- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие.
- •Оглавление
- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Статья 1.Новое решение задачи Аполлония о проведении окружности, касающейся трех данных. Краткое содержание статьи.
- •Сколько искомых окружностей?
- •Фундаментальные понятия:
- •Определение и основные свойства инверсии:
- •Перпендикуляр, опущенный на окружность.
- •Решение задачи Аполлония. (Для важнейшего частного случая)
- •Вопросы.
- •Статья 2.Теорема о шести окружностях или теорема о четырех пучках. Пучки окружностей, их определение, виды и свойства. Краткое содержание.
- •Формулировка теоремы.
- •Стандартное или школьное доказательство.
- •Второе доказательство.
- •Третье доказательство.
- •Снова про инверсии.
- •Уточнение и мнимая инверсия.
- •Пучки окружностей
- •Дополнение о прямых и точках на плоскости.
- •Связь пучков окружностей и пучков прямых.
- •Статья 3.Разные теоремы про окружности. Краткое содержание статьи.
- •Три взаимнокасающиеся окружности.
- •Биссектриса и система касающихся окружностей.
- •Разные случаи расположения окружностей, касающихся двух данных.
- •Теоремы о пересекающихся окружностях и перестановки четырех точек.
- •Тройственные симметрии.
- •Четыре касающиеся друг друга окружности.
- •Четыре касающиеся друг друга сферы.
- •Теорема Штайнера о системе касающихся друг друга окружностей.
- •Статья 4.Моделирование проективной геометрии с помощью геометрии окружности и сферы. Краткое содержание статьи.
- •Моделирование проективной плоскости. А-отображения.
- •Алгебраические свойства а-отображений и их геометрическое истолкование.
- •Моделирование проективного пространства.
- •Приложение. Основные свойства пучков окружностей.
- •Ортогональность и пучки.
- •Статья 5.Исчисление симметрий. Краткое содержание статьи.
- •Сопряженные движения.
- •Композиция симметрий на плоскости.
- •Композиция симметрий относительно четырех прямых.
- •Композиция симметрий относительно трех прямых.
- •Определение абстрактной группы движений.
- •Композиция пяти инверсий.
- •Немного о симметриях в пространстве.
- •Биплетная симметрия, или симметрия относительно пары точек.
- •Статья 6.Наглядные теоремы и построения. (Возвращение к старым темам). Краткое содержание статьи.
- •Окружность, ортогональная трем данным.
- •Три окружности Лобачевского.
- •Римановы окружности и евклидовы окружности.
- •Новые свойства трех окружностей.
- •Трехмерное обобщение теоремы о трехокружнике Лобачевского.
- •Еще один способ построения окружности, ортогональной трем окружностям Лобачевского.
- •Теорема о трех неподвижных точках.
- •Биссектрисы или серединные окружности.
- •Снова задача Аполлония.
- •Статья 7.Моделирование геометрий Лобачевского, Евклида и Римана в геометрии окружности. Краткое содержание статьи.
- •Объемная модель различных геометрий.
- •Окружности в разных геометриях.
- •Плоская модель различных геометрий.
- •Связь плоской и пространственной моделей.
- •Плодотворность плоской модели.
- •Сумма углов треугольника или «углы в трехокружнике».
- •Изогональные окружности.
- •Ориентация и расположение углов.
- •Теорема о пересечении биссектрис трех окружностей и неевклидовы геометрии.
- •Статья 8.Завершение задачи Аполлония и другие задачи на построение. Краткое содержание статьи.
- •Возвращение к задаче Аполлония (с того места, как мы оставили ее в ст. 6)
- •Однотипные задачи на построение.
- •Построение изогональных окружностей к трем данным а, в, с и завершение задачи Аполлония.
- •Небольшое применение теории групп приводит к большому упрощению.
- •Алгоритм для задачи Аполлония.
- •Теорема о композиции инверсий одного пучка.
- •Геометрические выводы.
- •Статья 9.Шесть замечательных точек геометрии окружностей. Угол между окружностями. Краткое содержание статьи.
- •Теорема об отображении трех точек.
- •Шесть замечательных точек.
- •Подсчет углов в трехокружнике.
Второе доказательство.
Оно использует объемные построения и избавляет нас от подсчета каких-либо расстояний. Будем мыслить окружности проведенными на сфере. При этом все теоремы геометрии окружности будут точно такими же. Окружность на сфере – это линия пересечения сферы с плоскостью. Поэтому каждая окружность на сфере задает плоскость в пространстве (ту, на которой лежит). Обратное не верно: плоскость, не имеющая со сферой общих точек не задает никакой окружности. Правда, такая плоскость задает отображение сферы в себя (симметрию), которая, как и инверсия – отображает окружности в окружности, сохраняет углы между окружностями и т.п. Но у этого отображения – нет неподвижных точек, в отличие от обычной инверсии. Это – мнимая инверсия.
Если две окружности пересекаются, то их плоскости пересекаются по прямой, проходящей через сферу и точки пересечения этой прямой со сферой есть точки пересечения двух окружностей. Каждой плоскости, проходящей через эту прямую, отвечает окружность на сфере, проходящая через эти две точки (точки пересечения прямой и плоскости). Можно сказать, что всякой прямой, пересекающей сферу соответствуют окружности, проходящие через точки пересечения ее со сферой.
Что будет, если прямая касается сферы? В этом случае плоскости, проходящие через данную прямую, пересекаются со сферой по окружностям, касающимися этой прямой и друг друга в точке касания прямой и сферы.
Если прямая не имеет со сферой общих точек, то некоторые плоскости, проходящие через нее, пересекаются со сферой, две плоскости – касаются со сферой, а другие проходят мимо сферы. Получающееся семейство окружностей (по которым плоскости, проходящие через данную прямую пересекают сферу) не пересекаются друг с другом, все окружности лежат одна внутри другой и обладают рядом свойств, схожими с предыдущими двумя случаями. Это семейство окружностей называют "пучком окружностей".
Теперь докажем теорему.
Вернемся к рис. 1 Рассмотрим окружности А, В, D1 и D3. Нам известно, по условию, что все эти окружности пересекаются между собой, и что точки пересечения D1 с А и D3 с В лежат на одной окружности (это окружность С). Требуется доказать, что точки пересечения А и В лежат на одной окружности с точками пересечения D1 и D3 (именно через них проходит, точнее, должна проходить по теореме окружность D2).
Перейдем к плоскостям, в которых лежат окружности A, B, D1 и D3. Тот факт, что точки пересечения А с В и D1 с D3 лежат на одной окружности эквивалентен тому, что эти четыре точки лежат на одной плоскости. Пусть теперь А, В, D1 и D3 означают не только окружности, но и плоскости, в которых они лежат (что именно, окружности или плоскости – будет ясно из контекста).
Пересечение А с D1 – прямая, и В с D3 – прямая. Эти две прямые лежат в одной плоскости (в которой лежит окружность С). Требуется доказать, что пересечение А с В и D1 c D3 – также лежат в одной плоскости. Докажем от противного. Если АВ и D1D3 не лежат в одной плоскости, то они не пересекаются, следовательно пересечение АВD1D3 – пусто. Но по условию АD1 и ВD3 – в одной плоскости, следовательно эти прямые имеют общую точку (считаем параллельные прямые пересекающимися бесконечно далеко). Следовательно пересечение АВD1D3 не пусто. Противоречие, что и требовалось доказать.
Немного терпения. Еще раз переформулируем теорему. Назовем пучком плоскостей семейство плоскостей, проходящих через какую-то одну прямую. Назовем пучки плоскостей соединимыми, если существует плоскость, лежащая в двух этих пучках одновременно. Это равносильно тому, что две прямые, образующие два этих пучка – лежат в одной плоскости. Пусть как и ранее, А, В, D1, D3 – произвольные плоскости. Четыре плоскости можно разбить на пары тремя способами.
1. (А, В) и (D1, D3)
2. (A, D1) и (B, D3)
3. (A, D3) и (B, D1)
Мы только что доказали, что если в каком-то случае пучки соединимы (т.е. пересечения пар плоскостей сами лежат в одной плоскости), то и остальные пары пучков – соединимы. Обозначим это утверждение (*). Доказательство, как мы видели, сводилось к тому, что соединимость двух пучков равносильна тому, что пары плоскостей, образующих пучки – пересекаются в одной точке). В нашем случае имеется предусмотренное пунктом 2. Мы доказали что из этого следует 1. и 3.
Теперь перейдем к окружностям на сфере. Для этого рассмотрим какую-то сферу, пересекающую все четыре плоскости. Мы доказали более общее утверждение. Например, пусть окружности А, В, С – не пересекаются.
Рисунок 4.
(непересекающиеся окружности А, В, С, точка P, проходящие через нее окружности из пучков, образованных окружностями (А, С) и (В, С). Пусть они пересекаются в точке Q тогда окружность из пучка А и В также проходит через точку Q. Заметим, что пока мы не разобрали, как построить на плоскости окружность, проходящую через данную точку и данный пучок.
Теперь, как и было обещано в начале, обобщим теорему.
Изменим, обозначения. Пусть А, В, С, D – гиперплоскости. Точно также определим пучок гиперплоскостей, как совокупность гиперплоскостей таких, что пересечение любых двух совпадает (это будет гиперплоскость размерности на 1 меньше, чем у исходных). Назовем два пучка соединимыми, если есть гиперплоскость, лежащая сразу в двух этих пучках. Тогда соединимость пучка, заданного например, парой А и В с пучком, заданным парой С и D равносильна тому, что АВСD есть гиперплоскость размерности на 2 меньше чем у А, В, С, D (а в общем случае было бы на три меньше). И имеет место утверждение (*). поместим в это многомерное пространство гиперсферу. Гиперплоскости пересекут ее по гиперокружностям. Точно также можно определить пучки гиперокружностей и получить теорему: если пучки гиперокружностей (А, В) и (С, Д) – соединимы то (А, С) и (В, D) – соединимы и (A, D) с (В, С) – соединимы.