существуют nвнешних состояний, которым приписана вероятность появления,. Сформируем изnвероятностей вектор. Обозначим:— множество всехn-мерных вероятностных векторов.

При достаточно долгом применении выбранного варианта x_iприводит к среднему:.

Введем вектор распределения вероятностей на множестве вариантов. Введем оценку некоторого среднего варианта решения как:

В реальной ситуации вектор , как правило, неизвестен. Ориентируясь в значениина наименее выгодное распределениесостоянийи добиваясь максимального увеличенияза счет наиболее удачного распределениявариантов решения, получают значение, соответствующее расширенномуMMкритерию.

Пусть — обобщенный вариант решения, определяемый с помощью выбора вероятностного вектора, а через— множество таких вариантов. Тогда расширенныйMMкритерий формулируется следующим образом:

где — вероятностный вектор для, а— вероятностный вектор для.

Расширенный ММ — критерий задает цель найти выгодное распределение вероятностей на множестве вариантов X, когда в многократно воспроизводящейся ситуации ничего не известно о вероятностях состояний. Поэтому, предполагается, чтораспределены наименее выгодным образом.

3.3. Критерий байеса-лапласа

Для построения оценочной функции в данном критерии используется априорная информация о вероятностях появления внешних условий. Тем самым в рамках простейшей вероятностной модели учитывается каждое из возможных последствий появления различных условий. Для критерия Байеса-Лапласа справедливо следующее правило вычисления оценки:

В данном критерии в качестве оценочной функции выбирается математическое ожидание оценки, соответствующей i-му варианту. Ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

1. Вероятности появления состояний (условий) известны и не зависят от времени;

2. Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;

3. Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

Позиция ЛПР на основе критерия Байеса-Лапласа, более оптимистическая, чем по минимаксному критерию.

Матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются варианты ,в строках которых стоит наибольшее значение столбца. При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. При бесконечной реализации риск практически исключен.

3.4. Критерий сэвиджа

Оценочная функция критерия:

Множество оптимальных вариантов определяется на основе оценочной функции:

Величину можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состояниивместо вариантавыбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант.

Можно трактовать как потери (штрафы), возникающие в состояниипри замене оптимального для него варианта на вариант. Величинапредставляет собой (при интерпретации в качестве потерь) максимальные возможные (по всем,) потери в случае выбора варианта. Затем эти потери минимизируются за счет выбора варианта.

Правило выбора для критерия Сэвиджа:

1. Элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результатасоответствующего столбца.

2. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица дополняется столбцом наибольших разностей. Выбираются те вариантыв строках которых стоит наименьшее значение для этого столбца.