5.5. Синтез оптимального управления. Метод бойчука

В данном методе производится исключение высшей производной регулируемой величины из дифференциального уравнения движения объекта управления. Это исключение достигается подстановкой формулы оптимальной высшей производной, полученной в решении вариационной задачи. Этот метод применим не только после синтеза управления, обеспечивающего оптимальное в некотором смысле движение объекта, но и для получения управления, обеспечивающего любое требуемое движение, которое можно представить как решение соответствующего дифференциального уравнения.

Очевидно, что если найдено оптимальное значение n-ой производной, то с помощью уравнения (4.26) однозначно определяется оптимальное значение управления. Найдем оптимальное значения n-ой производной регулируемой величины. Для этого используем уравнение Эйлера-Пуассона. Для случая критерия оптимальности (4.32) подынтегральная функция: . Уравнение Эйлера–Пуассона: . Дифференциальное уравнение экстремали:

Из работ А. А. Фельдбаума известно, что когда верхний предел интегрирования критерия оптимальности (4.31) , а значение координат системы при этом равно нулю, дифференциальное уравнение экстремали можно представить в виде:

Если экстремаль задана в виде двух уравнений (4.43), (4.44), то неизвестные коэффициенты одного из этих уравнений можно найти через известные коэффициенты другого уравнения. Составляется следующее уравнение:

где — корень характеристических уравнений, соответствующих дифференциальным уравнениям (4.43), (4.44). Коэффициентызависят от требуемого качества переходного процесса (от коэффициентов).

Используем интегральный квадратичный критерий вида (4.32).

Из (4.44) следует формула оптимального значения высшей производной регулируемой величины:

где .

Подстановка (4.44) в (4.26) позволяет получить закон управления:

; .

Требуется измерять не только координату и ее производные, но и возмущениеи его производные.

Возможен другой вариант управления, когда величины ине измеряются, что облегчает реализацию системы. Осуществляется управление:

где ,.

(4.49)

где — пороговый уровень.

Наличие интеграла в (4.48) позволяет сохранять неизменным величину при= 0, в любой момент времени. Величина возмущения не влияет на интенсивность отработки задания().

Фактически управлением (4.48) достигается в каждый момент времени стремление состояния объекта управления к состоянию, описываемому . Ограничение координатыможно не учитывать, если заданиевсегда не превышает граничное значение, а процесс, описываемый уравнением (4.48) не является колебательным.

Управление (4.48) можно упростить, если предположить, что задание поступает на вход системы управления в виде единичного перепада напряжения в момент времениt = 0, тогда все производные. В этом случае, например, дифференциальное уравнение экстремали для критерия (4.32), будет:. При:

Ограничение управления учитывается следующим образом. Если задано неравенство:, исходя из (4.47), получаем:

; .

Уравнение (4.50) устанавливает связь между коэффициентами и.

Рассмотрим пример. Пусть действие объекта управления описывается линейным дифференциальным уравнением:

Подставляем формулу для оптимального значения (4.47):

Условие, связывающее коэффициенты имеет вид:

где .

В качестве основного закона управления принимаем закон (4.48). Принимаем, что координаты объекта управления изменяются в открытой области. Величина управления ограничена.

Проведем анализ оптимальной системы (уравнение 4.48).

1. При оптимальном управлении нелинейным объектом относительно ошибки (4.48) является линейным.

2. Уравнение (4.48) зависит только от коэффициентов C_i, которые определяют на качество переходного процесса.

3. Возмущение и задание не входит в (4.48), т. е. рассматриваемые оптимальные системы обладают свойством инвариантностик возмущению и форме задания. Характер переходного процесса определяется только начальными условиями движения. При этом система отрабатывает любое задание.

Рассматриваемые оптимальные системы являются устойчивыми. В частности, при t ,, при отсутствии ограничений. При наличии ограничений для случая, необходимы дополнительные исследования на устойчивость. В данном случае, не учитываются ограничения на величину управляющего воздействия и координаты системы. Если учитывать такие ограничения, то необходимо говорить не об инвариантных системах, а только об оптимальных. Понятие оптимальности автоматических систем более широкое, чем понятие инвариантности.

При реализации оптимальных автоматических систем управления объектом n-го порядка необходимо необходимо измерятьnпроизводных задания,производную регулируемой величины иkпроизводных контролируемого возмущения. Измерение производных выше первого-второго порядка затруднительно, поэтому, чем ниже порядок объекта управления, тем ниже порядок требуемой производной, тем проще реализовать оптимальное управление. Например.

1. Системы стабилизации. Измерение производных задания не требуется. (t) =const.

2. Программные системы. Задание и его производные должны быть известны. На вход объекта подается программа: . Тогда оптимальный закон управления:.

3. Следящие системы. Известен характер изменения задающего воздействия.