mathanaliz

Дифференциальное и интегральное исчисление

В течение вынужденного двухлетнего пребывания в деревне (1665-1667) Ньютон заложил основы высшей математики. Для Ньютона (1643-1727) математика не была абстрактным детищем человеческого ума. Он рассматривал геометрический образ (линию, поверхность, объем) как результат движения точки, линии или поверхности; движение происходит во времени и за сколь угодно малое время точкой (линией или поверхностью) проходится сколько угодно малый путь. Вот этот-то малый путь и приводит к малому приращению линии или чего-нибудь другого, а отношение этого малого приращения линии (пути) к малому времени, за которое этот малый путь пройден, дает скорость. Чтобы получить мгновенную скорость, надо перейти к пределу, т. е. взять “последнее отношение". Толкование физического содержания описанного процесса у Ньютона с течением времени менялось, но это не мешало выработке формального аппарата. Так получилось, что Ньютон

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

пришел к необходимости находить “последние отношения", т. е., по современной терминологии, искать пределы отношений приращений функций к приращению времени. При желании, разумеется, можно вычислить предел отношения приращения одной функции времени к приращению другой функции времени, т. е. вычислить производную функцию по ее аргументу.

Широко и свободно пользуясь теоремой Барроу о взаимности операций дифференцирования и интегрирования и располагая производными многих функций, Ньютон легко нашел квадратуры многих кривых.

В 1684 г. вышла из печати статья Лейбница (1646-1716) с изложением нового дифференциального исчисления. Несмотря на краткость, статья содержала конспект почти полного курса дифференциального исчисления и его приложения к анализу. Символика была разработана так удачно, что сохранилась почти в неизменном виде до наших дней.

Известно, что несколько математиков, например, шотландец Дж. Краг

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

(ум. 1791), француз Лопиталь (1661 - 1704) приступили к изучению статьи Лейбница, но особых успехов не достигли.

В 1687 г. со статьей Лейбница познакомились братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они не только полностью уяснили себе содержание ее, но восстановили то, что было пропущено Лейбницем,

иполучили новые результаты. В дальнейшем Лейбниц писал братьям, что он считает их авторами дифференциального исчисления не в меньшей степени, чем самого себя.

При сравнении метода флюксий Ньютона и дифференциального исчисления Лейбница оказалось, что они, в сущности, суть одно

ито же, хотя их авторы идут разными путями. Лейбниц излагал свое учение чисто геометрически. Для него производная функции

– это тангенс угла наклона касательной к кривой, изображающей эту функцию. Для того чтобы получить производную функции, следует, по Лейбницу, дать малое приращение аргументу, вычислить соответствующее приращение функции, разделить второе на первое и отбросить члены, в которых осталось приращение функ-

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

ции в любой степени, начиная с первой. О природе приращений в лагере Лейбница единое мнение не выработалось; не было также точного определения бесконечно малой. Только через 300 лет было показано, что существуют расширения действительных чисел, содержащие бесконечно малые элементы, о которых говорил Лейбниц. На этой основе построен современный “нестандартный анализ".

В первые десятилетия XVIII в. появились авторы, следовавшие по тропе, проложенной Ньютоном и Лейбницем. В Англии это были Тейлор (1685-1731) и Маклорен (1698-1746); на континенте Эйлер (1707-1783), Даниил Бернулли (1700-1782).

К 80-м годам XVIII в. тот анализ, который сейчас называется классическим, уже стал зрелой наукой. Эйлер подвел итоги по всем разделам анализа: по введению, по дифференциальному исчислению, по интегральному исчислению и по интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. После этой колоссальной работы Эйлера предстали в законченном виде и формаль-

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

ный аппарат анализа, и техника его приложения к задачам астрономии, механики, гидродинамики, физики и многих других отраслей точных наук.

Такой быстрый прогресс объясняется тем, что Ньютон и Лейбниц, каждый независимо друг от друга, свели основные операции исчисления бесконечно малых к алгоритму.

Разрушив одним ударом традицию двухтысячелетней давности, Ньютон и Лейбниц отводят основную роль дифференцированию и сводят интегрирование к обратной к нему операции. Понадобилось целое XIX столетие и часть XX, чтобы восстановить справедливое равновесие, сделав интегрирование основой общей теории функций действительного переменного и их современных обобщений.

И теория флюксий Ньютона, и дифференциальное исчисление Лейбница в XVII в. не блистали порядком в своих основах. Не было, например, твердо установлено, что такое “момент" (Ньютон) или “бесконечно малая" (Лейбниц). Воспитанные на Аристотелевой формальной логике, их современники добивались однозначных

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

ответов на вопрос: эти “вещи" - нули или не нули? И, конечно, не могли добиться точных ответов от авторов.

Принцип бесконечно малых появляется к тому же в двух различных формах в зависимости от того, имеется ли в виду “дифференцирование" или “интегрирование".

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Непрерывность

В XVIII в. рассматривались только функции, определенные формально с помощью “аналитических выражений", т. е. построенные с помощью алгебраических операций, примененных к переменной и константам, и повторенных в случае надобности бесконечное число раз.

При этом считалось: если функция задана на всем интервале определения единственным “аналитическим выражением", то она “непрерывна"; если же интервал определения разделен на несколько частей и функция определена различными “аналитическими выражениями" в каждой из этих частей, то она “разрывна".

Для Эйлера и Лагранжа (1736-1813), функции, которые встречаются в анализе, всегда “непрерывны", по крайней мере кусочнонепрерывны, и разложимы в степенной ряд за исключением изолированных точек.

Краеугольным камнем анализа Коши (1789-1857) была концеп-

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

ция предела. Бесконечно малая величина – это переменная величина, предел которой равен нулю.

Функция непрерывная по Коши в интервале, если она на нём конечна и если бесконечно малое изменение переменной вызывает бесконечно малое изменение функции. Это определение Коши непрерывной функции в интервале не позволяло ему различать понятия непрерывности и равномерной непрерывности.

В1872 году Гейне (1821-1881) разъяснил окончательно понятие равномерной непрерывности.

Всовременном математическом анализе сначала определяется непрерывность функции в точке из области определения функции, а функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Непрерывность функции в точке определяется по Коши: функция непрерывна в точке, если бесконечно малое изменение переменной вызывает бесконечно малое изменение функции.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теория пределов

У древних переход к пределу производился неоднократно (площадь круга и т. п.), но определения предела не было. Развитие понятия интегральной суммы непосредственно привело к этому необходимому элементу вычисления. Вполне правильно совершал переход к пределу еще Ферма,´ но у него процесс перехода не рассматривался как самостоятельный этап вычисления. Переход к пределу в эти годы (середина XVII в.) выполнялся в разных формах – алгебраической и при вычислении определенных интегралов. Отыскание предела в алгебраической задаче имеется у А. Таке (16121680). Он получил сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, имея формулу для суммы конечного числа членов и неограниченно увеличивая это число. Переход к пределу при вычислении квадратуры кривой в более совершенной форме выполнялся Валлисом (1616-1703).

Одной из самых характерных черт анализа бесконечно малых в

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

XVIII в. была невыясненность его исходных понятий, невозможность объяснить рационально правомерность введенных операций. Взгляды создателей анализа на этот предмет не отличались ни постоянством, ни определенностью. Как Ньютон, так и Лейбниц предприняли множество попыток объяснения своих исчислений, не достигнув успеха.

Виднейшие математики, занимавшиеся в середине XVIII в. проблемой обоснования анализа бесконечно малых, видели свою задачу пока еще только в рационализации его основ, в устранении пробелов, неясностей, мистического оттенка. Среди многих попыток этого периода особенно выделяются теории Эйлера, Даламбера (1717-1783) и Лагранжа (1736-1813).

В обстановке острой борьбы обнаруживалась несостоятельность одного за другим почти всех способов обоснования математического анализа. Только по отношению к понятию предела критика вела не к отказу от концепций, основывающихся на нём, а к их уточнению. Но это понятие трудно и долго входило в анализ, так

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit