Композиция симметрий относительно трех прямых.

Рассмотрим теперь композицию трех осесимметрий С*В*А=Н

Рисунок 6.

(прямые С и В пересекающиеся в точке Р, прямая А, перпендикуляр из точки Р на А)

Покажем, что Н можно свести к композиции симметрий относительно точки и прямой. Доказательство аналогично проведенному на рис. 4. Мы будем поворачивать прямые С и В до тех пор, пока прямая В не будет перпендикулярна прямой А (т.е. не совпадет с перпендикуляром, опущнным из Р на А). Или, иными словами – найдем прямую L из пучка прямых (В, С) перпендикулярную А. Н=С*В*А=С*В*L*L*A=(C*B*L)*(L*A). Левая скобка – это симметрия относительно прямой, проходящей через Р, а правая скобка – симметрия относительно точки пересечения L и А.

Если С и В параллельны, то доказательство не проходит, т.к. среди прямых параллельных С и В нет прямой, перпендикулярной А (или все перпендикулярны ей). Тогда мы будем поворачивать прямые А и В относительно их точки пересечения Q. До тех пор, пока В станет перпендикулярна С. Или вставим прямую M: H=C*B*A=(C*M)*(M*B*A) так, что М перпендикулярна С и проходит через Q, тем самым Н опять сведено к композиции симметрии относительно точки и прямой. Если А и В – также параллельны, то все три прямые А, В, С – параллельны между собой и С*В*А – осесимметрия, как и в том случае, если А, В, С – все проходят через одну точку. Что и требовалось.

Итак, композиция трех осесимметрий сводится к композиции симметрии относительно точки и прямой. Изучим эту композицию. Обозначим точку, относительно которой проводится симметрия – А, прямую, относительно которой осуществляется симметрия – L.

Рисунок 7.

(Прямая L, точка А, прямая М, проходящая через А и перпендикулярная L. Точки Х, А(Х), L(A(X)) и В – точка пересечения М и L).

Мы видим, что все точки на М сдвигают под действием А*L на удвоенное расстояние от А до L. Прочие точки – также сдвигаются на это расстояние в направлении по М (от А к L) и симметрично отражаются относительно М. Т.е. Н=А*L есть композиция переноса на удвоенный вектор с началом в А и концом в В и симметрии относительно М. Это можно получить и на основании формального преобразования: L=B*M, H=A*L=A*(B*M)=(A*B)*M. В скобке стоит перенос (композиция двух точечных симметрий), а затем выполняется осесимметрия, как и было сказано.

Докажем сейчас хитроумное тождество про три произвольные осесимметрии: А, В, С. Именно: (А*В*С)²*(В*С*А)²=(В*С*А)²*(A*B*C)². Доказательство: для любых осесимметрий (А*В*С)² – параллельный перенос (предлагаю доказать самостоятельно, используя проведенные выше рассуждения). Значит перенос (А*В*С)² коммутирует с (В*С*А)². Что и требовалось.

Заметим, что в ходе рассмотрений композиций четырех и трех осесимметрий мы доказали, что любую композицию осесимметрий можно свести к композиции двух симметрий (относительно прямых или точек, или эта композиция – сама есть симметрия. Иными словами: группа движений плоскости биинволютивна. (Т.е. представима композицией не более чем двух инволютивных элементов).

Определение абстрактной группы движений.

Пусть у нас есть множество отображений (функций, движений) которые действуют на совокупность объектов. Неважно, каких объектов: точек, прямых, окружностей, чисел. Если:

1. Для любого отображения F существует обратное ему отображение Н, такое, что F(H(X))=X для всех объектов Х. (Н обозначают F^-1).

2. Если два отображения А и В входят в это множество, то и их композиция А*В=С входит в это множество.

3. Существует отображение Е, такое, что Е(Х)=Х для всех Х. (мы можем ничего не делать. Это «ничего-не-деланье», «нуль» – называется тождественным движением).

То эта совокупность отображений называется группой отображений (движений). Заметим, что из пунктов 1 и 2 можно вывести п.3 (Композиция отображения и обратного ему как раз дает тождественное движение). Заметим еще свойство ассоциативности отображений А*(В*С)=(А*В)*С, означающее, что мы модем как угодно раскрывать скобки. Это свойство присуще всем отображениям, мы им активно пользовались, изучая геометрию окружности, а вот коммутативность обычно выполняется только в исключительных случаях.

То, чем мы занимались в этой статье можно назвать «изучением группы отображений плоскости». Но не произвольных отображений, а таких, которые сохраняют расстояния между точками, углы между прямыми и т.п. Такие отображения называют движениями плоскости. Теперь же мы будем изучать группу преобразований плоскости, порожденную инверсиями.