4.4. Метод анализа иерархий (аналитическая иерархия)

Часто в задачах многокритериальной оптимизации структура рассматриваемой системы настолько велика, что ее представление возможно только с использованием иерархии.

Дадим следующее формальное определение иерархии. Обозначим:,,H— конечный частичный квазипорядок на множестве элементов с наибольшим элементомb.

Hестьиерархия, если выполняются условия:

1. Существует разбиение Hна подмножества,i[1,n],.

2. Если ,i[1, n–1], а ,i[2,n].

Для каждого , существует такая весовая функция:

—уровни иерархии. — функция приоритета элемента одного уровня относительно целиx. Если, то= 0, на уровне.

Иерархия является полной, если для всех.

Сформулируем формально основную задачу иерархии. ДляиX (<) определить функцию, которая отражает величину приоритетана уровнях,i= ,…,–1.

Не формально постановка задачу иерархии можно определить следующим образом. Рассмотрим систему (техническую, экономическую, социальную и т. п.) с главной целью bи множеством видов действий (процедур).i=2,…,n. Пусть такую систему можно представить как иерархию с максимальным элементомbи нижним уровнем. Определить приоритеты элементов уровняпо отношению к уровнюb.

В основе метода лежит понятие матрицы парных сравнений и ее согласованности. Согласованность положительной обратно-симметричной матрицы эквивалентна требованию , гдеnразмерность матрицы. Неравенствовыполняется всегда.

При построении аналитической иерархии, основной проблемой является вычисление значений функций принадлежности объектов на разных уровнях иерархии. Задача ставится следующим образом.

Пусть x₁,x₂,…,x_n— совокупностьnвидов действий или объектов рассматриваются группой экспертов. Необходимо:

1. Высказать суждения об относительной важности этих объектов.

2. Гарантировать такой процесс получения суждений, который позволит количественно интерпретировать суждения по всем объектам.

Количественные суждения о парах объектов (как весов объектов): .,, и матрица парных сужденийAразмеромnnимеет вид (2.35):

Обратно-симметричная, положительная матрица Aбудет согласованной, когда она транзитивна:.

Рассмотрим матричное уравнение:

где X=(,…,),Y=(y₁,…,y_n), или:

, ,Y = (,…,),. Что соответствует уравнению:

При согласованном суждении экспертов максимальное собственное число матрицы A:, и.

Графическое представление иерархии можно рассматривать как специальный тип упорядоченного множества или частный случай графа, которые удовлетворяют аксиомам рефлексивности, антисимметричности, транзитивности.

5. Синтез оптимального управления объектами

Закон оптимального управления заданным объектом можно получить, воспользовавшись необходимым условием экстремума функционала, характеризующего качество управления и уравнением действия объекта. Возможности управления определяются порядком объекта, различными нелинейностями, ограничениями величины управляющего воздействия, регулируемой величины и т. д. Задача синтеза закона управления может быть решена как с учетом сформулированных ограничений координат и сигналов управления, так и без их учета для некоторых функционалов.