Третье доказательство.

Его достоинства: оно короткое; оно использует только свойства окружностей и сфер, а не свойства плоскостей, прямых и расстояний; решение плоской задачи использует объемные построения.

Представим себе, что все построение исходной задачи расположено не на одной плоскости (сфере) а выполнено в трехмерном пространстве. Легко показать, что если окружности А, В, С пересекаются между собой в разных точках, то они все лежат на одной сфере. Это будет сделано в статье 3, а здесь, ради экономии места не будем отвлекаться. Пусть точка Р лежит вне этой сферы. Проведем сферы SA через P и А, SВ через Р и В, SС через Р и С. (если Р лежит на той же сфере, что и А, В, С, то SA=SB=SC и доказательство не проходит)

Эти три сферы в общем случае пересекаются в двух точках. Одна из этих точек – Р (по построению они все проходят через нее). Обозначим вторую за Q. Покажем, что три окружности, проходящие через точку Р и точки пересечения АВ, ВС, СА – проходят через Q. Пересечение SA и SB проходит через P и АВ также SBSC – через P и ВС, SASC – через Р и АС. Это и есть те три окружности, проходящие через Р и точки пересечения А, В и С между собой. Пересечение трех этих окружностей есть SASBSC – это есть две точки Р и Q, следовательно три эти окружности проходят через P и Q. что и требовалось.

Случай, когда сферы SA, SB, SC имеют лишь одну общую точку означает, что рассматриваемые окружности – все касаются друг друга. Мы не будем здесь это рассматривать, хотя это и не сложно. Заметим, что это доказательство также можно обобщить на пространства высших размерностей.

Снова про инверсии.

Теперь займемся задачей на первый взгляд не связанной с рассмотренной ранее теоремой. Инверсию обычно определяют, задавая окружность (относительно которой осуществляется инверсия). А если мы знаем образы и прообразы нескольких точек (иначе говоря – пары сопряженных точек) – как определить инверсию, сопрягающие эти точки? Или, если мы знаем что I(A)=B, I(C)=D и нам дана некая точка Е, то как определить с какой точкой она сопряжена относительно I? Как должны быть связаны между собой эти пары точек, если известно, что существует инверсия I, такая, что I(A)=B, I(C)=D?

По определению инверсии, центр инверсии, образ и прообраз точки – всегда лежат на одной прямой.

Рисунок 5.

(Прямая, на которой лежат точка А, ее образ при инверсии I(A)=B; прямая, на которой лежат точка С, ее образ при инверсии I(C)=D; пересечение этих двух прямых, которое есть центр инверсии)

Пусть О – центр инверсии, лежащий на пересечении прямых (А, I(A)) и (С, I(C)) (если эти прямые параллельны, то мы имеем дело с симметрией относительно прямой. Радиус инверсии можно определить из формулы: |O, A|*|O, I(A)|=R*R или |O, B|*|O, I(B)|=R*R. Из этих же формул мы извлекаем равенство: |O, A|*|O, I(A)|= |O, B|*|O, I(B)| Отсюда следует, что точки А, I(A)=B, C, I(C)=D лежат на одной окружности. (то, что две пары сопряженных точек лежат на одной окружности мы доказали иным способом в статье 1, рассматривая ортогональные окружности).

Построим теперь окружность инверсии.

Рисунок 6.

(к рисунку 5. добавлена окружность S, проходящая через сопряженные точки, и две касательные к ней, проведенные через центр инверсии О)

Окружность с центром в О и проходящая через точки касания S с проходящими через О касательными к S и будет искомой. Ее радиус в квадрате будет равен произведению длин: |O, A|*|O, I(A)|=|O, B|*|O, I(B)| (По теореме о секущих к окружности). Но нам интересна сейчас не столько сама окружность инверсии, а построение образа какой-то точки Е, если даны А, I(A); B, I(B). I(E)=?

Проведем окружность ЕА через Е, А, I(A). Т.к. она проходит через пару сопряженных относительно I точек, то она ортогональна I и I(EA)=EA и точка I(E) – лежит на ней. Аналогично проведем окружность ЕС через E, C, I(C) по той же причине она переходит в себя при инверсии относительно I, I(EC)=EC. Значит I(E) лежит на ЕС. Значит – I(E) – есть вторая точка пересечения окружностей ЕС и ЕА (их первая точка пересечения – это Е). Если же ЕА и ЕС касаются, то I(E)=E.

Рисунок 7а.

(Точки Е, А, I(A) и E, C, I(C). окружности ЕА и ЕС пересекающиеся в точках Е и I(E))

Рисунок 7б.

Тоже самое, но окружности ЕС и Еа касаются в точке Е. I(E)=E.

Итак, мы научились проведением всего двух окружностей находить образ произвольной точки Е, если известны образы точек А и С. Но возникает один вопрос. Возьмем какую-нибудь точку К. I(К) можно найти исходя из двух пар сопряженных точек: А, I(A) и C, I(C). Но мы уже построили еще одну пару сопряженных точек: Е, I(E). Если мы найдем I(K) c помощью пар сопряженных точек А, I(A) и E, I(E) – получим ли мы ту же самую точку?

Проведем окружности:

S1 через A, I(A), C, I(C); S2 через С, I(С), Е, I(Е); S3 через A, I(A), Е, I(Е).

Теперь проведем еще три окружности: К1 через К, А, I(A); К2 через К, С, I(С); К3 через К, Е, I(Е). по доказанной теореме о шести окружностях – все они пересекаются в одной точке, эта точка и будет I(E). Это и доказывает, что I(E) не зависит от того, с помощью каких пар сопряженных относительно I точек его находить. Заметим, что поскольку нам известно, что I(E) – существует и единственно, мы можем таким образом получить новое, четвертое доказательство теоремы о шести окружностях.

Также заметим, что три пересекающиеся окружности S1, S2, S3 – задают инверсию. Образ произвольной точки К при этой инверсии задается проведением окружностей через К и пары точек пересечения этих трех окружностей.