- •Оглавление
- •Введение
- •1. Основные понятия теории системного анализа и принятия решений
- •Классификация задач принятия решения
- •Калибровочные соотношения между альтернативами
- •2.1. Однокритериальные задачи в условиях определенности
- •2.2. Многокритериальные задачи в условиях определенности
- •2.3. Принятие решений в условиях неопределенности
- •2.3.1. Принятие решений при наличии неопределенных факторов
- •Системная матрица расчетных случаев риска
- •2.3.2. Принятие решений в условиях отсутствия информации
- •2.3.3. Принятие решений в условиях нечеткой информации
- •2.3.4. Методы построения функций принадлежности
- •Качественные оценки градации альтернатив
- •3. Принятие решений с использованием критерИев
- •3.1. Минимаксный критерий
- •3.2. Расширенный минимаксный критерий
- •3.3. Критерий байеса-лапласа
- •3.4. Критерий сэвиджа
- •3.5. Модели агрегирования критериев
- •Схемы агрегирования локальных критериев
- •3.6. Основные понятия теории игр
- •Игра с нулевой суммой
- •3.7. Многомерные модели принятия решений
- •4. Методы многокритериальной оптимизации
- •4.1. Аксиоматическая теория полезности
- •4.2. Метод electre I
- •4.3. Метод electre II
- •4.4. Метод анализа иерархий (аналитическая иерархия)
- •5. Синтез оптимального управления объектами
- •5.1. Уравнение эйлера
- •5.2. Формализация задаЧи синтеза оптимальНого управления
- •5.3. Критерии оптимальности автоматических систем
- •5.4. Применение вариационного исчисления в оптимальНом управлении
- •5.5. Синтез оптимального управления. Метод бойчука
- •6. Задачи вычисления численных оценок
- •6.1. Процедура построения квазипорядка на множестве объектов (задача об упаковке)
- •6.2. ПроцедурА оптимального назначения объектов (Задача о назначениях)
- •6.2.1. Постановка многокритериальной задачи о назначениях
- •6.2.2. Формальный анализ задачи
- •6.2.3. Графы предпочтения
- •6.2.4. Матрица предпочтения
- •6.3. Задача планирования производства
- •6.4. Задача Принятия решений в условиях риска
- •6.5. Пример использования критериев
- •6.6. Задача постороенИя функций принадлежности
- •6.7. Синтез оптимального управления с использованием метода Бойчука
- •6.8. Объектно-ориентированный подход в системном анализе и управлении
- •6.8.1. Структура построения проекта задачи системного анализа с использованием ооп
- •Библиографический список
5.3. Критерии оптимальности автоматических систем
В качестве критериев оптимальности управления, как правило, рассматриваются интегральные критерии качества. В общем случае критерий оптимальности зависит как от задающего воздействия, так и от регулируемой величины; он может зависеть также от величины управления и времени. Поскольку в большинстве случаев главной задачей регулирования является наилучшее (с той или иной точки зрения) приближение регулируемой величины к заданию, то целесообразно рассматривать частный случай критерия (4.28), являющийся функцией только ошибок системы:
где —ошибки, называемые координатами системы, причем.
В выражение (4.31) входят только ошибки системы от нулевого до n-го порядка включительно (управление входит в это выражение неявно, черезn-ю производную регулируемой величины). Одним из видов критерия (4.31) является интегральный критерий:
где — весовые константы, определяющие характер переходного процесса. В частном случае,получаем критерий оптимальности в виде интегральной квадратичной ошибки:
Минимизируя обобщенный интегральный критерий, мы запрещаем длительное существование не только самой ошибки, но и всех ее производных во времени.
Получается не только быстрый, но и плавный, без резких колебаний, переходный процесс. Характер переходного процесса определяется выбранными значениями весовых коэффициентов .
Можно также искать минимум суммы квадратичной ошибки и некоторой функции управления, представляющей, например, потери в силовой части системы:
В критерий в явном виде входит управление. Критерий типа (4.34) широко применяется при синтезе оптимальных автоматических систем. Более предпочтительно и логически обоснованно использование критерия оптимальности в форме (4.32), поскольку он является явной функцией ошибок системы (а их минимизация — важная задача автоматической системы) и в неявной форме — функцией управления.
Одним из частных случаев критерия оптимальности (4.31) является следующий критерий (при F =1):
Минимизация этого критерия приводит к решению задач на быстродействие.
5.4. Применение вариационного исчисления в оптимальНом управлении
Вариационное исчисление применяется для определения экстремали, т. е. оптимального изменения во времени какой-либо величины. По экстремали можно найти оптимальное управление в виде функции от времени. Будем рассматривать интегральный квадратичный критерий качества управления нелинейными объектами при произвольной форме задающего воздействия.
Главная задача классического вариационного исчисления заключается в том, чтобы найти такую однозначную и непрерывную функцию (t) (экстремаль), имеющую непрерывные производные по времени до n-го порядка включительно, для которой заданная интегральная функция от , (функционал):
принимает экстремальное значение. Искомая экстремаль должна удовлетворять граничным условиям:
где n— порядок системы.
В постановке задачи не учитываются ни уравнение объекта, ни какие-либо ограничения координат системы. Функция (t) рассматривается в общем виде. Это может быть ошибка системы(t) =(t) –x(t).
Основной теоремой вариационного исчисления является теорема Эйлера: если критерий функционала существует и достигается в классе кусочно-гладких функций, то он достигается на решениях дифференциального уравнения Эйлера.
Экстремаль определяется, решая систему дифференциальных уравнений второго порядка (уравнений Эйлера):
где , либо решая уравнение порядка 2n(уравнение Эйлера-Пуассона):
Уравнения классического вариационного исчисления (4.38, 4.39) являются лишь необходимыми, но не достаточными условиями экстремума функции. Достаточность получаемых условий часто ясна из физических соображений.
Отыскание экстремали в классе определенных выше функций (t), удовлетворяющих граничным условиям (4.39), накладывает ограничения на подынтегральную функциюFминимизируемого функционала (4.37). ФункцияFдолжна быть однозначна и непрерывна по всем координатам системы(). В интервале времени [0,t1]. Для удовлетворения условиям (4.37), необходимо, чтобы функциябыла всегда дифференцируемой, по крайней мере, по нулевой () иn-ой (координатам системы.
В результате решения одного из уравнений (4.38, 4.39) находим выражение для экстремали в виде функции времени (t), а не оптимальное управление в форме (4.27). Эти уравнения являются исходными для решения сформулированной задачи синтеза оптимального управления.
Пример, найдем экстремаль, для которой выражение:
достигает минимума, причем заданы граничные условия: .
Система первого порядка (в подынтегральное выражение входят две координаты: , и ее первая производная(1)). Уравнение Эйлера-Пуассона:.
Уравнение Эйлера-Пуассона: , с учетом граничных условий:
(4.41)
где .
Если = 0, то тогда экстремаль представляет собой следующую разрывную функцию:
(4.42)
Выражение (4.42) означает мгновенное устранение ошибки, что практически невозможно. Критерий оптимальности (4.40), при = 0, нельзя использовать для нахождения экстремали, являющейся непрерывной кривой и удовлетворяющей заданным граничным условиям.