Трехмерное обобщение теоремы о трехокружнике Лобачевского.

Здесь я только намечу трехмерное обобщение этой теоремы. Пусть даны четыре сферы А, В, С, D, такие, что любые три из них – пересекаются в двух точках, а четвертая не разделяет эти точки пересечения. Каждые три сферы из этих четырех имеют две точки пересечения. Всего имеется 4 тройки сфер: А, В, С; А, В, D; А, С, D; В, С, D; и, соответственно – 4 пары точек пересечения. Точно также, как в плоском случае – имеется инверсия I, отображающая каждую из сфер А, В, С, D в себя и меняющая местами точки в каждой паре пересечения.

Выберем из каждой пары точек пересечения про точке и проведем через них сферу S1 (всего окажется выбранными 4 точки, а через четыре точки всегда можно провести сферу), а через оставшиеся четыре точки – сферу S2. Если сферы S1 и S2 пересекаются (или касаются) – все их общие точки (окружность или точка) – остаются неподвижными при инверсии I. Это доказывается точно также, как и в плоском случае: Сфера, на которой лежит пара сопряженных точек, переходит в себя при инверсии относительно сопрягающей сферы, но I(S1)=S2 S1 не совпадает с S2, значит ни на S1. ни на S2 нет сопряженных точек, значит, каждая точка пересечения S1 и S2 – остается неподвижной при инверсии I. Значит, окружность, по которой пересекаются S1 и S2 – лежит на I. Всего мы имеем четыре пары точек пересечения, выбирая из каждой пары по одной точке имеем 2х2х2х2=16 сфер, которые группируем, так же как и в плоском случае на 8 пар (в одной паре лежит сфера проведенная через четыре произвольно выбранные точки и сфера, проведенная через оставшиеся четыре точки). Окружности пересечения каждой пары сфер лежат на одной сфере I. Заметим, что некоторые пары сфер из восьми рассмотренных пар могут не пересекаться.

Еще один способ построения окружности, ортогональной трем окружностям Лобачевского.

Вернемся к плоскости и укажем еще один способ построения окружности, ортогональной трем данным. Пусть у нас есть три окружности Лобачевского А, В, С.

Рисунок 7.

(Три окружности Лобачевского А, В, С, окружность С1, проходящая через точки пересечения С и В (из пучка (С, В) не пересекающая А. Окружность А1 из пучка (С1, А) не пересекающая В.)

Окружности А, В, С и А, В, С1 ортогональны одной и той же окружности I (т.к. окружность ортогональная С и В ортогональна и С1). Также и окружности А1, С1, В – ортогональны I, т.к. А1 ортогональна окружности, ортогональной С1 и А, а это – I. Но среди окружностей А1, С1, В – нет пересекающихся! Поэтому, достаточно найти центры пучков (А1, С1) и (А1, В) и провести через них окружность – она и будет искомой (как было показано ранее, на ней будут лежать и центры пучка (С1, В)).

Центры пучка можно найти двумя способами.

1. Провести пару окружностей, ортогональных к двум окружностям пучка. Точки их пересечения и будут центрами пучка.

2. Начать данные окружности друг в друга. Они начнут стягиваться к центрам пучка, постепенно образы окружностей будут неотличимы от точек.

Из-за п. 2 мы можем просто начать инвертировать окружности А1, С1, В друг в друга и, когда образы станут очень малы, – провести через них окружность, которая будет практически неотличима от ортогональной трем исходным окружности I. Замечу, что с некоторыми небольшими модификациями этот способ (инвертировать окружности друг в друга, пока не «стянутся к точке») – годится и для трех исходных А, В, С. Какие именно нужны модификации я сейчас не будут касаться, замечу лишь, что если рассмотреть композицию h=А*В*С, то она постепенно стягивает все точки плоскости к точке, лежащей на окружности I, т.е. последовательность Х, h(X), h(h(X))… hⁿ(X)… стремится к некоторой одной точке на окружности I, какова бы ни была исходная точка Х. (Если А, В, С – римановы окружности, то ничего похожего не происходит).