- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие.
- •Оглавление
- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Статья 1.Новое решение задачи Аполлония о проведении окружности, касающейся трех данных. Краткое содержание статьи.
- •Сколько искомых окружностей?
- •Фундаментальные понятия:
- •Определение и основные свойства инверсии:
- •Перпендикуляр, опущенный на окружность.
- •Решение задачи Аполлония. (Для важнейшего частного случая)
- •Вопросы.
- •Статья 2.Теорема о шести окружностях или теорема о четырех пучках. Пучки окружностей, их определение, виды и свойства. Краткое содержание.
- •Формулировка теоремы.
- •Стандартное или школьное доказательство.
- •Второе доказательство.
- •Третье доказательство.
- •Снова про инверсии.
- •Уточнение и мнимая инверсия.
- •Пучки окружностей
- •Дополнение о прямых и точках на плоскости.
- •Связь пучков окружностей и пучков прямых.
- •Статья 3.Разные теоремы про окружности. Краткое содержание статьи.
- •Три взаимнокасающиеся окружности.
- •Биссектриса и система касающихся окружностей.
- •Разные случаи расположения окружностей, касающихся двух данных.
- •Теоремы о пересекающихся окружностях и перестановки четырех точек.
- •Тройственные симметрии.
- •Четыре касающиеся друг друга окружности.
- •Четыре касающиеся друг друга сферы.
- •Теорема Штайнера о системе касающихся друг друга окружностей.
- •Статья 4.Моделирование проективной геометрии с помощью геометрии окружности и сферы. Краткое содержание статьи.
- •Моделирование проективной плоскости. А-отображения.
- •Алгебраические свойства а-отображений и их геометрическое истолкование.
- •Моделирование проективного пространства.
- •Приложение. Основные свойства пучков окружностей.
- •Ортогональность и пучки.
- •Статья 5.Исчисление симметрий. Краткое содержание статьи.
- •Сопряженные движения.
- •Композиция симметрий на плоскости.
- •Композиция симметрий относительно четырех прямых.
- •Композиция симметрий относительно трех прямых.
- •Определение абстрактной группы движений.
- •Композиция пяти инверсий.
- •Немного о симметриях в пространстве.
- •Биплетная симметрия, или симметрия относительно пары точек.
- •Статья 6.Наглядные теоремы и построения. (Возвращение к старым темам). Краткое содержание статьи.
- •Окружность, ортогональная трем данным.
- •Три окружности Лобачевского.
- •Римановы окружности и евклидовы окружности.
- •Новые свойства трех окружностей.
- •Трехмерное обобщение теоремы о трехокружнике Лобачевского.
- •Еще один способ построения окружности, ортогональной трем окружностям Лобачевского.
- •Теорема о трех неподвижных точках.
- •Биссектрисы или серединные окружности.
- •Снова задача Аполлония.
- •Статья 7.Моделирование геометрий Лобачевского, Евклида и Римана в геометрии окружности. Краткое содержание статьи.
- •Объемная модель различных геометрий.
- •Окружности в разных геометриях.
- •Плоская модель различных геометрий.
- •Связь плоской и пространственной моделей.
- •Плодотворность плоской модели.
- •Сумма углов треугольника или «углы в трехокружнике».
- •Изогональные окружности.
- •Ориентация и расположение углов.
- •Теорема о пересечении биссектрис трех окружностей и неевклидовы геометрии.
- •Статья 8.Завершение задачи Аполлония и другие задачи на построение. Краткое содержание статьи.
- •Возвращение к задаче Аполлония (с того места, как мы оставили ее в ст. 6)
- •Однотипные задачи на построение.
- •Построение изогональных окружностей к трем данным а, в, с и завершение задачи Аполлония.
- •Небольшое применение теории групп приводит к большому упрощению.
- •Алгоритм для задачи Аполлония.
- •Теорема о композиции инверсий одного пучка.
- •Геометрические выводы.
- •Статья 9.Шесть замечательных точек геометрии окружностей. Угол между окружностями. Краткое содержание статьи.
- •Теорема об отображении трех точек.
- •Шесть замечательных точек.
- •Подсчет углов в трехокружнике.
Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Статья 1.Новое решение задачи Аполлония о проведении окружности, касающейся трех данных. Краткое содержание статьи.
В статье вводятся фундаментальные понятия геометрии окружности: симметрия окружностей (инверсия) и перпендикулярность окружностей. Эти понятия используются для решения классической задачи о проведении окружности, касающейся трех данных. Показывается, что таких окружностей может быть от нуля до 8, а в одном, исключительном случае – бесчисленное множество.
Построение искомой окружности аналогично построению окружности, касающейся трех данных прямых, или знакомой из школьного курса "окружности, вписанной в треугольник". Чтобы построить эту окружность, надо провести биссектрисы треугольника (они пересекаются в одной точке!), эта точка и будет центром искомой окружности. Опустим из этой точки перпендикуляры на стороны треугольника
Рисунок 1.
(Треугольник, три его биссектрисы, точка их пересечения, перпендикуляры из этой точки на стороны треугольника, точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами, искомая окружность)
Окружность, проходящая через три точки пересечения указанных перпендикуляров со сторонами треугольника и будет искомой.
Для того, чтобы найти окружность, касающуюся трех данных окружностей достаточно обобщить этот способ построения. Нужно понять, что будет "биссектрисой" между окружностями (мы знаем, что такое биссектриса между прямыми), и что такое "перпендикулярные окружности". Это будет сделано с помощью преобразования инверсии или "симметрии окружностей".
Сколько искомых окружностей?
Рассмотрим разные случаи расположения трех окружностей и "на глазок" оценим, сколько может быть окружностей, касающихся их всех.
1.Из трех данных окружностей одна – расположена между двумя другими.
Рисунок 2.
(окружность В разделяет окружности А и С)
В этом случае каждая окружность, касающаяся А и С – пересекает В, поэтому нет ни одной окружности, касающейся одновременно А, В и С.
2.
Рисунок 3.
(три исходные окружности А, В, С – все сами касаются друг друга)
В этом случае есть две окружности, касающиеся их всех. Одна лежит внутри области, ограниченной дугами. Мы можем мыслить ее как каплю, втиснутую внутрь. Другая – охватывает все три исходные окружности. Мы можем представлять ее как лассо, затянутое на трех окружностях. Впрочем, можно считать, что любая исходная окружность, напр. А, также подходит для решения задачи: она касается двух других, а касается ли окружность саму себя? Это – дело определения.
3.
Рисунок 4.
(Три исходные окружности пересекаются между собой и точки пересечения двух из них расположены по разные стороны от третьей окружности.)
В этом случае вся плоскость оказывается разбита на 8 частей. 7 из них ограничены дугами окружностей и в каждую из них можно поместить одну окружность, касающуюся трех исходных. восьмая область плоскости неограниченна, в ней также можно поместить окружность, касающуюся трех данных. Она будет охватывать их, как лассо.
4.
Рисунок 5.
(Все три окружности пересекаются между собой, но точки пресечения первых двух расположены по одну сторону от третьей окружности).
В этом случае плоскость также разбита на восемь частей и существует восемь окружностей, касающихся исходных, но свойства у них другие.. Заметим, что теперь одни части плоскости ограничены двумя дугами, а другие – тремя или четырьмя (в предыдущем случае все части плоскости имели границу из трех дуг). В областях ограниченных четырьмя дугами есть по две искомые окружности, в областях, ограниченных тремя дугами – по одной, а в областях, ограниченных двумя дугами – ни одной. Всего получается восемь окружностей, касающихся трех исходных, как и в предыдущем случае.
5.
Рисунок 6.
(все три исходные окружности касаются друг друга в одной точке)
В этом случае существует бесчисленной количество окружностей, касающихся исходных, все они касаются друг друга в одной точке, той же, что и три исходные. Такой набор окружностей называется "пучком касательных окружностей".