6.5. Пример использования критериев

Критерии выражают жесткие требования к практической ситуации, поэтому, как правило, окончательное решение приходится принимать волевым образом.

Пусть некоторую машину (технологическую установку) требуется подвергнуть проверке с приостановкой ее эксплуатации. Выпуск продукции должен быть приостановлен, но если своевременно не обнаружить неисправность, то это может привести еще и к поломке. Варианты решений:

—полная проверка;

—минимальная проверка;

—отказ от проверки;

Машина может находится в следующих состояниях:

—неисправностей нет:

—имеется незначительная неисправность;

—имеется серьезная неисправность.

Оценим варианты решений согласно критериям минимаксному, Байеса-Лапласа, Сэвиджа. Результаты расчетов сведены в таблицах 6.6, 6.7. Оценки— отрицательные, как затраты.

Три критерия рекомендуют разные варианты. Необходимо рассмотреть рекомендации критериев.

1. Если решение относится к сотням машин, то целесообразно придерживаться критерия Байеса-Лапласа.

2. Если число реализаций невелико, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа или минимаксным критерием.

3. Если неисправность f₃встречается вдвое чащеq₁=q₂,q₃= 0,5, то критерий Байеса — Лапласа как и минимаксный критерий

рекомендуют полную проверку.

Таблица 6.6

Варианты решений о проверке машины (критерии ММ, Байеса-Лапласа

				ММ критерий		Байеса-Лапласа
	–20,0	–22,0	–25,0	–25,0	–25,0	–22,11
	–14,0	–23,0	–31,0	–31,0		–22,44
	0	–24,0	–40,0	–40,0		–21,12	–21,12

Таблица 6.7

Варианты решений о проверке машины (критерий Сэвиджа)

				Сэвиджа
	+20,0	0	0	+20,0
	+14,0	+1,0	+6,0	+14,0	+14,0
	0	+2,0	+15,0	+15,0

4. Если удается снизить затраты на полную проверку: (a₁₁= –18,0;a₁₂= –20,0;a₁₃= –22,0), все три критерия рекомендуют полную проверку.

6.6. Задача постороенИя функций принадлежности

Потребуем, чтобы для всех элементов нечеткого множества выполнялось равенство:

Степень принадлежности элементов множеству будем определять посредством парных сравнений.

Оценку элемента по сравнению с элементомс точки зрения свойстваобозначим_. Для обеспечения согласованности примем. Оценкисоставляют матрицу парных сравнений. Найдем— собственный вектор матрицы, решая уравнение, где— собственное значение матрицы . Вычисленные значения, составляющие собственный вектор, принимаются в качестве степени принадлежности элементовxмножеству:

, (6.18)

Всегда выполняется равенство . Найденные значения тем точнее, чем ближек. Отклонение_maxотможет служить мерой согласованности суждений экспертов.

Рассмотрим задачу оценки освещенности предметов. Освещенность поверхности определяется как количество светового потока на единицу площади. Для нахождения различий в освещенности четырех идентичных объектов, в зависимости от расстояния до источника, был проведен эксперимент. Предметы находились на следующих расстояниях от источника света: 8, 15, 21 и 28 единиц длины. Представлены две матрицы парных сравнений освещенности предметов, пронумерованных в возрастающем порядке в зависимости от их близости к источнику света.

Матрица парных сравнений имеет вид (6.19).

Необходимо найти собственный вектор , для которого выполняется условие, где— собственное значение матрицы:

A=(6.19)

Вычислим собственные значения из уравнения . Уравнение имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицыравен нулю. Найдем его:

(6.20)

Уравнение имеет решение:

; ;..

Вычисляем собственный вектор. Условие нормировки:

(6.21)

Уравнение :

(6.22)

Получаем систему уравнений:

(6.23)

Решив (4.23) с (4.21), получаем собственный вектор:

. .

Матрица парных сравнений во втором эксперименте:

A=. (6.24)

Найдем определитель:

(6.25)

Приравняем найденный определитель к нулю. Уравнение имеет решение:

; ;..

Найдем собственный вектор:

. .

Матрица парных сравнений отражает согласованные суждения тогда и только тогда, когда .Кроме того, всегда. В первом эксперименте приn= 4 —; мера несогласованности равна 0,390. Во втором эксперименте, мера несогласованности равна 0,102. Следовательно, во втором эксперименте согласованность суждений экспертов выше, чем в первом.

Можно получить грубые оценки значений собственного вектора матрицы парных сравнений. Вычислить собственный вектор матрицы как значений приоритетов объектов ,.

1. Вычислить . Для отi=1 доi=nвычислить:,.

2. ,.

3. ,.