Перпендикуляр, опущенный на окружность.

Известно, что из данной точки на данную прямую можно провести один и только один перпендикуляр. А через данную точку Х можно провести бесчисленное множество окружностей, ортогональных данной окружности А.. Если окружность В проходит через Х и ортогональна А, то А(Х) – снова лежит на В – это следует из сказанного ранее при описании рис. 14. Поэтому все окружности ортогональные А и проходящие через Х, проходят также и через А(Х).

Рисунок 15.

(Окружность А, пара сопряженных относительно нее точек Х, и А(Х), несколько окружностей, проходящих через эту пару точек)

Также верно, что если окружность проходит через пару сопряженных с А точек, то она ортогональна А. Это можно выразить и так: если одна точка окружности В при инверсии относительно А лежит на В, то и все точки окружности В при инверсии относительно А – снова лежат на В и вся окружность В при инверсии относительно А – переходит в себя А(В)=В. Это как и многие другие свойства инверсии я оставляю без доказательства, т.к. их легко найти в любом хорошем учебнике геометрии.

А вот через две точки Х1 и Х2 можно провести одну и только одну окружность ортогональную данной окружности А. В отличие от предыдущего, это мы сейчас докажем. случай когда Х1 и Х2 лежат на окружности А описан ранее (рис. 14). Пусть хотя бы одна из точек, напр. Х1 не лежит на А. Тогда А(Х1) не= Х1. проведем окружность через три точки: А(Х1), Х1 и Х2. Она будет ортогональна А т.к. проходит через пару сопряженных относительно А точек: Х1 и А(Х1). С другой стороны, всякая окружность, проходящая через Х1 и ортогональная А – проходит и через А(Х1). Поскольку она по условию проходит и через Х2, а через три точки проходит только одна окружность – то искомая окружность – единственна. Также она проходит и через А(Х2).

Рисунок 16.

(Окружность А, пара точек Х1 и Х2 и сопряженные с ними точки А(Х1) и А(Х2), окружность проходящая через все эти четыре точки и ортогональная А)

Итак мы доказали, что через пару точек Х1 и Х2 можно провести одну и только одну окружность ортогональную данной. Также по ходу дела мы доказали, что если отразить инверсно любые две точки относительно произвольной окружности А, то две исходные точки и их образы – лежат на одной окружности (ортогональной А). В дальнейшем в этой статье вместо слов "проведем через пару точек окружность, ортогональную А" буду говорить "опустим из пары точек перпендикуляр на А" (по аналогии с перпендикуляром к прямой).

Отметим без доказательств еще следующие свойства инверсии. Пусть есть окружность В и пара сопряженных относительно нее точек Х и Y. Тогда образы точек Х и Y при инверсии относительно произвольной окружности А, будут сопряжены относительно образа окружности В при инверсии относительно A. Это можно записать и так: Если Y=В(Х), и С=А(В) то А(Y) и А(Х) сопряжены относительно А(В). Точно также, если Х и Y – не точки, а сопряженные относительно В окружности: их образы после инверсии относительно произвольной окружности А будут сопряжены с образом В при инверсии относительно А.

Дадим еще определение мнимой инверсии. Оно не понадобится нам в этой статье, но будет очень важно в следующих. Вернемся к определению инверсии и рис. 8. Все сохраняется неизменным, кроме одного пункта: Точка О, центр окружности А будет разделять сопряженные при мнимой инверсии относительно А точки Х и Y. Свойства мнимой инверсии во многом отличаются от свойств обычной инверсии: например при мнимой инверсии точки, лежащие на А не остаются неподвижными, а отражаются симметрично относительно центра окружности А. можно представлять мнимую инверсию как композицию: сначала осуществляется обычная инверсия относительно А, а потом – симметрия относительно центра А.