Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 1										31
откуда с учетом формулы (1.9)2 следует
	qLx			qx3		qL		qx2
Mz =			−		, Qy =		−		.	(1.10)
	6			6L		6		2L

Впрочем, зависимость Qy (x) не многим сложнее найти из уравнения равновесия Py = 0, составленного для левой отсеченной части балки.

Согласно формулам (1.10), поперечная сила Qy меняется по закону квадратной параболы, а изгибающий момент Mz – по закону кубической параболы. Графики кривых линий обычно строят по нескольким точкам. Но подробные вычисления не потребуются, если при построении эпюр усилий ”Qy ” и ”Mz ” опираться на закономерности (1.9). Прежде всего на эпюре ”Qy ” в начале и в конце стержня от горизонтали откладываются отрезки, которые равны значениям Qy (0) = qL/6 и Qy (L) = −qL/3

усилия (1.10)2 (см. точки a и b на рис. 1.15c). Затем внимание обращается на то, что в точке x = 0 интенсивность q(x) распределенной нагрузки равна нулю (т. е. q(0) = 0), а потому, согласно первой из формул (1.9), и Qy = 0. Следовательно, касательная к графику функции Qy (x) в точке x = 0 должна быть горизонтальной и дело сводится к изображению квадратной параболы, которая проходит через фиксированные точки a и

b и имеет горизонтальную касательную в точке a. Именно такая кривая и приведена на рис. 1.15c.

Из условия Qy = 0 можно найти координату x сечения, в котором

поперечная сила равна нулю (см. формулу (1.10)2):
		= √		L/3.	(1.11)
x			3

Согласно зависимости (1.9)2, в этом сечении изгибающий момент максимален. Кроме того, Mz (0) = Mz (L) = 0. Значит, при построении эпюры ”Mz ”

32

Часть I

достаточно вычислить значение усилия Mz в точке с абсциссой (1.11):

	qL √				L			1 q 3√									√		qL2
Mz (x ) =				3			−						3		L3	=		3
																				.
	6		3					6		L		27					27

Что же касается выпуклости эпюры изгибающих моментов, то в общем случае ее проще всего установить при помощи следующего запоминающегося образа: линия ординат эпюры ”M ” при действии распределенной нагрузки принимает ту же форму, что и наполняемый ветром парус.

1.9. Задача механики твердого деформируемого тела. Конструкции выполняются из самых разных материалов, которые, однако, можно с определенными оговорками разбить на две группы, а именно на хрупкие и пластические материалы. При разрушении хрупких материалов (природные и искусственные камни, стекло, чугун и др.) образуются трещины разрыва. С возникновением таких трещин, т. е. с отрывом одних частиц материала от других в направлении, ортогональном поверхности контакта отделяемых частиц, естественно связать нормальные напряжения. Разрушение пластических материалов (мягкая сталь, многие другие металлы) происходит по иной схеме: материал выходит из строя при скольжении одних частиц тела по другим, что можно объяснить действием касательных напряжений. Как станет ясным из дальнейшего, картина разрушения материала более сложна, она не укладывается в чистом виде ни в ту, ни в другую схему, но важно то, что разрушение начинается в тех точках тела, в которых напряжения достигают опасных для данного материала величин. Оценить же прочность тела можно лишь при соблюдении следующих условий:

1.Известны все точки тела, в которых нормальные или касательные напряжения достигли наибольших значений.

2.Известны предельные для материала тела значения нормальных и касательных напряжений.

3.Известны критерии разрушения материала, т. е. ясно, какие именно компоненты тензора напряжений или их комбинации должны сопоставляться с предельными значениями этих величин и как такое сопоставление должно выполняться.

Глава 1

33

Из этих трех пунктов и вытекают все те задачи, решать которые призвана механика твердого деформируемого тела. Определение механических свойств материала осуществляется чисто экспериментальными методами. Для решения круга проблем, связанных с критериями разрушения, нужны и теоретические, и экспериментальные исследования. Обе указанные проблемы весьма важны, но все же не они являются в механике твердого деформируемого тела центральными. На первое место здесь выходит задача отыскания в любой точке тела напряжений и перемещений по заданным его размерам, материалу, условиям закрепления и нагрузке. Это есть задача о

напряженно-деформируемом состоянии в точке тела. Ее центральное место объясняется многими причинами. Во-первых, она весьма обширна и сложна. Во-вторых, никакая информация о свойствах материала не позволит запроектировать надежно работающую конструкцию, если нет возможности найти все ее опасные точки и вычислить в них напряжения. В-третьих, проводимые без достаточной теоретической подготовки эксперименты малоэффективны. Это как раз тот случай, когда уместно вспомнить известное изречение о том, что нет ничего более практичного, чем хорошая теория.

Начинать решение основной задачи механики твердого деформируемого тела удобно с вывода и анализа тех зависимостей между компонентами тензора напряжений, которые вытекают из условий равновесия тела. Этому и посвящается следующая глава данного раздела курса.

ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА

2.1. Уравнения равновесия в точке тела. Условия равновесия тела сводятся к шести скалярным равенствам. Сказанное относится и к элементарному параллелепипеду, изображенному на рис. 1.2. К тем силам, которые показаны на этом рисунке, следует добавить объемные силы. Последние ввиду малости выделенного элемента допустимо считать распределенными равномерно и заменить равнодействующей с составляющими Px, Py , Pz , приложенными в центре параллелепипеда. Пусть X, Y , Z – интенсивности указанных составляющих, т. е.

Px = Xdxdydz, Py = Y dxdydz, Pz = Zdxdydz.

(2.1)

Условия равновесия параллелепипеда можно записать, приравнивая к нулю проекции всех приложенных к нему сил на оси координат, а также полагая равными нулю моменты этих сил относительно осей, параллельных координатным и проходящих через центр параллелепипеда. Такая форма записи условий равновесия удобна тем, что в последние три соотношения не войдут как объемные силы, так и большинство сил, приложенных к граням. Для дальнейших выкладок используются рис. 2.1a, b. На первом рисунке указаны только те силы, проекции которых на ось 0x отличны от нуля. Соответственно, на рис. 2.1b изображены лишь воздействия, вызывающие ненулевые моменты относительно оси u − u.

Поскольку параллельные грани параллелепипеда бесконечно близки друг к другу, то действующие по ним коллинеарные силы отличаются на

Глава 2

35

дифференциально малые величины dSx, dSyx и т. д. При вычислении приращений усилий можно ограничиться удержанием лишь их линейных частей, т. е. пользоваться следующим представлением для полного дифференциала df функции трех переменных:

df =	∂f	dx +	∂f	dy +	∂f	dz.	(2.2)
	∂x		∂y		∂z

Условие Px = 0 дает (см. рис. 2.1a)

−Sx + (Sx + dSx) − Syx + (Syx + dSyx) − Szx + (Szx + dSzx) + Px = 0,

т. е.
dSx + dSyx + dSzx + Px = 0.	(2.3)

Координаты y и z точек приложения сил Sx и Sx + dSx одинаковы, и после подстановки в формулу (2.2) значений f = Sx, dy = dz = 0 получится

dSx =

∂Sx

dx.

∂x

Из сказанного ясно, что

dSyx =

∂Syx

dy,

dSzx =

∂Szx

dz,

∂y

∂z

а потому равенство (2.3) принимает вид

∂Sx

dx +

∂Syx

dy +

∂Szx

dz + Px = 0.

∂x

∂y

∂z

Остается подставить сюда силы Sx, Syx, Szx, Px по формулам (1.2) и (2.1) и сократить обе части на величину dV = dxdydz:

∂σx

+

∂τyx

+

∂τzx

+ X = 0.

(2.3a)

∂z

∂x

∂y

Mu

Аналогично можно представить и условия

u =

= 0, но сперва

Py

= 0,

Pz

целесообразно проанализировать равенство

−

0 (см. рис. 2.1b):

dz

dz

dy

dy

Szy

+ (Szy + dSzy )

− Syz

− (Syz + dSyz )

= 0.

2

2

2

2

Входящие в левую часть слагаемые dSzy dz/2 и dSyz dz/2 имеют высший порядок малости по сравнению с остальными членами, и их можно отбросить. Таким образом,

Szy dz − Syz dy = 0

36

Часть I

или (после подстановки сил Szy и Syz по формулам (1.2) и сокращения на ненулевой множитель dV )

τzy = τyz .

Совершенно очевидно, что сюда можно добавить еще два таких же соотношения и получить равенства:

τxy = τyx, τyz = τzy , τzx = τxz ,

(2.4)

называемые законом парности касательных напряжений. Согласно этому закону, по двум любым взаимно перпендикулярным граням параллелепипеда действуют равные по величине касательные напряжения, которые направлены ортогонально к общему для этих граней ребру (или навстречу друг к другу, или в разные стороны от ребра).

Нетрудно увидеть, что формулы (2.4) получаются одна из другой при помощи так называемой круговой подстановки индексов, т. е. при изменении

индексов у входящих в эти формулы символов по схеме

x
	(2.5)
z ←− y

Правило круговой подстановки индексов позволяет вывести сначала только какое-либо одно из трех скалярных соотношений задачи, а затем перейти к двум оставшимся уравнениям по стеку (2.5). Сказанное относится и к равенству (2.3a), которое в результате использования правила (2.5) дает

∂σx

+

∂τyx

+

∂τzx

+ X = 0,

∂x

∂y

∂z

+

+

+ Y = 0,

(2.6)

∂τxy

∂σy

∂τzy

∂x

∂y

∂z

∂τxz + ∂τyz +

∂σz + Z = 0.

∂x

∂y

∂z

Соотношения (2.6) называют уравнениями равновесия Навье – по имени французского инженера и ученого, члена Парижской академии наук, который получил их в 1821 г. Уравнения Навье связывают между собой шесть искомых функций (учитывается закон парности касательных напряжений) в каждой точке тела, а именно функции

σx(x, y, z), σy (· · ·), σz (· · ·), τxy (···), τyz (· · ·), τzx(x, y, z).

Из трех уравнений шесть неизвестных величин не найти, поэтому задачу отыскания напряжений в точке тела называют статически неопределимой.

Глава 2

37

Сказанное означает, что к исследованию напряженного состояния должна быть привлечена не только информация о равновесии тела. Кроме того, следует иметь в виду, что уравнения (2.6) являются дифференциальными и содержат частные производные. При интегрировании таких уравнений появляются новые неизвестные функции координат, которые должны удовлетво-

рять граничным условиям задачи. Граничные условия (их называют также краевыми условиями) формулируются с учетом нагрузки, приложенной к по-

верхности тела. Этот вопрос настолько важен, что его освещению отводится весь следующий пункт.

2.2. Напряжения на наклонных площадках. Для тел простой формы связь между нагрузкой и напряжениями на поверхности тела устанавливается сравнительно просто. Сказанное можно проиллюстрировать на примере призматического стержня, изображенного на рис. 2.2a.

Как бы ни менялись напряжения внутри бруса, но на границах тела они должны в точности соответствовать заданной поверхностной нагрузке. Это требование математически формулируется следующим образом.

Грань 1-3-4-2: z = b, 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ h. Здесь нет нагрузки, а потому не может быть и напряжений, т. е.

σz (x, y, b) = τzx(x, y, b) = τzy (x, y, b) = 0.

Остальные компоненты тензора напряжений относятся к площадкам, которые рассматриваемой части поверхности бруса не принадлежат, а потому непосредственная связь между напряжениями σx, σy , τxy и нагрузкой на грань 1-3-4-2 отсутствует.

Грань 1-2-6-5: x = 0, 0 ≤ y ≤ h, 0 ≤ z ≤ b. Ситуация аналогична предыдущей, но к нулю приравниваются другие компоненты тензора напря-

38 Часть I

жений:

σx(0, y, z) = τxy (0, y, z) = τxz (0, y, z) = 0.

Грань 1-5-7-3: y = h, 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ z ≤ b. Здесь приложена распреде-

ленная нагрузка, сжимающая верхний слой бруса. Касательной нагрузки в плоскости грани нет, поэтому

σy (x, h, z) = −q, τyx(x, h, z) = τyz (x, h, z) = 0.

Грань 2-6-8-4: y = 0, 0 ≤ z ≤ b. Касательные напряжения на этой грани отсутствуют при любом значении аргумента x:

τyx(x, 0, z) = τyz (x, 0, z) = 0.

Для напряжений σy граничные условия записываются так:

a) 0 ≤ x ≤ c : σy (x, 0, z) = −p(1 − x/c); b) c ≤ x ≤ l − c : σy (x, 0, z) = 0;

c) l − c ≤ x ≤ l : σy (x, 0, z) = −p(1 − l/c + x/c).

Краевые условия на двух оставшихся гранях очевидны.

Попытка столь же просто записать граничные условия для тела, изображенного на рис. 2.2b, обречена на неудачу. Сложность здесь в том, что направления нормальных и касательных напряжений на верхней и нижней поверхностях бруса не совпадают с направлениями напряжений, найденных для внутренних точек тела. Возникает необходимость установить связь между напряжениями, действующими по трем взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным координатным плоскостям, с напряжениями или нагрузками, которые относятся к произвольно ориентированной площадке, проходящей через ту же точку тела. Это можно сделать, если рассмотреть равновесие элементарного тетраэдра, выделенного из тела вблизи его границы. Любая поверхность аппроксимируется набором бесконечно малых треугольников, следящих ориентацией своих плоскостей за формой поверхности в той или иной ее точке. Поэтому и выделяемый тетраэдр следует расположить так, чтобы три его взаимно ортогональные грани были параллельны координатным плоскостям и уходили внутрь тела, а четвертая, наклонная грань, принадлежала границе тела.

Описанный тетраэдр показан на рис. 2.3. Наклонная грань характеризуется нормалью ν к ней, а именно – направляющими косинусами l, m, n орта этой нормали. Вектор Qν

Глава 2

39

нагрузки, приложенной к наклонной площадке, имеет составляющие Qνx, Qνy , Qνz , которые ввиду малости площадки ABC связаны со своими интенсивностями qνx, qνy , qνz следующим образом:

Qνx = qνxFν , Qνy = qνy Fν , Qνz = qνz Fν .

(2.7)

Здесь Fν – площадь наклонной площадки. Все остальные силы, приложенные к выделенному элементу, раньше уже встречались, и их можно не называть. На рис. 2.3 показаны только те силы, которые дают ненулевые проекции на ось абсцисс. Итак,

Px = 0 : −Sx − Syx − Szx + Px + Qνx = 0.

Пусть Fx, Fy , Fz – площади граней тетраэдра, ортогональных к соответствующим координатным осям, а h – его высота при основании ABC. Тогда

Sx = σxFx, Syx = τyxFy , Szx = τzxFz , Px = hFν X/3

и (см. формулы (2.7)) рассматриваемое условие равновесия принимает вид

σxFx + τyxFy + τzxFz = qνxFν + hFν X/3.

Подчеркнутый член имеет высший порядок малости и может быть отброшен. Кроме того,

Fx = lFν , Fy = mFν , Fz = nFν .
Следовательно (Fν = 0),
σxl + τyxm + τzxn = qνx.
Остается применить правило круговой подстановки индексов:
σxl + τyxm + τzxn = qνx,	(2.8)
τxy l + σy m + τzy n = qνy ,
τxz l + τyz m + σz n = qνz .

Эти равенства называют уравнениями Коши на поверхности. Именно с их помощью нагрузка в любой точке произвольной поверхности тела может быть связана с напряжениями по трем взаимно перпендикулярным площадкам, окружающим данную точку.

Если спроецировать нагрузки (2.7) на нормаль ν к наклонной площадке, получится сила

Nν = (qνxl + qνy m + qνz n)Fν .

Сумма, заключенная в скобки, имеет смысл нормальных напряжений σν по наклонной площадке:

40	Часть I
	σν = qνxl + qνy m + qνz n.

Подстановка сюда интенсивностей нагрузки по формулам (2.8) и учет закона парности касательных напряжений дают:

σν = σxl2 + σy m2 + σz n2 + 2(τxy lm + τyz mn + τzxnl).

(2.9)

Проецирование же нагрузок (2.7) на прямую (l1, m1, n1), принадлежащую самой наклонной площадке, позволяет получить следующее выражение для касательных напряжений по направлению указанной прямой:

τ1 = σxll1 +σy mm1 +σz nn1 +τxy (lm1 +l1m)+τyz (mn1 +m1n)+τxz (nl1 +n1l).

Для того, чтобы найти полное касательное напряжение τν по наклонной площадке, надо определить какие-либо две его составляющие. Однако модуль величины τν можно установить и без этого. Так как интенсивность qν

нагрузки связана с интенсивностями qνx, qνy , qνz очевидной зависимостью qν2 = qν2x +qν2y +qν2z , а, с другой стороны, qν2 = σν2 +τν2, то

τν2 = qν2x + qν2y + qν2z − σν2.

(2.10)

2.3. Экстремальность нормальных напряжений. Полученные в предыдущем пункте результаты относятся и к тетраэдру, целиком погруженному внутрь тела, а потому на соотношения п. 2.2 допустимо опираться не только при формулировке граничных условий задачи. Например, с помощью этих соотношений можно найти проходящие через рассматриваемую точку тела площадки, на которых действуют максимальные нормальные напряжения. Важность предложенной задачи ясна из сказанного в п. 1.9.

Пусть известны все компоненты тензора напряжений в окрестности рассматриваемой точки тела. Требуется найти ориентацию тех площадок (т. е. значения l, m, n направляющих косинусов ортов нормалей к ним), которые проходят через данную точку и на которых нормальные напряжения принимают экстремальные значения. Иначе говоря, требуется исследовать функцию (2.9) на экстремум по аргументам l, m, n. Поскольку эти величины связаны равенством

l2 + m2 + n2 = 1,

(2.11)

то дело сводится к решению задачи на условный экстремум: найти стационарные точки функции (2.9) при условии (2.11). Здесь можно воспользоваться методом Лагранжа, согласно которому при помощи множителя λ и зависимостей (2.9) и (2.11) образуется новая вспомогательная функция

Φ = σxl2 + σy m2 + σz n2 + 2(τxy lm + τyz mn + τzxnl) + λ(1 − l2 − m2 − n2),

после чего анализируются уравнения