Фундаментальные понятия:

Симметрия окружностей. Ортогональные или перпендикулярные окружности и биссектрисы. Алгебраическая запись для симметрии.

Биссектрисой между двумя пересекающимися прямыми, или биссектрисой угла между двумя прямыми называют прямую, делящую пополам этот угол.

Рисунок 7.

(пересекающиеся прямые А и В и биссектрисы основного L1 и дополнительного L2 углов)

Угол между L1 и А равен углу между L1 и В, угол между L2 и А равен углу между L2 и В, угол между L1 и L2 – всегда прямой. При симметрии относительно L1 прямая А перейдет в В, прямая В – в А. Мы можем выразить это записью: L1(А)=В, L2(В)=А. Также и L2(А)=В, L2(В)=А. Поэтому биссектрису между двумя данными прямыми можно определить как прямую, относительно которой данные прямые симметричны.

Биссектриса между окружностями определяется точно также!

Биссектриса между двумя окружностями – это такая окружность, относительно которой обе окружности симметричны. Симметрия между окружностями называется инверсией и была строго определена шведским математиком Магнусом в первой трети прошлого века.

Определение и основные свойства инверсии:

Обычно инверсию определяют через расстояния, алгебраически. Я поступлю также, хотя из дальнейших статей станет ясно, что это можно сделать иначе или, имеет смысл считать инверсию неопределяемым, аксиоматическим понятием.

Пусть дана окружность А с центром в О и точка Х. Образом точки Х при инверсии относительно окружности А называют точку Y, такую что:

Y лежит на прямой (ОХ) причем О не разделяет точки Х и У и |OX|*|OY|=R*R где R – радиус окружности А.

Рисунок 8.

(Окружность А, ее центр О, прямая (OX) и точка Y)/

Обозначают это так: А(Х)=Y. Из определения легко видеть, что если А(Х)=Y, то А(Y)=X. Точки Х и Y в этом случае называют еще "инверсно сопряженным относительно А".

Свойства инверсии (симметрии окружностей):

1. Точки окружности А остаются неподвижными при инверсии относительно А, т.к. если Х лежит на А, то |OX|=R, |OY|= R*R/|OX|=R, отсюда следует, что Х совпадает с Y.

2. Внутренности А инверсно соответствует внешность, т.е. точке, лежащей внутри окружности А инверсно сопряжена точка, лежащая вне окружности А. Иначе говоря – инверсия выворачивает окружность А наизнанку.

3. Чем дальше точка Y от окружности А, тем ближе Х к центру окружности А. При очень удаленных Y Х почти совпадает с центром О. Т.к. |OX|=R*R/|OY| если |OY| очень велико, то |OX| – почти ноль.

4. Считают, что центр окружности А инверсно сопряжен с бесконечно удаленной точкой.

5. При инверсии окружности переходят в окружности. Иначе говоря, если некоторые точки лежат на одной окружности, то сопряженные с ними точки – также лежат на одной окружности.

Рисунок 9.

(Окружность А и две сопряженные относительно нее окружности В и С)

А(В)=С. в этом случае окружности В и С называют сопряженными относительно окружности А (а окружность А называют сопрягающей окружностью).

6. Прямые инверсно сопряжены с окружностями, проходящими через центр окружности А.

Рисунок 10.

(Окружность А, прямая С и окружность В, проходящая через О, центр окружности А. А(С)=В)

В геометрии окружности прямую считаю частным случаем окружности. Все прямые – проходят через бесконечно удаленную точку (которая инверсно сопряжена с центром окружности А). Это соответствует нашей интуиции о том, что прямая – это окружность "бесконечно большого радиуса".

Уже сейчас мы можем определить биссектрису между окружностями В и С. Это такая окружность А, что А(В)=С. Но чтобы объяснить, что это – "настоящая" биссектриса, определим, что называют углом между окружностями. Углом между пересекающимися окружностями называют угол между касательными к этим окружностям в точке пересечения.

Рисунок 11.

(Пересекающиеся окружности В и С и касательные к ним в двух точках пересечения этих окружностей)

Окружности пересекаются в двух точках, но углы между касательными в точках пересечения – одинаковы. (откуда – по или против часовой стрелки надо отсчитывать угол, определять пока не будем)

Если окружность А проходит через точки пересечения В и С и делит угол между ними пополам, то она и будет биссектрисой между ними, А(В)=С. Как и в случае двух пересекающихся прямых – есть две такие окружности. Обозначим вторую D, тогда D(В)=С. Угол между А и D равен 90 градусам.

Рисунок 12.

(Окружности В и С и две биссектрисы между ними)

Важнейшее свойство угла между окружностями: он не меняется при инверсии. Если угол между В и С равен то после инверсии относительно какой-нибудь окружности К угол между К(В) и К(С) – также равен 

Рисунок 13.

(Окружности К, В и С их образы при инверсии относительно К – К(В) и К(С)).

Угол между касающимися друг друга окружностями равен нулю. Угол между окружностями, не имеющими общих точек – не определяют.

Для всего дальнейшего важнейшую роль играет определение и свойства ортогональных окружностей. Определение: окружности, угол между которыми равен 90 градусам – называются ортогональными или перпендикулярными.

Рисунок 14.

(Две ортогональные окружности В и С. из центра окружности В проведены два радиуса, в их концах проведены две касательные, они перпендикулярны этим радиусам. В точке их пересечения и находится центр ортогональной к В окружности С, проходящей через концы проведенных ранее радиусов)

Точка Х, лежащая на окружности С при инверсии относительно окружности В переходит в точку В(Х) и также лежит на С. Иначе говоря – окружность С переходит в себя при инверсии относительно В, В(С)=С (при этом точки С меняются местами, но остаются на окружности С). Это аналогично тому, что прямая, перпендикулярная данной, переходит в себя при симметрии относительно данной прямой.