- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие.
- •Оглавление
- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Статья 1.Новое решение задачи Аполлония о проведении окружности, касающейся трех данных. Краткое содержание статьи.
- •Сколько искомых окружностей?
- •Фундаментальные понятия:
- •Определение и основные свойства инверсии:
- •Перпендикуляр, опущенный на окружность.
- •Решение задачи Аполлония. (Для важнейшего частного случая)
- •Вопросы.
- •Статья 2.Теорема о шести окружностях или теорема о четырех пучках. Пучки окружностей, их определение, виды и свойства. Краткое содержание.
- •Формулировка теоремы.
- •Стандартное или школьное доказательство.
- •Второе доказательство.
- •Третье доказательство.
- •Снова про инверсии.
- •Уточнение и мнимая инверсия.
- •Пучки окружностей
- •Дополнение о прямых и точках на плоскости.
- •Связь пучков окружностей и пучков прямых.
- •Статья 3.Разные теоремы про окружности. Краткое содержание статьи.
- •Три взаимнокасающиеся окружности.
- •Биссектриса и система касающихся окружностей.
- •Разные случаи расположения окружностей, касающихся двух данных.
- •Теоремы о пересекающихся окружностях и перестановки четырех точек.
- •Тройственные симметрии.
- •Четыре касающиеся друг друга окружности.
- •Четыре касающиеся друг друга сферы.
- •Теорема Штайнера о системе касающихся друг друга окружностей.
- •Статья 4.Моделирование проективной геометрии с помощью геометрии окружности и сферы. Краткое содержание статьи.
- •Моделирование проективной плоскости. А-отображения.
- •Алгебраические свойства а-отображений и их геометрическое истолкование.
- •Моделирование проективного пространства.
- •Приложение. Основные свойства пучков окружностей.
- •Ортогональность и пучки.
- •Статья 5.Исчисление симметрий. Краткое содержание статьи.
- •Сопряженные движения.
- •Композиция симметрий на плоскости.
- •Композиция симметрий относительно четырех прямых.
- •Композиция симметрий относительно трех прямых.
- •Определение абстрактной группы движений.
- •Композиция пяти инверсий.
- •Немного о симметриях в пространстве.
- •Биплетная симметрия, или симметрия относительно пары точек.
- •Статья 6.Наглядные теоремы и построения. (Возвращение к старым темам). Краткое содержание статьи.
- •Окружность, ортогональная трем данным.
- •Три окружности Лобачевского.
- •Римановы окружности и евклидовы окружности.
- •Новые свойства трех окружностей.
- •Трехмерное обобщение теоремы о трехокружнике Лобачевского.
- •Еще один способ построения окружности, ортогональной трем окружностям Лобачевского.
- •Теорема о трех неподвижных точках.
- •Биссектрисы или серединные окружности.
- •Снова задача Аполлония.
- •Статья 7.Моделирование геометрий Лобачевского, Евклида и Римана в геометрии окружности. Краткое содержание статьи.
- •Объемная модель различных геометрий.
- •Окружности в разных геометриях.
- •Плоская модель различных геометрий.
- •Связь плоской и пространственной моделей.
- •Плодотворность плоской модели.
- •Сумма углов треугольника или «углы в трехокружнике».
- •Изогональные окружности.
- •Ориентация и расположение углов.
- •Теорема о пересечении биссектрис трех окружностей и неевклидовы геометрии.
- •Статья 8.Завершение задачи Аполлония и другие задачи на построение. Краткое содержание статьи.
- •Возвращение к задаче Аполлония (с того места, как мы оставили ее в ст. 6)
- •Однотипные задачи на построение.
- •Построение изогональных окружностей к трем данным а, в, с и завершение задачи Аполлония.
- •Небольшое применение теории групп приводит к большому упрощению.
- •Алгоритм для задачи Аполлония.
- •Теорема о композиции инверсий одного пучка.
- •Геометрические выводы.
- •Статья 9.Шесть замечательных точек геометрии окружностей. Угол между окружностями. Краткое содержание статьи.
- •Теорема об отображении трех точек.
- •Шесть замечательных точек.
- •Подсчет углов в трехокружнике.
Связь плоской и пространственной моделей.
Свяжем эту модель с построенной ранее пространственной моделью. Пространственная модель, коротко говоря, сводится к тому, что выбирается А-отображение с центром в О сферы S. Затем рассматривается совокупность А отображений, коммутирующих с О(Х), они лежат на поляре к О. Но А отображения – это инверсии сферы. Выбрать А-отображение с центром в О – означает просто выбрать инверсию, а А-отображения, коммутирующие с этой инверсией – есть инверсии, коммутирующие с исходной, определенной точкой О. поэтому две модели равносильны. Это стало бы совсем очевидно, если бы я начал построение плоской модели так: «назовем окружности, ортогональные данной инверсии I – «прямыми» геометрии. Если I – мнимая инверсия, то это геометрия Римана, а если I – действительная, то получится геометрия Лобачевского.»Этот способ был бы хуже по двум причинам: 1. Выпадает геометрия Евклида. 2. окружность I совершенно не нужна нам для доказательства многих теорем.
Как и в пространственной модели я рассмотрю, что будет являться окружностью в рамках предложенной модели. Для этого снова воспользуемся определением окружности, данным на рис. 1. «Прямые» геометрии, проходящие через «точку» Р геометрии – это окружности, проходящие через пару точек Р1 и Р2, мы ищем как действуют инверсии относительно всех этих окружностей на «точку» геометрии. «точка» геометрии это пара точек Q1 и Q2, но нам вполне достаточно проследить действие на одну из этих точек, например Q1.
Рисунок 2.
(Две пересекающиеся окружности F и Н, точки их пересечения Р1 и Р2, точка Q1, окружность Т, проходящая через Н1 и ортогональная F и Н)
Окружности, проходящие через Р1 и Р2 образуют пучок. Проведем через Q1 окружность Т, ортогональную каким-нибудь двум окружностям этого пучка, напр. исходным F и Н, по свойствам пучков – она будет ортогональна все окружностям пучка (F, H) и, следовательно, при инверсиях относительно окружностей и пучка точка Q1 будет перемещаться по окружности Т. Таким образом, окружность геометрии изображается окружностью на плоскости. Заметим, что наше рассуждение охватывает сразу три возможные случая (Римана, Евклида и Лобачевского)
Но, в случае геометрии Лобачевского – не всякая окружность на плоскости будет окружностью геометрии Лобачевского. Пусть две окружности, изображающие «прямые» геометрии Лобачевского не пересекаются.
Рисунок 3.
(Две непересекающиеся окружности F и Н, центры пучка (F, Н) – точки О1 и О2, точка Q1, окружность Т, ортогональная F и Н и проходящая через Q1)
Окружность Т, ортогональная F и Н не изображает никакой окружности геометрии Лобачевского, т.к. у нее нет «центра» в этой геометрии. Заметим, что центры мнимого пучка (F, H) О1 и О2 лежат на I – окружности, ортогональной всем окружностям, изображающим «прямые» геометрии Лобачевского. Т.к. Т проходит через О1 и О2, то Т – обязательно пересекает I – именно такие окружности – не изображают никакую окружность геометрии Лобачевского.
Заметим еще одно хорошее свойство этой модели: угол между окружностями, изображающими «прямые» геометрии совпадает с углом между прямыми, которые эти окружности изображают.