6.2.3. Графы предпочтения

Цель анализа состоит в разделении вершин графов предпочтения на группы с использованием бинарных отношений.

Выделим в графе вершины, в которые не входят однонаправленные дуги. Выделенные элементы либо доминируют над всеми или частью остальных, либо несравнимы с ними, т. е. являются множеством Парето в пространстве критериев. Назовем выделенные вершины ядром 1-й степени. Если элементы ядра 1-ой степени несравнимы, то им присваивается индексH₁; если они эквивалентны, или вершина единственная, то им присваивается индексD₁. Удалим из графа предпочтения вершины, входящие в

ядро 1-й степени, и аналогично предыдущему выделим среди оставшихся вершин ядро 2-ой степени. При несравнимости вершин им присваивается индексH₂, при эквивалентности вершин, или единственной вершине, присваивается индексD₂.

Процесс выделения ядер продолжается до исчерпания вершин графа.

Для всех ядер, кроме последнего, индекс D_i означает факт доминирования вершинi-го ядра над вершинами (i+ 1)-го ядра.

6.2.4. Матрица предпочтения

Информацию, полученную при выделении ядер в графах предпочтения, удобно анализировать при помощи матрицы предпочтения М(рис. 6.2). Столбцы матрицы предпочтения соответствуют объектам, а строки — субъектам. Клетка, находящаяся на пересеченииj-го столбца иi-й строки, характеризует оценкуj-го объекта со стороныi-го субъекта и оценкуi-го субъекта со стороныj-го объекта.

		O1		O2				On
		H2		H2				D3
C1	H2		D3				D3
		H2		H1				H1
C2	H1		H1				H1
		D1		H1				H2
Cn	H1		H1				H2

Рис. 6.2. Матрица предпочтения

В клетку матрицы M, находящуюся на пересеченииj-го столбца иi-й строки, занесены два индекса. В правой верхней части индекс, относящийся к графу, a в левой нижней части

— индекс, относящийся к графу предпочтения . Очевидному назначению соответствует предпочтения с индексамиD₁\D₁.

Возможны следующие три случая:

1. Есть хотя бы одна клетка D₁\D₁;

2. В каком-либо столбце и строке имеется несколько клеток D₁\D₁;

3. Нет клеток D₁\D₁.

В случае 1 можно сразу же сделать идеальные назначения. После понижения размерности необходимо вернуться к графам подобия ,. Выделяемые ядра будут другими. Далее возникает новая матрицаМ предпочтения, выделяются новые очевидные назначения и т. д. В случае 2 появляется возможность сделать сразу несколько назначений. В случае 3 необходим переход к следующему этапу анализа, на котором используется информация, получаемая от ЛПР.

Рассмотрим распределение четырех молодых специалистов по четырем возможным местам работы. Определим пять критериев оценки субъектов и объектов (Q= 5). Критерии и шкалы оценок:

1. Успеваемость: 3 — отличные оценки, 2 — хорошие оценки, 1 — удовлетворительные оценки.

2. Способность к теоретической работе: 3 — ярко выраженные теоретические способности, 2 — способности к теоретической работе столь же выражены, как и к практической, 1 — способности к теоретической работе невелики.

3. Способность к практической, инженерной работе: 3 — ярко выраженные инженерные способности, 2 — способности к практической работе столь же выражены, как и к теоретической, 1 — способности к практической работе невелики.

4. Организаторское умение: 2 — выраженные организаторские способности, 1 — нет заметных организаторских способностей.

5. Потребность в жилплощади: 3 — нужна квартира, 2 — нужно общежитие, 1 — нет потребности.

В таблицах 6.1, 6.2 приведены характеристики по критериям, затем построены графы T_jиS_i:

Векторы соответствия для первого объекта:

О₁₁= (1 0 0 0 0),О₂₁= (0 0 1 0 0),О₃₁= (0 0 0 1 1),О₄₁= (0 0 0 0 0).

Данные четыре вершины графа имеют индексы:

O₁₁—H₂,O₂₁—H₂,O₃₁—H₂,O₄₁—D₁.

Векторы соответствия для второго объекта:

О₁₂= (1 1 0 0 1),О₂₂= (0 0 0 0 1),О₃₂= (0 0 0 0 2),О₄₂= (0 1 0 0 0).

Таблица 6.1

Оценки субъектов по критериям

C1	3	3	1	1	2
C2	2	2	3	1	2
C3	1	1	2	2	3
C4	2	3	2	1	1

Таблица 6.2

Оценки объектов по критериям

O1	2	3	2	1	2
O2	2	2	3	2	1
O3	3	3	1	1	2
O4	1	1	3	2	2

Рис. 6.3. ГрафT₁

Векторы соответствия для третьего объекта:

O₁₃= (0 0 0 0 0),O₂₃= (0 0 2 0 0),O₃₃= (0 0 1 1 1),O₄₃= (0 0 1 0 0).

Векторы соответствия для четвертого объекта:

O₁₄= (2 2 0 0 0),O₂₄= (1 1 0 0 0),O₃₄= (0 0 0 0 1),O₄₄= (1 2 0 0 0).

Рис. 6.4.ГрафT₂

Рис. 6.5.ГрафT₃

Рис. 6.6.ГрафТ₄

Векторы соответствия для первого субъекта:

С₁₁= (0 0 1 0 0),С₁₂= (0 0 2 1 0),С₁₃= (0 0 0 0 0),С₁₄= (0 0 2 1 0).

Рис. 6.7. ГрафS₁

Векторы соответствия для второго субъекта:

С₂₁= (0 1 0 0 0),С₂₂= (0 0 0 1 0),С₂₃= (1 1 0 0 0),С₂₄= (0 0 0 1 0).

Векторы соответствия для третьего субъекта:

C₃₁= (1 2 0 0 0),C₃₂= (1 1 1 0 0),C₃₃= (2 2 0 0 0),C₃₄= (0 0 1 0 0).

Векторы соответствия для четвертого субъекта:

C₄₁= (0 0 0 0 1),C₄₂= (0 0 1 1 0),C₄₃= (1 0 0 0 1),C₄₄= (0 0 1 1 1).

Рис. 6.8. ГрафS₂

Рис. 6.9. ГрафS₃

Рис. 6.10. ГрафS₄

Построив все графы предпочтения, можем полностью заполнить матрицу предпочтения М(рис. 6.11).

		O1		O2		O3		O4
		H2		H2		D1		D3
C1	D2		D3		D1		D3
		H2		H1		H3		H1
C2	H1		H1		D2		H1
		H2		H2		H3		H1
C3	H1		H2		H2		H1
		D1		H1		D2		D2
C4	H1		H1		H2		H2

Рис. 6.11. Матрица предпочтения М

Есть клетки D₁\D₁. Таким образом, возникает очевидное на-

значение O₃ ↔C₁. Вычеркиваем третий объект и первый субъект, и строим матрицу предпочтенияМ.

Повторяем все построения графов и матриц.

Векторы соответствия для первого объекта:

О₂₁= (0 0 1 0 0),О₃₁= (0 0 0 1 1),О₄₁= (0 0 0 0 0).

Рис. 6.12. ГрафT₁

Векторы соответствия для второго объекта:

О₂₂= (0 0 0 0 1),О₃₂= (0 0 0 0 2),О₄₂= (0 1 0 0 0).

Векторы соответствия для четвертого объекта:

О₂₄= (1 1 0 0 0),О₃₄= (0 0 0 0 1),О₄₄= (1 2 0 0 0).

Векторы соответствия для второго субъекта:

С₂₁= (0 1 0 0 0),С₂₂= (0 0 0 1 0),С₂₄= (0 0 0 1 0).

Векторы соответствия для третьего субъекта:

C₃₁= (1 2 0 0 0),C₃₂= (1 1 1 0 0),C₃₄= (0 0 1 0 0).

Векторы соответствия для четвертого субъекта:

C₄₁= (0 0 0 0 1),C₄₂= (0 0 1 1 0),C₄₄= (0 0 1 1 1).

Рис. 6.13.ГрафT₂

Рис. 6.14.ГрафТ₄

Рис. 6.15. ГрафS₂

Рис. 6.16. ГрафS₃

Рис. 6.17. ГрафS₄

Здесь нет клеток D₁\D₁. Выделяем клеткиH₁\D₁. Определяем назначение:C₄O₁. Матрица предпочтения (рис.6.18.):

Повторяем процедуру построения.

Векторы: О₂₂= (0 0 0 0 1),О₃₂= (0 0 0 0 2).

Векторы: O₂₄= (1 1 0 0 0),O₃₄= (0 0 0 0 1).

Векторы: С₂₂= (0 0 0 1 0),С₂₄= (0 0 0 1 0).

Векторы: C₃₂= (1 1 1 0 0),C₃₄= (0 0 1 0 0).

		O1		O2		O4
		H2		H1		H1
C2	H1		H1		H1
		H2		D2		H1
C3	H1		D2		H1
		D1		H1		D2
C4	H1		H1		D2

Рис. 6.18. Новая матрица М(3x3)

Рис. 6.19.ГрафT₂

Рис. 6.20.ГрафТ₄

Рис. 6.21. ГрафS₂

Рис. 6.22. ГрафS₃

		O2		O4
		D1		H1
C2	D1		D1
		D2		H1
C3	D2		D1

Рис. 6.23. Новая матрица М(2x2)

Есть D₁\D₁. Назначения:C₂O₂,C₃O₄.

Результаты назначений (таблицы 6.3, 6.4, 6.5, 6.6):

Таблица 6.3

Назначение C₁O₃по критериям

C1	3	3	1	1	2
O3	3	3	1	1	2

Векторы: С₁₃= (0 0 0 0 0),O₁₃= (0 0 0 0 0).

Таблица 6.4

Назначение C₄O₁по критериям

C4	2	3	2	1	1
O1	2	3	2	1	2

Векторы: C₄₁= (0 0 0 0 1),О₄₁= (0 0 0 0 0).

Таблица 6.5

Назначение C₂O₂по критериям

C2	2	2	3	1	2
O2	2	2	3	2	1

Векторы: С₂₂= (0 0 0 1 0), О₂₂= (0 0 0 0 1).

Таблица 6.6

Назначение C₃O₄по критериям

C3	1	1	2	2	3
O4	1	1	3	2	2

Векторы: C₃₄= (0 0 1 0 0),О₃₄= (0 0 0 0 1).

Теперь возможен анализ назначений и учет предпочтений ЛПР.