- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Предисловие.
- •Оглавление
- •Бесполезная геометрия? Или: потерянная геометрия окружности и симметрий. Статья 1.Новое решение задачи Аполлония о проведении окружности, касающейся трех данных. Краткое содержание статьи.
- •Сколько искомых окружностей?
- •Фундаментальные понятия:
- •Определение и основные свойства инверсии:
- •Перпендикуляр, опущенный на окружность.
- •Решение задачи Аполлония. (Для важнейшего частного случая)
- •Вопросы.
- •Статья 2.Теорема о шести окружностях или теорема о четырех пучках. Пучки окружностей, их определение, виды и свойства. Краткое содержание.
- •Формулировка теоремы.
- •Стандартное или школьное доказательство.
- •Второе доказательство.
- •Третье доказательство.
- •Снова про инверсии.
- •Уточнение и мнимая инверсия.
- •Пучки окружностей
- •Дополнение о прямых и точках на плоскости.
- •Связь пучков окружностей и пучков прямых.
- •Статья 3.Разные теоремы про окружности. Краткое содержание статьи.
- •Три взаимнокасающиеся окружности.
- •Биссектриса и система касающихся окружностей.
- •Разные случаи расположения окружностей, касающихся двух данных.
- •Теоремы о пересекающихся окружностях и перестановки четырех точек.
- •Тройственные симметрии.
- •Четыре касающиеся друг друга окружности.
- •Четыре касающиеся друг друга сферы.
- •Теорема Штайнера о системе касающихся друг друга окружностей.
- •Статья 4.Моделирование проективной геометрии с помощью геометрии окружности и сферы. Краткое содержание статьи.
- •Моделирование проективной плоскости. А-отображения.
- •Алгебраические свойства а-отображений и их геометрическое истолкование.
- •Моделирование проективного пространства.
- •Приложение. Основные свойства пучков окружностей.
- •Ортогональность и пучки.
- •Статья 5.Исчисление симметрий. Краткое содержание статьи.
- •Сопряженные движения.
- •Композиция симметрий на плоскости.
- •Композиция симметрий относительно четырех прямых.
- •Композиция симметрий относительно трех прямых.
- •Определение абстрактной группы движений.
- •Композиция пяти инверсий.
- •Немного о симметриях в пространстве.
- •Биплетная симметрия, или симметрия относительно пары точек.
- •Статья 6.Наглядные теоремы и построения. (Возвращение к старым темам). Краткое содержание статьи.
- •Окружность, ортогональная трем данным.
- •Три окружности Лобачевского.
- •Римановы окружности и евклидовы окружности.
- •Новые свойства трех окружностей.
- •Трехмерное обобщение теоремы о трехокружнике Лобачевского.
- •Еще один способ построения окружности, ортогональной трем окружностям Лобачевского.
- •Теорема о трех неподвижных точках.
- •Биссектрисы или серединные окружности.
- •Снова задача Аполлония.
- •Статья 7.Моделирование геометрий Лобачевского, Евклида и Римана в геометрии окружности. Краткое содержание статьи.
- •Объемная модель различных геометрий.
- •Окружности в разных геометриях.
- •Плоская модель различных геометрий.
- •Связь плоской и пространственной моделей.
- •Плодотворность плоской модели.
- •Сумма углов треугольника или «углы в трехокружнике».
- •Изогональные окружности.
- •Ориентация и расположение углов.
- •Теорема о пересечении биссектрис трех окружностей и неевклидовы геометрии.
- •Статья 8.Завершение задачи Аполлония и другие задачи на построение. Краткое содержание статьи.
- •Возвращение к задаче Аполлония (с того места, как мы оставили ее в ст. 6)
- •Однотипные задачи на построение.
- •Построение изогональных окружностей к трем данным а, в, с и завершение задачи Аполлония.
- •Небольшое применение теории групп приводит к большому упрощению.
- •Алгоритм для задачи Аполлония.
- •Теорема о композиции инверсий одного пучка.
- •Геометрические выводы.
- •Статья 9.Шесть замечательных точек геометрии окружностей. Угол между окружностями. Краткое содержание статьи.
- •Теорема об отображении трех точек.
- •Шесть замечательных точек.
- •Подсчет углов в трехокружнике.
Четыре касающиеся друг друга окружности.
Есть какая-то притягательность в рисовании четырех касающихся друг друга окружностей. многие делали это в детстве. По крайней мере – если нарисованы три, так и тянет дорисовать четвертую. Нарисуем и мы.
Рисунок 27.
(Четыре касающихся друг друга окружности А, В, С, D. (D – втиснуто между тремя другими). Шесть точек их касания между собой и три окружности, проходящие через эти точки касания. Построение этих трех окружностей описано ниже)
Обозначим 6 точек касания с помощью касающихся в этих точка окружностей. Точка АВ (или ВА) – точка касания окружностей В и А и т.п. Эти шесть точек АВ, АС, СD, СВ, DВ, АD – обладают рядом замечательных свойств. Например АВ, АD, DC, CB – сами лежат на одной окружности. Доказательство: ведь эти четыре окружности касаются друг друга по цепочке. Рассмотрим инверсию I, меняющую местами окружности А и С. Окружности В и D при этом останутся неподвижными (т.к. они касаются их обеих) I(B)=B, I(D)=D. Значит I(AB)=(CB), I(AD)=CD, т.е. в перечисленной четверке точек есть две пары сопряженных относительно I, следовательно эта четверка лежит на одной окружности. что и требовалось. Можно провести три таких окружности, они обозначены на рис. 27.
Сгруппируем теперь шесть точек касания иначе. Отбросим из четырех окружностей какую-то, например А. Останутся три окружности, касающиеся друг друга в трех точках. Проведем через них окружность, обозначим ее SA. по первой теореме в этой статье – она ортогональна всем трем оставшимся окружностям B, C, D. Аналогично построим окружности SB, SC, SD (отбросив одну окружность и проведя окружность через три точки касания оставшихся между собой).
Рисунок 28.
(изображены исходные окружности A, B, C, D и построенные окружности SA, SB, SC, SD)
Докажем, что все четыре окружности SA, SB, SC, SD – касаются друг друга!
Рассмотрим, например SA и SB. Первая окружность проходит через BC, CD, и DB (точки касания окружностей В, С, D), вторая через АС, СD, и AD (точки касания А, С, D) Покажем, что в точке СD окружности SA и SB – касаются. В самом деле, SA и SB по построению ортогональны С (и D тоже). Но если две окружности ортогональны третьей и имеют на ней общую точку – то они касаются друг друга в это общей точке. Это было доказано в комментарии к рис. 25. Теперь докажем чуть-чуть иначе:
Рисунок 29.
(Окружность С, точка СD касающиеся в этой точке окружности SA, SB, касательная прямая в точке СD к С и прямая, касающаяся SA в точке СD)
Касательная к SA в точке CD ортогональна касательной к С в этой точке и касательная к SB ортогональна к этой же касательной в этой же точке (т.к. обе окружности ортогональны к С). Значит касательные к SA и SB совпадают в точке СD. Значит SB и SA касаются друг друга в точке CD. Что и требовалось.
Проведем теперь окружность Е, касающуюся А, В, С – охватывая их, как лассо.
Рисунок 30.
(исходные окружности А, В, С, D и охватывающая их Е)
Точки касания с Е обозначим АЕ, ВЕ, СЕ. Заметим, что Е симметрично с D относительно окружности, проходящей через АВ, АС, СВ, ранее мы обозначили эту окружность SD. Точки АЕ, АС, АD и AB (все лежащие на одной окружности А) образуют «гармоническое отношение» (одно из важнейших понятий проективной геометрии и геометрии окружности). в других статьях мы поговорим подробней об этом отношении, по же замечу, что из многочисленных определений гармонического отношения это – нагляднейшее. Заметим еще, что точки АВ, АD, DC, CB (лежащие. как показано выше на одной окружности)– так же образуют гармоническое отношение).
Мы еще вернемся к изучению 4 касающихся друг друга окружностей и шести точек их касания в других статьях. пока же рассмотрим: