Вопросы.

1. А почему окружность, построенная описанным способом – касается трех исходных?

2. Почему три биссектрисы между окружностями – пересекаются в двух точках?

3. А что будет, если три исходные окружности расположены иначе?

Ответы на первые два вопроса будут даны в следующих статьях. а третий вопрос частично разберем здесь. Рассмотрим случай, когда все три окружности не имеют общих точек и любые две лежат по одну сторону от третьей. Ранее мы определили угол между пересекающимися окружностями и биссектрису между пересекающимися окружностями. Мы назвали А – биссектрисой между В и С если угол между А и В равен углу между А и С и А проходит через точки пересечения В и С. Другое определение было А(В)=С (из того, что инверсия сохраняет углы между окружностями легко следует, что из А(В)=С следует сформулированное равенство углов). Свойство А(В)=С и возьмем за определение биссектрисы и в случае, когда В и С не пересекаются.

Рисунок 22.

(не имеющие общих точек окружности В, С и их биссектриса А)

Если В и С не пересекаются, есть всего одна биссектриса между ними. Заметим сходство с прямыми на плоскости. Если В и С – параллельные (непересекающиеся) прямые, то есть только одна прямая А, такая, что А(В)=С. А лежит "посередине" В и С.

Рисунок 23.

(описанные прямые, А, В, С)

При этом есть много точечных симметрий, переводящих В в С.

В случае окружностей В и С не имеющих общих точек – также есть еще симметрии. меняющие В и С местами, но о них мы будем говорить в других статьях серии.

Рисунок 24.

(непересекающиеся окружности А, В, С, такие что любые две лежат по одну сторону от третьей, биссектрисы между ними, пересекающиеся в точках Р1 и Р2, перпендикуляры из Р1 и Р2 опущенные на А, В, С, точки пересечения этих перпендикуляров с теми окружностями, на которые они опущены и проходящие через эти точки две окружности, касающиеся трех исходных)

Поступим аналогично разобранному случаю. проведем биссектрисы между А и В и между В и С. Если они пересекаются (а они могут и не пересечься, в этом случае надо определить "пучок" окружностей, что будет сделано в следующих статьях), то проведем соответствующие перпендикуляры. Обозначим точки пересечения перпендикуляров с теми окружностями, на которые они опущены А1, А2, В1, В2, С1, С2 и выберем точки А1, В1, С1 так, чтобы окружность проходящая через них – касалась трех исходных (это всегда можно сделать). Окружность, проходящая через оставшиеся точки: А2, В2, С2 – также будет касаться трех исходных. Заметим что обе проведенные окружности – не разделяют три исходные между собой. Можно провести еще 6 окружностей, касающихся А, В и С.

Проведем теперь какую-нибудь окружность D, разделяющую А от В и С. Перемещая и раздувая D можно получить окружности D1 и D2, касающиеся трех исходных, причем D1 и D2 будут также разделять А от В и С.

Рисунок 25.

(окружности А, В, С, D, D1, D2)

Аналогично есть пара окружностей, разделяющая В от А и С и касающаяся исходных и пара окружностей разделяющая С от А и В и касающаяся исходных. Всего получается еще 6 касающихся А, В и С окружностей.

Для того, чтобы объяснить эти и некоторые другие случаи необходимо ввести понятие пучка окружностей и воспользоваться мнимой инверсией что и будет сделано в следующих статьях.