Окружности в разных геометриях.

Как, в рамках приведенной модели – выглядит окружность? Определим окружность немного необычно. Пусть дана точка Р – центр окружности и точка Q – лежащая на окружности. Окружностью я назову совокупность точек, в которую может перейти Q после симметрий, относительно всевозможных прямых, проходящих через Х.

Рисунок 1.

(Точки Р и Q, несколько прямых L1, L2, L3 – проходящих через Р, образы точки Q при симметрии относительно этих прямых L1(Q), L2(Q), L3(Q).)

Рассмотрим, что это означает для нашей модели. Точка Р изображается в нашей модели двумя точками Р1 и Р2, лежащими на одной прямой с О. А-отображения, оставляющие пару (Р1, Р2) неподвижной, это или:

1. А-отображения, центры которых лежат на прямой (Р1, Р2). Тогда точки Р1 и Р2 меняются местами.

2.А-отображения, центры которых лежат на плоскости, касающейся Р1 и на плоскости, касающейся Р2, т.е. – на пересечении этих плоскостей. Эти А-отображения отображают точку Р1 в Р1 и Р2 в Р2.

С другой стороны, нас интересуют только те А-отображения, которые лежат на Н, поляре О. Именно они определяют симметрии геометрии. Из теории поляр известно, что пара плоскостей, описанных в п.2 – пересекается по прямой, лежащей на Н, поляре О. Обозначим эту прямую L. Точка Q геометрии изображается на сфере парой точек Q1 и Q2 (лежащих на одной прямой с О). Проведем через L и Q1 плоскость, ее пересечение с S и даст совокупность точек на S, куда может перейти Q1 под действием А-отображений с центрами, лежащими на L. Пересечение сферы и плоскости это – окружность. Значит, окружность геометрии изображается окружностью на сфере (точнее, парой окружностей, ведь мы можем провести плоскость и через L и Q2). Заметим, что мы провели рассуждение, пригодное для всех трех случаев расположения S и О, т.е. для геометрий Римана, Лобачевского и Евклида одновременно. А случай, описанный в п. 1 отвечает точечной симметрии (относительно точки Р).

Чтобы не путаться в «парах точек» (изображающих точку геометрии), можно тем или иным удобным способом рассматривать часть сферы, в которой лежит по одному представителю пары. Например, если О – вне и выше сферы, то рассмотрим лишь ту часть сферы, которая лежит над полярой О, ближе к О.

У этой модели есть недостаток. Она – объемная. А мы изучаем плоские геометрии Римана, Евклида, Лобачевского. поэтому сейчас я дам плоскую модель, опять-таки однородно охватывающую все три случая.

Плоская модель различных геометрий.

Плоская модель начинается так просто, что это даже забавно. Возьмем любые три окружности А, В, С. Назовем их «прямыми» геометрии, а пары точек их пересечения – «точками» геометрии. Также, «прямыми» геометрии назовем все окружности, лежащие в образованных тремя исходными пучках. Пару точек пересечения из получающегося семейства – называем «точкой» геометрии, любую окружность, проходящую через эту пару точек – «прямой» геометрии, также любая окружность из пучка, заданного двумя окружностями из семейства – также будет «прямой» геометрии. (заметим, что именно окружности мы включаем в «прямые» геометрии, мнимые инверсии мы в данном случае не рассматриваем).

А какой геометрии? Это зависит от расположения исходных окружностей А, В, С. Если они – Римановы (т.е. одна из трех окружностей разделяет точки пересечения двух других), то и геометрия получается Римановой. Если А, В, С – евклидовы (т.е. все три пересекаются в одной точке, то и геометрия получится евклидовой. Если же А, В, С – три окружности Лобачевского (т.е. ни одна окружность не разделяет точек пересечения двух других), то и геометрия получится Лобачевского. (См. ст. 6 про окружность, ортогональную трем данным).

Прежде все разберем случай евклидового расположения трех окружностей А, В, С. Пусть О – точка, в которой они все пересекаются. Легко видеть, что всякая окружность из семейства, построенного указанным выше способом – проходит через О. (И, наоборот, всякую окружность, проходящую через О, можно получить из А, В, С описанным способом). Осуществим какую-нибудь инверсию с центром в О. При этом все окружности семейства («прямые» геометрии) перейдут в прямые обычной евклидовой плоскости. А «точки» геометрии – это пары точек (Х, О) где Х – любая точка плоскости. После инверсии О перейдет в бесконечно удаленную, а Х – в какую-то другую точку плоскости. Мы можем оперировать с этой парой как с одной точкой, ведь вторая точка во всех парах – одинакова и бесконечно далека. Мы получили обычную Евклидову геометрию.

Какие окружности, пересекающиеся в О, изображают параллельные прямые? Т.к. у параллельных прямых нет точки пересечения (кроме бесконечно удаленной, а ее-то и изображает точка О), то и у таких окружностей О должна быть единственной общей точкой. Это возможно только если они касаются друг друга в точке О. Итак – параллельные прямые изображаются касающимися в точке О окружностями.

Заметим, что А(О)=В(О)=С(О) и любая окружность, проходящая через О – оставляет О неподвижной при инверсии. Поэтому никакой композицией инверсий невозможно отобразить какую-нибудь другую точку Х в точку О. Это – тоже свойство бесконечно удаленной точки. Никаким движением нельзя в нее попасть и она неподвижна при всех движениях плоскости.

В случае риманова расположения трех исходных А, В, С – любые две окружности, изображающие «прямые» геометрии пересекаются, так ведут себя прямые римановой геометрии. Если же исходные А, В, С – окружности Лобачевского, то среди окружностей, изображающих «прямые» геометрии есть очень много непересекающихся, что свойственно геометрии Лобачевского. Теперь заметим, что в случаях Риманова или Лобачевского расположения трех исходных окружностей А, В, С – существует ортогональная всем троим инверсия I. В случае Лобачевского I – действительная инверсия, у которой есть неподвижная окружность, в случае Риманова расположения исходных А, В, С – I будет мнимой инверсией. Все окружности, полученные описанным способом, изображающие «прямые» геометрии – будут ортогональны I. Это следует из того, что все окружности из пучков (A, B), (В, С), (А, С) – будут Ортогональны I, т.к. I ортогональна А, В, С, а пары точек пересечения окружностей, изображающих «прямые» – сопряжены относительно I. (см. ст. 6 и ст. 2).

Если радиус окружности I очень мал или мы расположены очень далеко от этой окружности, то свойства геометрий Лобачевского и Римана будут похожи на свойства геометрии Евклида. Ведь «очень маленькая окружность» – это почти точка. Или, если далеко уйти от окружности – она тоже покажется точкой.