Системная матрица расчетных случаев риска

	0,30	0,35	0,40
	0,70	0,20	0,30
	0,35	0,85	0,20
	0,80	0,10	0,35

Каждой паре сочетаний решений и обстановкисоответствует определенный выигрыш. Выигрыш характеризует относительную величину результата предстоящих действий (прибыль, издержки производства и т. д.).

Определим средний выигрыш как сумму произведений вероятностей различных вариантов обстановки на соответствующее значение выигрыша.

Если принять, что вероятность первого варианта обстановки равна 0,50, второго — 0,30, третьего — 0,20, то наибольшее среднее ожидаемое значение результата — ;— 0,335, для— 0,47, для— 0,265. В данном случае должно выбираться решение, при котором среднее ожидаемое значение выигрыша максимально. Решениеявляется оптимальным.

2.3.2. Принятие решений в условиях отсутствия информации

Как правило, информация о факторе неопределенности имеет вид: . Такой информации недостаточно для выбора альтернативыx.

Рассматривается задача оптимизации:

где — оценки по критериям,— фактор неопределенности.

Из решения этой задачи можно определить множество . Это позволяет лишь отобразить множество неопределенности природных факторовZ на множество неопределенности решенийX. Решение таких задач, как правило, основывается на введение разумных гипотез о поведении среды. Одной из важнейших гипотез такого вида называется гипотезойантагонизма. Суть ее заключается в том, что среда ведет себя «наихудшим образом».

Поиск решения многокритериальных задач выбора еще более усложняется, если изучаемая система взаимодействует с окружающей средой. В этом случае решение зависит от так называемых неконтролируемых параметров. Например, для измерительных систем — это могут быть влияющие величины, для транспортных — погода, состояние дороги и т. п. Неконтролируемое изменение состояния окружающей среды являются дополнительным источником неоднозначности оценок оптимальности.

Принцип наихудшей реакции среды распространяет схему выбора по наихудшему критерию (максминной свертке) на случай влияния окружающей среды. Альтернатива выбирается из условия:

где — общий критерий, получаемый сверткой по частным критериям. Решение, даваемое (2.13), является гарантированным результатом, так как при любом значении параметраz гарантируется получение критерия не меньшее, чем .

Полученный результат может быть улучшен, если исходная информация позволяет сделать предположение о значении параметра (состояние среды), что связано с определенным риском, так как предположение может не оправдаться.

2.3.3. Принятие решений в условиях нечеткой информации

Лингвистической будем называть переменную, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка. Например, Возраст — лингвистическая переменная. Терм-множество лингвистической переменной Т(Возраст) = {молодой, не очень молодой, очень молодой, вполне молодой, старый, не очень старый и не очень молодой}.

С помощью лингвистических переменных можно приближенно описывать явления, которые настолько сложны или плохо определены, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. Если понимать Истинностькак лингвистическую переменную со значениямиистинно,очень истинно,совершенно истинно,не очень истинно,не истиннои т. п., то мы приходим к так называемой нечеткой логике. На такую логику могут опираться приближённые (т. е. нестрогие, но и не очень нестрогие) рассуждения, и она может служить более реалистической схемой человеческих рассуждений, чем традиционная двузначная логика.

Лингвистическая переменнаяхарактеризуется набором: (Х,Т(Х),U,G,M), в которомХ — название переменной;Т(Х) (или просто) — терм-множество переменнойХ, т. е. множество названий лингвистических значений переменнойХ, причем каждое из таких значений является нечеткой переменной, с базовой переменнойuсо значениями из универсального множестваU;G— синтаксическое правило порождающее названияx значений переменнойХ, аМ— семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной, ее смыслМ(), т. е. нечеткое подмножествоМ(, универсального множестваU.

Конкретное название , порожденное синтаксическим правиломG, будем называть термом. Если— термы в, то можно представить в виде:

. (2.14)

При необходимости явно указать на то, что Т был порожден грамматикойG, будем писатьТ(G).

Смысл М() термаопределяется как ограничение на базовую переменнуюu, обусловленное нечеткой переменной:

, (2.15)

т. е. R() иМ() можно рассматривать как нечеткое подмножество множестваU, имеющее название. Лингвистическую переменную можно представить графически (рис. 2.5). Связь междуХ, ее лингвистическим значением и базовой переменной иллюстрируется на рис. 2.6.

Рис. 2.4. Представление лингвистической переменной

Рис. 2.5. Структура лингвистической переменной.

Определим:

1. Символ будем использовать для обозначения как названия самой переменной, так и общего названия ее значений. Аналогичнобудем обозначать как общее название значений переменной, так и название самой переменной.

2. Будем пользоваться одним и тем же символом для обозначения множества и его названия. Так, символы ,() и() будут взаимозаменяемыми. Т. е. терм(например, молодой) есть значение переменнойX(например,Возраст), то имеем в виду, что действительное значение есть(), а— просто название этого значения.

Лингвистическое значение () характеризуетсяфункцией совместимости: ():, котораяuU ставит в соответствие значение совместимости этого элемента с X.

С помощью лингвистической переменной можно приближенно описывать явления, которые настолько сложны или плохо определены, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. Выделим основные аспекты понятия лингвистической переменной:

1. Понятие совместимости отлично от понятия вероятности. Значение совместимости — это субъективная мера;

2. Лингвистическая переменная имеет структуру — связана с двумя правилами:

2.1. Синтаксическое правило, определяет способ порождения лингвистических значений;

2.2. Семантическое правило — определяет способ вычисления смысла лингвистической переменной;

3. Функция совместимости определена не на множестве математически точно определенных объектов, а на множестве обозначенных некими символами впечатлений.

Определим понятие нечеткой переменной. Нечеткая переменная характеризуется набором (X, U, R(X, u)), где X — название переменной; U — универсальное множество (конечное или бесконечное); u U;

R(X, u) — ограничение на значения переменной , обусловленное названиемX: (R(X), R(u), R(x)).

Неограниченная (обычная переменная) u является для X базовой переменной. Как и для обычной переменной определено уравнение назначения:

Переменной назначается значениес учетом ограничения

Степень, с которой удовлетворяется это равенство, назовем функцией принадлежности значений ограничению() и обозначим через():

где — степень принадлежностиu ограничению R(X).

Принадлежность — это мера, насколько значение u удовлетворяет ограничению R(X), а не вероятность этого значения.

Введем понятие нечеткого множества. С помощью нечеткого множества можно формально определять неточные и многозначные понятия (высокая температура, молодой человек, средний рост, большой город). Определим понятие область рассуждений (universe of discourse).

Областью рассуждений (базовое множество), будем называть некоторое пространство или подмножество универсального множества U, где U — четкое множество.

Нечетким множеством A в некотором (непустом) пространстве U, будем называть множество пар . A = , где() =:, которая дляu U ставит в соответствие значение совместимости этого элемента с ограничением (R(X) = X), т. е. с названием нечеткой переменной X.

В закрытом интервале [0,1] можно выделить отдельно три случая:

1. = 1, означает полную принадлежность элементаограничению.

2. = 0,означает отсутствие принадлежности элемента ограничению .

3. 0 < < 1, означает частичную принадлежность элементаограничению.

Пусть A — нечеткое множество. с элементами из универсального множества U. Величину будем называть высотой нечеткого множества A. Если =1, то нечеткое множество A будем называть нормальным. Если < 1, то нечеткое множество A будем называть субнормальным. Нечеткое множество A будем называть пустым, если для u U: = 0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле:

Носителем нечеткого множества будем называть множество {u:}U для которых величина положительна:.

Рассмотрим пример, лингвистическую переменную Числа. Пусть область рассуждений U = {0,1,2,..,15}. Нечеткое множество несколько можно определить следующим образом: несколько = {0,5/3;0,8/4;1/5;1/6;0,8/7;0,5/8}; его высота = 1 (=1), носитель = {3,4,5,6,7,8}.

Принцип обобщения, для нечетких множеств, представляет собой основное правило, позволяющее расширить область определения универсального множества U отображения или отношения, включив в нее произвольные нечеткие подмножества множества A. Т. е., пусть U и V — универсальные множества, а f — отображение, f: U V, A — нечеткое подмножество вида:

A = {/;/; …;/}.

Тогда принцип обобщения утверждает, что:

f(A)=f({/;/; …;/})≡

≡{/;/; …;/}=

={/;/; …;/} (2.20)

Рассмотрим некоторые операции над нечеткими множествами.

1. Дополнением нечеткого множества Абудем называть нечеткое множество, а функция принадлежности, согласно принципу обобщения, равна:

Рассмотрим пример, лингвистическую переменную Числа. Пусть область рассуждений U= {0,1,2,..,10}. Нечеткое множествоА=малые числа= {1/1;1/2;0,8/3;0,5/4;0,3/5;0,1/6}. Тогда нечеткое множество= НЕ малые числа= {0,2/3;0,5/4;0,7/5;0,9/6;1/7;1/8;1/9;1/10}.

2. Пересечением двух множеств А,B Uбудем называть нечеткое множество с «четким» носителемАBи функцией принадлежности:

Рассмотрим лингвистическую переменную Числа. Пусть область рассуждений U = {0,1,2,..,10}. Нечеткое множествоВ =большие числа= {0,1/5;0,2/6;0,5/7;0,8/8;1/9;1/10}. Нечеткое множествоАB=малые числаИбольшие числа= {0,1/5;0,1/6}.

3. Объединением двух множеств А,B Uбудем называть нечеткое множество с носителемАBи функцией принадлежности:

Рассмотрим лингвистическую переменную Числа. Пусть область рассуждений U= {0,1,2,..,10}. Нечеткое множествоАB=малые числаИЛИбольшие числа= {1/1;1/2;0,8/3;0,5/4;0,3/5;0,2/6;0,5/7;0,8/8;1/9;1/10}.

4. Пусть U— линейное действительное пространство и, U, тогда замкнутым отрезком (или сегментом) в U, соединяющим точкии , будем называть совокупность элементов вида:W=,. В случае, имеем открытый отрезок.

Множество A Uбудем называтьвыпуклым, если выполняется: A A,:.

Выпуклое множество вместе с любыми своими двумя точками должно содержать и отрезок, соединяющий эти точки. Само пространство U— выпукло.

Нечеткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда, для любых,и, носителем нечеткого выпуклого множестваAявляется четкое выпуклое множество, а функция принадлежности:

Рассмотрим некоторые графические интерпретации функций принадлежности. Область определения (x∈).

1.

где ,.

Рис. 2.6. Функция принадлежности (2.25).

2.

где дляx≥c+bиx≤c–b. В точкахx=c± b/2, 0,5.

Рис. 2.7. Функция принадлежности (2.26).

3.

4.

Рис. 2.8. Функция принадлежности (2.27)

5.

Рис. 2.9. Функция принадлежности (2.28).

Рассмотрим пример. Терм множество лингвистической переменной Т(Скорость автомобиля)= {малая скорость автомобиля,средняя скорость автомобиля,большая скорость автомобиля}. В качестве области рассуждений (базовое множество) примем закрытый интервал [0,x_max].

Рис. 2.10. Функция принадлежности (2.29).

Терм малая скорость автомобиля=Aявляется нечеткой переменной и характеризуется нечетким множествомA. Носителем нечеткого множестваAявляется закрытый интервал [0, 50] км/час. Функция принадлежности нечеткого множестваAопределяется кривой, рис. 2.11.

Рис. 2.11. Лингвистическая переменная Скорость автомобиля

Терм средняя скорость автомобиля=Bявляется нечеткой переменной и характеризуется нечетким множествомB. Носителем нечеткого множестваBявляется закрытый интервал [30, 70] км/час. Функция принадлежности нечеткого множестваBопределяется кривой, рис. 2.11.

Терм большая скорость автомобиля=Cявляется нечеткой переменной и характеризуется нечетким множествомC. Носителем нечеткого множестваBявляется закрытый интервал [50,x_max] км/час. Функция принадлежности нечеткого множестваBопределяется кривой, рис. 2.11.

Например, на рис. 2.12 показана функция принадлежности терма большие деньгилингвистической переменнойДеньги.

Область рассуждений, (базовое множество), лингвистической переменной примем интервал [0, ∞) рублей. a= 1000 рублей,c= 10000 рублей.

Рис. 2.12. Функция принадлежности терма большие деньги

Под нечетким числом будем понимать нечеткое множество с областью определения в виде интервала действительной оси.

Множество всех нечетких чисел, определенных на обозначим через. ПустьАиВ— два нечетких числа с носителямии,,;— некоторая функция. Тогда согласно принципу обобщения нечеткое числоопределяется функцией принадлежности:

Пусть - одна из четырех арифметических операций, тогда (2.20) определяет результат арифметической операциинад нечеткими числамиAиB. Если– функция не двух, аnаргументов, то принцип обобщения формулируется аналогично (2.20).

Носитель нечеткого числаDможно найти следующим образом:

Рассмотрим пример выполнения арифметических операций. Пусть Тогда в соответствии с (2.20):A+B ={0,1/9; 0,2/10; 0,8/11; 0,4/12; 0,3/13};A×B ={0,1/20; 0,2/24; 0,1/25; 0,2/28; 0,8/30; 0,4/35; 0,3/36; 0,3/42;}.

Нечеткие числа также можно формализовать с помощью (L-R) представления. Согласно (L-R) число можно представить тройкой:, гдеa — среднее значение числа; исоответственно нижнее и верхнее отклонения.

Функция принадлежности (рис. 2.7) определится как:

Рис. 2.13. Вид функции принадлежности

При L(0) = R(0)  : обыкновенное число;L, R — симметричные колоколообразные функции.

Рассмотрим лингвистическую переменную Число, конечное терм-множество которой имеет вид:

Т(Число) = {немного,несколько,много}, (2.33)

где каждый терм представляет собой ограничение на значения базовой переменной u в универсальном множестве: U= {1, 2, 3, ..., 10}.

Предполагается, что эти ограничения — нечеткие подмножества множества U и определяются они следующим образом:

немного= {0,4/1; 0,8/2; 1/3; 0,4/4}, (2.34)

несколько= {0,5/3; 0,8/4; 1/5; 1/6; 0,8/7; 0,5/8}, (2.35)

много= {0,4/6; 0,6/7; 0,8/8; 0,9/9; 1/10}. (2.36)

Таким образом:

R(немного)= М(немного)= {0,4/1; 0,8/2; 1/3; 0,4/4}, (2.37)

и, аналогично, для других термов в Т. Смысл равенства (2.24) в том, чтонемного есть название нечеткой переменной, которая является значением лингвистической переменнойЧисло. Смысл лингвистического значениянемного или, то же самое, ограничение, обусловленное этим термом, есть нечеткое подмножество универсального множестваU и определяется правой частью равенства (2.27).

Чтобы назначить такое значение, как немного, лингвистической переменнойЧисло,напишем:

Число=немного. (2.38)

Рассмотрим пример, составной лингвистической переменной (Х,Y), которой поставлена в соответствие базовая переменная (u,v), принимающая значения из универсального множества:

= {1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), …,

(4, 1), (4, 2), (4, 3),(4, 4)}, (2.39)

1, 2, 3, 4; . (2.40)

Предполагаем, что терм-множество переменной (Х,Y) состоит из двух термов:

Т = {приближенно равны,более или менее равны}, (2.41)

где приближенно равныиболее или менее равны — названия бинарных нечетких отношений, определенных матрицами:

приближенно равны=

более или менее равны=

В этих матрицах отношения -й элемент есть значение совместимости парыс рассматриваемым ограничением. Напишем:

(Х,Y)= приближенноравны, (2.44)

где имеется в виду, что в качестве значения переменной (Х,Y) назначается бинарное нечеткое отношение приближенно равны, являющееся бинарным ограничением на значения базовой переменной (u,v) в универсальном множестве (2.29).

Часто степень истинности утверждения характеризуется посредством таких выражений, как оченьверно,совершенно верно,более или менее верно,ложно,абсолютно ложно и т. д. Возможно, что в ситуациях, когда истинность или ложность утверждения определены не достаточно хорошо, может оказаться целесообразным трактовать истинность как лингвистическую переменную, для которойистинно иложно — два первичных терма в терм-множестве этой переменной, а не пара крайних точек в множестве значений истинности. Такую переменную будем называть лингвистической переменной истинности, а ее значения — лингвистическими значениями истинности. Трактовка истинности как лингвистической переменной приводит к нечеткой лингвистической логике, или просто нечеткой логике, которая отлична от обычной двузначной или даже многозначной логики. Эта нечеткая логика является основой того, что можно было бы назвать приближенными рассуждениями в которых значения истинности и правила вывода являются нечеткими, а не точными.