Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 2							41
∂Φ		= 0,	∂Φ	= 0,	∂Φ		= 0.
	∂l		∂m			∂n

Вычисления здесь элементарны, так что приводимая ниже окончательная запись условий экстремума функции Φ очевидна:

σxl + τyxm + τzxn = λl,

τxy l + σy m + τzy n = λm,

τxz l + τyz m + σz n = λn.

(2.12)

Сравнение равенств (2.12) и (2.8) показывает, что множитель Лагранжа λ имеет смысл интенсивности нагрузки, направленной строго перпендикулярно к наклонной площадке. При такой нагрузке касательных напряжений на этой площадке не будет вообще, а интенсивность qν = λ указанного воздействия совпадает с нормальными напряжениями σν .

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а действующие по ним нормальные напряжения – главными напряжениями. Таким образом, наибольшие нормальные напряжения нужно

отыскивать среди главных напряжений. Чтобы вычислить последние, надо, положив λ = σν , переписать равенства (2.12) в виде

(σx − σν )l + τyxm + τzxn = 0,

τxy l + (σy − σν )m + τzy n = 0,

τxz l + τyz m + (σz − σν )n = 0.

(2.12a)

Эта система уравнений является однородной, и поскольку ее очевидное решение l = m = n = 0 смысла не имеет, необходимо приравнять к нулю определитель уравнений (2.12a):

τxy

σy

σν

τzy

= 0.

(2.13)

σx −

σν

τyx

τzx

τxz

−

σz σν

τyz

−

После раскрытия определителя, ряда упрощений и обозначений

I

,

I2

=

σxσy

1

= σx + σy + σz2

2

+

2

(2.14)

−

−

σy σz

−

σz σx + τxy + τyz

τxz ,

I3 = σxσy σz + 2τxy τyz τxz − σxτyz2 − σy τxz2 − σz τxy2

уравнение (2.13) примет вид

σν3 − I1σν2 − I2σν − I3 = 0.

(2.13a)

42

Часть I

Определитель (2.13) симметричен, а потому все корни уравнения (2.13a) действительные числа. Их обозначают через σ1, σ2, σ3 и располагают в убывающей последовательности

σ1 > σ2 > σ3.

Вообще говоря, возможны и кратные корни, но учет этого обстоятельства усложняет дело, не меняя его сути, а потому случай кратных главных напряжений здесь не рассматривается.

Значения главных напряжений найдены, и теперь можно определить ориентации главных площадок. Ввиду условия (2.13) уравнения (2.12a) линейно зависимы, поэтому одно из них надо отбросить (например, последнее), присоединить к двум оставшимся равенствам соотношение (2.11) и разрешить получившуюся систему

(σx − σν )l + τyxm + τzxn = 0,

τxy l + (σy − σν )m + τzy n = 0,

l2 + m2 + n2 = 1

относительно направляющих косинусов l, m, n. Ясно, что хотя бы одно из касательных напряжений должно отличаться от нуля, иначе главные площадки были бы параллельны координатным плоскостям и разыскивать их не было бы необходимости. Пусть, для определенности, τzx = 0, т. е. n = 0. Тогда при помощи обозначений

α = l/n, β = m/n

записанные выше уравнения можно будет представить в виде:

(σx − σν )α + τyxβ = −τzx,

τxy α + (σy − σν )β = −τzy ,

n = ±1/ 1 + α2 + β2.

Согласно правилу Крамера, α = D1/D, β = D2/D, где

τxy

σy

σν

−τzy

σy

σν

τxy

τzy

D =

σx −σν τxy

, D1 =

τzx

τxy

, D2

=

σx −σν

−τzx

,

−

−

−

−

следовательно

(см. обозначения

для

α и β),

l =

D1

, m =

D2

, n =

D

.

± D2 + D12 + D22

± D2 + D12 + D22

± D2 + D12 + D22

Глава 2

43

Чтобы найти все главные площадки, надо в приведенные выше формулы последовательно подставить σν = σ1, σν = σ2, σν = σ3 и вычислить соответствующие этим главным напряжениям тройки чисел

(l1, m1, n1), (l2, m2, n2), (l3, m3, n3).

В плоской задаче, т. е. при σz = τyz = τzy = 0, можно привести готовые

формулы для главных напряжений. В этом случае
I1 = σx + σy , I2 = −σx σy + τxy2 , I3 = 0										(2.14a)
и уравнение (2.13a) становится квадратным:
		σν2 − I1σν − I2 = 0.								(2.13b)
Отсюда следует, что
		I1				I2
		σν = 2 ±				4 + I2
					1
или (см. равенства (2.14a))
1
		(σx + σy ) ±			(σx − σy )2 + 4τxy2				.
σ1, 2 =										(2.13c)
	2

Нормали к главным площадкам характеризуются направляющими косинусами

	lν =			τxy	, mν =	σν − σx	lν .
		± (σν − σx)2 + τxy2
						τxy

Эти формулы используются при mν = 0. Случай mν = 0, lν = 1 тривиален и интереса не представляет.

2.4. Ортогональность главных площадок. Нетрудно убедиться в том, что главные площадки взаимно ортогональны. И в самом деле, из равенств

(2.12) при λ = σ1 и λ = σ2 следует:
σxl1 + τyxm1 + τzxn1 = σ1l1,	|	σxl2 + τyxm2 + τzxn2 = σ2l2,
τxy l1 + σy m1 + τzy n1 = σ1m1,	|	τxy l2 + σy m2 + τzy n2 = σ2m2,
τxz l1 + τyz m1 + σz n1 = σ1n1, |		τxz l2 + τyz m2 + σz n2 = σ2n2.

Далее проделываются следующие операции:

a)три левых равенства умножаются соответственно на числа l2, m2, n2

искладываются;

b)три правых равенства умножаются на числа l1, m1, n1 и тоже складываются;

(2.14b)

44

Часть I

c)из левого суммарного равенства вычитается правое суммарное равен-

ство;

d)получившееся соотношение элементарными преобразованиями приво-

дится к виду

(σ1 − σ2)(l1l2 + m1m2 + n1n2) = 0.

Поскольку σ1 > σ2, то

l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0,

что и говорит об ортогональности векторов ν1(l1, m1, n1) и ν2(l2, m2, n2), т. е. первой и второй главных площадок. Равенства

(ν2, ν3) = 0, (ν3, ν1) = 0

порождаются формулой (ν1, ν2) = 0 при помощи правила круговой подстановки индексов.

2.5. Инварианты тензора напряжений. Наверное, не вызовет возражений утверждение, что значения главных напряжений не могут зависеть от того, в какой системе координат вычислялись компоненты тензора напряжений Tн. И в самом деле, наибольшие напряжения в теле определяются его формой, размерами, материалом, способом закрепления, нагрузкой, наконец, но никак не тем обстоятельством, каким базисом счел нужным воспользоваться специалист, проводивший вычисления. Однако значения главных напряжений будут получаться одинаковыми в разных системах координат лишь при условии, что коэффициенты I1, I2 и I3 уравнения (2.13a) являются

константами в данной точке тела в том смысле, что сами не меняются при смене базиса. Константы такого рода называют инвариантами. В рассмат-

риваемой задаче величины Ii представляют собой комбинации компонент тензора Tн, а потому их называют инвариантами тензора напряжений.

Величины I1, I2, I3 определяются формулами (2.14). Первый инвариант I1 равен следу тензора напряжений, т. е. сумме элементов, стоящих на главной диагонали матрицы (1.3). Инвариант -I2 представляет собой сумму главных миноров второго порядка этой же матрицы. Наконец, третий инвариант I3 равен определителю тензора Tн.

Наиболее просто инварианты Ii записываются в так называемых главных осях, т. е. в системе координат, орты которой совпадают с ортами нормалей к главным площадкам. Здесь

I1 = σ1 + σ2 + σ3, −I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1, I3 = σ1σ2σ3.

Таким образом, при переходе от одной системы координат к другой отдельные компоненты тензора напряжений будут меняться, но их комбинации (2.14) останутся неизменными. В частности, при любом базисе сумма всех

Глава 2

45

трех нормальных напряжений в данной точке тела будет одной и той же:

I1 = σ1 + σ2 + σ3 = σx + σy + σz .

2.6.Экстремальность касательных напряжений. Прежде чем перейти

кпоиску площадок с экстремальными касательными напряжениями, полезно обратить внимание на следующее обстоятельство. При оценке прочности тел знак нормальных напряжений надо учитывать обязательно. Объяснение этому факту дано в 8-й главе, здесь же можно сослаться хотя бы на то, что многие материалы неодинаково сопротивляются растяжению и сжатию. А вот смена знака у касательных напряжений не влияет ни на что: силы сопротивления при скольжении частиц тела друг по другу от направления движения не зависят. Это позволяет исследовать на экстремум не сами напряжения τν , а квадрат величины τν , что гораздо удобнее (см. формулу (2.10)). Кроме того, в формулах (2.8) и (2.9) целесообразно перейти к главным осям, т. е. к базису, в котором касательные компоненты тензора Tн обращаются в нуль:

σ1 l = qνx, σ2 m = qνy , σ3 n = qνz ;	(2.8a)
σν = σ1 l2 + σ2 m2 + σ3 n2.	(2.9a)

Подстановка этих зависимостей в равенство (2.10) дает:

τν2 = σ12l2 + σ22m2 + σ32n2 − (σ1l2 + σ2m2 + σ3n2)2.

(2.15)

Поскольку на направляющие косинусы наложена связь (2.11), то для отыскания условного экстремума функции (2.15) по аргументам l, m, n формируется вспомогательная функция

Φ = σ12l2 + σ22m2 + σ32n2 − (σ1l2 + σ2m2 + σ3n2)2 + λ(1 − l2 − m2 − n2),

где λ – множитель Лагранжа. Условия экстремума

	∂Φ		= 0,		∂Φ	= 0,	∂Φ	= 0
	∂l			∂m			∂n

после вычисления производных и очевидных упрощений примут вид:

σ2
21l − 2σ1σν l − λl = 0,						(2.16)
σ2l	−	2σ2σν l	−	λm = 0,
σ32l − 2σ3σν l − λn = 0.

Чтобы исключить множитель Лагранжа, можно, например, третье из уравнений (2.16) поочередно умножить на l и на m, а потом получившиеся соотношения вычесть соответственно из первого и второго равенств,

46

Часть I

умноженных на n:

[(σ12 − σ32) − 2σν (σ1 − σ3)] ln = 0, [(σ22 − σ32) − 2σν (σ2 − σ3)] mn = 0.

Но σ1 > σ2 > σ3, а потому
(σ1 + σ3 − 2σν )ln = 0,				(2.16a)
(σ2 + σ3 − 2σν )mn = 0.
Существует очевидное решение системы	уравнений (2.16		a	) и (2.11):

l = m = 0, n = ±1.

Оно отвечает третьей главной площадке, на которой, как известно, τν = 0. Это – абсолютный минимум функции (2.15). Таким образом, отыскивать решения, при которых два из трех направляющих косинусов обращаются в нуль, не имеет смысла. Если же l = 0 и m = 0, то из уравнений (2.16a) следует, что n = 0. В этом случае третье из равенств (2.16) удовлетворяется тождественно, а первые два можно будет сократить на множители l и m соответственно:

σ12 − 2σ1σν − λ = 0, σ22 − 2σ2σν − λ = 0.

Исключение отсюда величины λ с учетом того, что σ1 > σ2, дает

(σ1 − σν ) + (σ2 − σν ) = 0.

При n = 0 (см. формулы (2.9a) и (2.11))

σν = σ1l2 + σ2m2; l2 + m2 = 1

и

(σ1 − σ2)(m2 − l2) = 0.

Следовательно, l2 = m2 = 1/2, n2 = 0 и подстановка этих значений квадратов направляющих косинусов в формулу (2.15) приводит к результату

τν2 = σ12/2 + σ22/2 − (σ1 + σ2)2/4 = (σ1 − σ2)2/4.

Таким образом, одна из нетривиальных площадок с экстремальными касательными напряжениями найдена. Решения еще для двух таких площадок получаются при помощи правила круговой подстановки индексов. Результаты приводятся в таблице 2.1, из которой, в частности, видно, что площадки с экстремальными касательными напряжениями взаимно ортогональными не являются. Каждая из них наклонена под углом в 45o к каким-либо двум главным площадкам и перпендикулярна к третьей (см. рис. 2.4). Абсолютного максимума модуль касательных напряжений достигает на площадке, для которой m = 0.

Глава 2

47

Таблица 2.1

Значения

N N

l

m

n

напряжений

τν

±√

/2

±√

/2

±(σ1 −σ2)/2

1

2

2

0

√

√

2

± 2 /2

√0

±√

2

/2

±(σ1 −σ3)/2

3

0

± 2 /2

± 2 /2

±(σ2 −σ3)/2

2.7. Октаэдрические напряжения. Площадки, равнонаклоненные ко всем главным площадкам, называются октаэдрическими. Этот термин объ-

ясняется тем, что всего таких площадок 8 и с их помощью можно образовать правильный октаэдр, что и иллюстрирует рис. 2.5, выполненный в главных

осях. Из равенств (2.11) при l2 = m2 = n2					следует, что направляющие коси-
нусы октаэдрических площадок суть числа
√		√			√
l = ±	3/3, m = ± 3/3, n = ±					3/3.

Далее вместо σν и τν для нормальных и касательных напряжений на октаэдрических площадках будут использоваться обозначения σокт и τокт. Тогда (см. формулу (2.9a))

σокт = (σ1 + σ2 + σ3)/3,

(2.17)

т. е. нормальные напряжения на октаэдрических площадках равны среднему значению главных напряжений. Согласно формуле (2.15),

τокт = (σ12 + σ22 + σ32)/3 −(σ1 + σ2 + σ3)2/9 = [3(σ12 + σ22 + σ32) −(σ12 + σ22 + σ32)−

48 Часть I

−2(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)]/9 =
= [(σ12 − 2σ1σ2 + σ22) + (σ22 − 2σ2σ3 + σ32) + (σ32 − 2σ3σ1 + σ12)]/9
или
3τокт = ± (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ2)2 + (σ3 − σ1)2.	(2.18)

Напряжения σокт и τокт называют октаэдрическими. Безусловно, то обстоятельство, что около любой точки тела можно выделить элемент, на всех восьми гранях которого действуют совершенно одинаковые напряжения, интересно само по себе. И все же речь об октаэдрических напряжениях зашла по иной причине. Эта причина станет ясной по прочтению 6-й главы настоящего раздела.

ГЛАВА 3. ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

3.1. Классификация силовых конструкций. После того как в п. 1.9 была сформулирована основная задача механики твердого деформируемого тела, состоящая в определении по некоторой исходной информации напряжений и деформаций в окрестности любой его точки, был сделан и первый шаг на пути ее решения. А именно, были получены уравнения равновесия Навье (2.6), содержащие искомые компоненты тензора напряжений. При этом выяснилось, что рассматриваемая задача является статически неопределимой и для продолжения исследования необходимо опереться на некоторые дополнительные соображения. Однако сделать это тут же не удалось. Пришлось отвлечься на обсуждение вопроса о граничных условиях задачи и отыскание экстремальных значений нормальных и касательных напряжений. Теперь, когда указанные исследования остались позади, вывод полной системы уравнений, т. е. системы, достаточной для решения задачи о напряженнодеформированном состоянии в точке тела, можно было бы и продолжить. Для этого снова понадобилось бы иметь дело с более или менее громоздкими выкладками, дифференциальными уравнениями в частных производных, т. е. с достаточно абстрактными математическими операциями. А между тем при помощи результатов, полученных в предыдущих главах, уже можно в некоторых частных случаях довести решение задачи о напряжениях в точках тела до числа. Вот почему целесообразно еще немного повременить с формальным анализом задачи, чтобы рассмотреть хотя бы один простейший случай деформирования и благодаря этому получить более четкое представление о том, чем собственно занимается механика твердого деформируемого тела.

Словосочетание "простейший случай" требует разъяснения. Для этого надо прежде всего установить некоторую иерархию в множестве силовых конструкций. К наиболее простым из них относятся так называемые стержневые конструкции, т. е. тела, состоящие из одного или большего числа стержней. Стержень отличается тем, что два его измерения – характерные размеры поперечного сечения – намного меньше третьего – длины. Здесь и далее под словами намного меньше или намного больше будет пониматься разница по крайней мере в 10 раз, что составляет один порядок в десятичной системе мер. В п. 1.6 речь о стержне (брусе) уже шла. К сказанному там можно добавить, что в строительной практике наиболее распространены конструкции из призматических брусьев: балки, фермы, рамы, пространственные каркасы зданий. Стержни с криволинейной осью – так называемые

50

Часть I

криволинейные стержни чаще используются в машиностроении, нежели в строительстве: остовы корпусов судов, фюзеляжи самолетов, крюки подъемных устройств и т. п. Но и среди строительных сооружений встречаются такие конструкции, как арки, винтовые косоуры, опорные кольца куполов, которые представляют собой не что иное, как криволинейные стержни. Нечасто строители используют и брусья переменного сечения, у которых размеры сечений меняются вдоль оси.

Для стержня могут быть предложены самые простые расчетные модели. Так, при отыскании усилий тело стержня заменяется его осью, на которую переносятся все нагрузки, прикладываемые к стержню (см. п. 1.7–1.8) Можно ожидать, что и напряжения в стержне отыскиваются более просто, чем в иных телах. Так оно и есть на самом деле.

Более сложен анализ напряженно-деформированного состояния конструкций, называемых плитами и оболочками. У этих конструкций одно из измерений – толщина – намного меньше двух других – характерных размеров в плане. Здесь при определении усилий и перемещений, обусловленных деформированием тела, расчетная модель выбирается в виде поверхности, на которую сводятся все нагрузки. Обычно моделирующая поверхность выбирается так, чтобы толщина плиты или оболочки делилась ею (поверхностью) пополам. Для оболочки такая срединная поверхность искривлена, для плит

–это плоскость. Форму оболочек имеют такие конструкции, как купола, своды, резервуары, корпуса ракет и т. д. Плиты также весьма распространены в инженерном деле. Это – крышки резервуаров, перекрытия зданий, судовые переборки и многие другие конструкции. Расчетная модель плиты близка к модели стержня. Разница же заключается в том, что стержень

–одномерный объект, а плита – двумерный, и потому состояние стержня описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, тогда как полная система уравнений плит включает дифференциальные уравнения в частных производных. Еще более сложной является задача о напряженнодеформированном состоянии оболочки. Хотя и эта задача является двумерной, но ее решение приходится строить в криволинейных координатах.

Ипоследний класс конструкций – массивные тела. К ним относятся различные типы фундаментов, плотины, дамбы, цилиндрические и шаровые опоры. Задача отыскания напряжений и перемещений в точках таких тел является трехмерной.

3.2. Дополнительные сведения о модели стержня. Как уже говорилось, при отыскании усилий стержень можно заменить его осью. Но сведение реального тела к прямой или кривой линии и перенос на эту линию заданных сил – еще не вся модель стержня, а тем более стержневой конструкции. Ведь стержни, составляющие конструкцию, каким-то обра-