- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие.
- •Оглавление
- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Статья 1.Новое решение задачи Аполлония о проведении окружности, касающейся трех данных. Краткое содержание статьи.
- •Сколько искомых окружностей?
- •Фундаментальные понятия:
- •Определение и основные свойства инверсии:
- •Перпендикуляр, опущенный на окружность.
- •Решение задачи Аполлония. (Для важнейшего частного случая)
- •Вопросы.
- •Статья 2.Теорема о шести окружностях или теорема о четырех пучках. Пучки окружностей, их определение, виды и свойства. Краткое содержание.
- •Формулировка теоремы.
- •Стандартное или школьное доказательство.
- •Второе доказательство.
- •Третье доказательство.
- •Снова про инверсии.
- •Уточнение и мнимая инверсия.
- •Пучки окружностей
- •Дополнение о прямых и точках на плоскости.
- •Связь пучков окружностей и пучков прямых.
- •Статья 3.Разные теоремы про окружности. Краткое содержание статьи.
- •Три взаимнокасающиеся окружности.
- •Биссектриса и система касающихся окружностей.
- •Разные случаи расположения окружностей, касающихся двух данных.
- •Теоремы о пересекающихся окружностях и перестановки четырех точек.
- •Тройственные симметрии.
- •Четыре касающиеся друг друга окружности.
- •Четыре касающиеся друг друга сферы.
- •Теорема Штайнера о системе касающихся друг друга окружностей.
- •Статья 4.Моделирование проективной геометрии с помощью геометрии окружности и сферы. Краткое содержание статьи.
- •Моделирование проективной плоскости. А-отображения.
- •Алгебраические свойства а-отображений и их геометрическое истолкование.
- •Моделирование проективного пространства.
- •Приложение. Основные свойства пучков окружностей.
- •Ортогональность и пучки.
- •Статья 5.Исчисление симметрий. Краткое содержание статьи.
- •Сопряженные движения.
- •Композиция симметрий на плоскости.
- •Композиция симметрий относительно четырех прямых.
- •Композиция симметрий относительно трех прямых.
- •Определение абстрактной группы движений.
- •Композиция пяти инверсий.
- •Немного о симметриях в пространстве.
- •Биплетная симметрия, или симметрия относительно пары точек.
- •Статья 6.Наглядные теоремы и построения. (Возвращение к старым темам). Краткое содержание статьи.
- •Окружность, ортогональная трем данным.
- •Три окружности Лобачевского.
- •Римановы окружности и евклидовы окружности.
- •Новые свойства трех окружностей.
- •Трехмерное обобщение теоремы о трехокружнике Лобачевского.
- •Еще один способ построения окружности, ортогональной трем окружностям Лобачевского.
- •Теорема о трех неподвижных точках.
- •Биссектрисы или серединные окружности.
- •Снова задача Аполлония.
- •Статья 7.Моделирование геометрий Лобачевского, Евклида и Римана в геометрии окружности. Краткое содержание статьи.
- •Объемная модель различных геометрий.
- •Окружности в разных геометриях.
- •Плоская модель различных геометрий.
- •Связь плоской и пространственной моделей.
- •Плодотворность плоской модели.
- •Сумма углов треугольника или «углы в трехокружнике».
- •Изогональные окружности.
- •Ориентация и расположение углов.
- •Теорема о пересечении биссектрис трех окружностей и неевклидовы геометрии.
- •Статья 8.Завершение задачи Аполлония и другие задачи на построение. Краткое содержание статьи.
- •Возвращение к задаче Аполлония (с того места, как мы оставили ее в ст. 6)
- •Однотипные задачи на построение.
- •Построение изогональных окружностей к трем данным а, в, с и завершение задачи Аполлония.
- •Небольшое применение теории групп приводит к большому упрощению.
- •Алгоритм для задачи Аполлония.
- •Теорема о композиции инверсий одного пучка.
- •Геометрические выводы.
- •Статья 9.Шесть замечательных точек геометрии окружностей. Угол между окружностями. Краткое содержание статьи.
- •Теорема об отображении трех точек.
- •Шесть замечательных точек.
- •Подсчет углов в трехокружнике.
Биссектриса и система касающихся окружностей.
Покажем теперь, как с помощь системы касающихся окружностей построить биссектрисы (см. ст. 1) двух данных окружностей. Пусть у нас есть две непересекающиеся окружности А и В. Пусть окружность С1 касается их обеих (не разделяя их между собой), окружность С2 касается А, В и С1 (опять-таки не разделяя эти окружности), С3 касается А, В и С2 и так далее мы добавляем окружности СК, каждая из которых касается А, В и предыдущей окружности.
Рисунок 7.
(Изображена описанная система окружностей)
Теорема о серединной окружности или биссектрисе утверждает, что все точки касания окружностей СК между собой – лежат на одной окружности I и I – биссектриса между А и В, т.е. I(A)=B
Доказательство состоит из двух частей.
Сначала, чтобы ярче проиллюстрировать идею, мы предположим доказанным, что любая окружность, касающаяся А и В (и не разделяющая их) – ортогональна биссектрисе между А и В. Отсюда следует, что точка касания двух таких окружностей при инверсии относительно этой биссектрисы – переходит в себя, т.е. остается неподвижной. (Т.к. она может перейти только в точку их касания, а она – единственна см. пред. теорему). Следовательно, точка касания – обязательно лежит на биссектрисе между А и В, что и требовалось доказать.
Теперь мы докажем, что окружность, касающаяся А и В и не разделяющая их – обязательно ортогональна биссектрисе между ними. В каждой точке Р окружности А можно провести только одну окружность С, касающуюся В (это можно видеть, рассматривая постепенное увеличение окружности С, касающейся А в Р. Сначала С мало и не достает до В, затем – касается, затем – пересекается, затем снова касается, но «с другой стороны», разделяя А и В. Затем не имеет общих точек с В.
Построим эту единственную окружность. Пусть I – биссектриса между А и В, тогда I(A)=B. Обозначим образ точки Р при инверсии относительно I, буквой Q. Т.е. I(P)=Q. Всякая окружность, проходящая через Р и Q – ортогональна I. Но через Р и Q всегда можно провести окружность, касающуюся А. (поздней мы разберем разные варианты подобных построений). Пусть С – такая окружность. Т.к. С касается А, то I(A) касается I(C). I(A)=B, I(C)=C (т.к. С проходит через две сопряженные точки) поэтому С касается В. итак, мы нашли окружность, проходящую через Р и касающуюся А и В. Она ортогональна I. Но было доказано, что такая окружность – единственна, поэтому всякая окружность, касающаяся А и В (не разделяя их) – ортогональна I. что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что если у нас есть четыре окружности, касающиеся друг друга по цепочке: А касается В, В касается С, С касается D, D касается А, то четыре точки касания – лежат на одной окружности (если среди А, В, С, D – нет разделяющих друг друга окружностей).
Рисунок 9.
(четыре описанных окружности, P1 и Р4 – точки касания А с двумя другими окружностями, Р2 и Р3 – точки касания С с двумя другими окружностями.)
Рассмотрим инверсию I отображающую А в С. Как было доказано ранее, В и D – ортогональны этой инверсии. Поэтому при этой инверсии точки касания В с А и С поменяются местами также и точки касания D c А и В поменяются местами. I(P1)=P2, I(P4)=P3. Но как было показано ранее (ст. рис. 16), четверка таких точек – всегда лежит на одной окружности. повторим здесь доказательство: проведем окружность через Р1, I(P1)=P2 и Р4. Она ортогональна I, т.к. проходит через пару сопряженных точек (Р1, Р2), значит на ней лежит и I(P4). Что и требовалось.