Tom_2

n

S = lim å

λn →0 i=1

æ	¶f (x , y ) ö2			æ	¶f (x , y ) ö2
1+ ç	i	i	÷	+ ç	i	i	÷	× DSi .
	¶x
è			ø	è	¶y		ø

Полученная сумма представляет собой интегральную сумму для

	æ	¶f (x , y ) ö2			æ ¶f (x , y ) ö2
функции 1+ ç		i	i	÷	+ ç	i	i	÷	. Так как эта функция по
		¶x
è				ø	è	¶y		ø

условию непрерывна в области D, то предел этой суммы при λn ® 0 существует и равен двойному интегралу

òò		æ	¶f (x, y) ö2		æ	¶f (x, y) ö2
	1+ ç			÷	+ ç	¶y	÷	dxdy .
D	è		¶x ø		è		ø

Таким образом, площадь S поверхности, определяемой функцией f (x, y) , вычисляется по формуле

S = òò

æ

¶f (x, y) ö2

æ

¶f (x, y)

ö2

dxdy .

1+

ç

÷

+ ç

÷

(4)

¶x

¶y

D

è

ø

è

ø

Пример

4.

Вычислить

площадь

поверхности

сферы

x2 + y2 + z2 = R2 .

Решение.

Уравнение

верхней

половины

сферы

имеет

вид

¶z = -

x

¶z

y

z = R2 - x2 - y2 .

Тогда

,

= -

¶y

¶x

R

2

- x

2

- y

2

R

2

- x

2

- y

2

и

æ ¶z

ö2

æ

¶z ö2

R

1+

ç

÷

+ ç

÷

=

.

R2 - x2 - y2

è ¶x

ø

è

¶y ø

По формуле

(4)

получаем

S = 2òò

R

dxdy ,

где

R2 - x2 - y2

D

область интегрирования D определяется условием

x2 + y2 £ R2 .

Переходя в последнем интеграле к полярным координатам, получим

2π

R

R

2π

R

2π

S = 2 ò dϕ ò

ρ dρ = -2R ò dϕ R2

- ρ2

= 2R ò Rdϕ = 4π R2

0

0

R2 - ρ2

0

0

0

. □

Пример 5. Найти площадь поверхности параболоида z = x2 + y2 над кругом x2 + y2 £ R2 .

94

Решение.

Так

как

¶z

= 2x,

¶z

= 2y ,

то

¶x

¶y

S = òò 1+ 4x2 + 4y2 dx dy ,

где D –

круг

x2 + y2 £ R2 . Делая замену

D

декартовых координат на полярные, получаем

R

é

ù

2π

R

2π

(1

+ 4ρ2 )

3

é

3

ù

ê

ú

π

2

ê(

2 )2

ú

S = ò

dϕ ò

1+ 4ρ

ρ d ρ = ò dϕ ê

ú

=

12

6

ë 1+ 4R

-1û

0

0

0

ë

û

0

. □

40. Вычисление массы плоской пластины и массы пространственного тела. Рассмотрим на плоскости Oxy

материальную пластину, т.е. некоторую область D, по которой распределена масса m с плотностью γ (x, y) . Вычислим по заданной

плотности γ (x, y) массу этой пластины, считая, что g(x,y) – непрерывная функция. Разобьем произвольно область D на части Di с площадями DDi и обозначим через mi массы этих частей. В каждой части Di , i = 1, n , возьмем произвольную точку (xi ; yi ) . Масса mi каждой такой части приближенно равна γ (xi , yi ) × DDi , а масса m всей

n

пластины тогда приближенно равна m » åγ (xi , yi ) × DDi . Но

i=1

последняя сумма есть интегральная сумма для непрерывной функции γ (x, y) в области D и, в пределе при стремлении к нулю

максимального из диаметров множеств Di , i =1, n , получим точное

значение массы пластины, равное двойному интегралу от этой функции по области D, то есть

m = òòγ (x, y)dxdy .

(5)

D

Формула (5) отражает физический смысл двойного интеграла.

Если дано некоторое тело V с плотностью γ (x, y, z) , представляющей собой непрерывную функцию, то тройной интеграл

òòòγ (x, y, z) dxdy dz , взятый по объему, занимаемому этим телом,

V

представляет собой массу m данного тела. В этом заключается

физический смысл тройного интеграла.

95

Замечание 1. Формула для вычисления массы пространственного тела доказывается аналогично формуле для вычисления массы плоского множества.

Упражнение 1. Доказать формулу для вычисления массы пространственного тела.

Пример 6. Определить массу круглой пластины радиуса R, если плотность γ (x, y) в каждой точке пластины пропорциональна

квадрату расстояния от центра пластины.

	y			Решение. Выберем систему координат
				так, чтобы ее начало совместилось с центром
				пластины (рис.5). Функция плотности γ (x, y)
		x		в такой	системе будет определяться
				равенством	γ (x, y) = k (x2 + y2 ), где	k –
0	R
				коэффициент	пропорциональности.	По
				формуле (5) имеем m = òòk (x2 + y2 )dxdy , где
	Рис. 5				D
				D – круг x2 + y2 ≤ R2 .

Так как подынтегральная функция является четной по x и по y, а область интегрирования симметрична относительно осей координат, то достаточно вычислить массу четверти пластины, расположенной в первом квадранте и результат увеличить в четыре раза. Используя переход к полярным координатам, получим

	π	R	π
				R4		1
	m = 4ò2 dϕ òk ρ2ρ dρ =4k ò2				dϕ =		kπ R4	. □
				4		2
	0	0	0

50. Вычисление момента инерции пластины и момента инерции пространственного тела. Известно, что момент инерции Il

материальной точки M с массой m относительно некоторой оси l равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния от этой оси, а момент инерции I0 материальной точки M с массой m

относительно точки O равен произведению массы точки на квадрат расстояния между точками. Момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерций, составляющих эту систему масс.

Пусть область D плоскости Oxy представляет пластину, имеющую плотность γ (x, y) . Разбив область D на части Di , площади

которых равны Di , i =1,n , и выбрав в каждой из них некоторую

96

точку (xi ; yi ) ,	заменим данную	пластину	системой масс
mi = γ (xi , yi ) × DDi ,	сосредоточенных	в точках	(xi ; yi ) . Момент

инерции такой системы точечных масс относительно, например, оси Oy равен

n

åxi2γ (xi , yi ) × DDi .

i=1

Это выражение является приближенным значением момента инерции пластины и представляет интегральную сумму для

непрерывной функции x2γ (x, y) . Переходя к пределу при стремлении к нулю максимального из диаметров множеств Di , получим формулу для момента инерции I y пластины относительно оси Oy:

I y = òòx2γ (x, y)dxdy .

D

Аналогичным образом получаем, что момент инерции Ix

пластины относительно оси Ox равен Ix = òò y2γ (x, y) dxdy .

D

Приняв во внимание, что момент инерции материальной точки с массой m относительно начала координат равен m(x2 + y2 ) , получим, что момент инерции I0 пластины относительно начала координат

равен I0 = òò(x2 + y2 )γ (x, y) dxdy и I0 = Ix + I y .

D

Аналогично двумерному случаю, выводятся формулы для моментов инерции пространственного тела с объемной плотностью γ (x, y, z) относительно координатных осей:

Iz = òòò(x2 + y2 )γ (x, y, z)dxdy dz, I y = òòòV (x2 + z2 )γ (x, y, z)dxdy dz, Ix = òòòV (y2 + z2 )γ (x, y, z) dxdy dz,

V

формулы для момента инерции относительно начала координат:

I0 = òòò(x2 + y2 + z2 )γ (x, y, z)dxdy dz

V

и равенство I0 = 12 (Ix + I y + Iz ) .

97

Упражнение 2. Вывести формулы для вычисления моментов инерции пространственного тела с заданной плотностью.

Пример 7. Вычислить момент инерции

		треугольника с	вершинами в точках			O (0;0) ,
		A (1;0) , B (1;1)	(рис.6) относительно начала
		координат, если γ (x, y) = x2 .
		Решение. Обозначая через D
имеем		Рис. 6	заданный треугольник,
		I0 = òò(x2 + y2 )x2dxdy = ò1 dxòx (x4 + x2 y2 )dy =		2		. □
				9
		D	0 0
	60. Вычисление координат		центра тяжести пластины и

координат центра тяжести пространственного тела. Найдем координаты центра тяжести пластины, занимающей в плоскости Oxy некоторую область D . Пусть γ (x, y) – плотность этой пластины в

точке M (x; y) . Разбив область D на части Di , i = 1,n , с площадями Di , выберем в каждой из этих частей точку (xi ; yi ) . Тогда приближенно масса mi каждой из частей пластины будет равна γ (xi , yi ) Di . Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена в одной точке (xi ; yi ) , то для координат xc и yc центра тяжести такой

системы n материальных точек получаются выражения

		n				n
		åxiγ (xi , yi ) Di				å yiγ (xi , yi ) Di
	x =	i=1	,	y	=	i=1	,	(6)
		n				n
	c			c
		åγ (xi , yi ) Di				åγ (xi , yi ) Di
	которые	i=1				i=1	координат
		представляют	приближенные значения

центра тяжести пластины. Чтобы получить точные значения этих координат, необходимо в (6) перейти к пределу при λn → 0 , где через

λn обозначен максимальный из диаметров частей Di . При этом

стоящие в (6) интегральные суммы перейдут в соответствующие интегралы, и координаты центра тяжести пластины будут вычисляться по формулам

			òòxγ (x, y)dxdy				òò yγ (x, y)dxdy
	x	=	D	,	y	=	D	.	(7)
			òòγ (x, y)dxdy				òòγ (x, y)dxdy
	c				c
			D				D

98

Если пластина однородна, т.е. γ (x, y) = const , то формулы для определения координат центра масс упрощаются:

			òòxdxdy			òò y dxdy
x	=		D	,	y =	D		.
			òòdxdy
c					c	òòdxdy
			D			D
В ы р а ж е н и я		M y = òòxγ (x, y)dxdy ,					M x = òò yγ (x, y)dxdy
			D					D

называются статическими моментами пластины относительно осей

Oy	и	Ox	.
	Аналогично выводятся координаты xc , yc , zc центра тяжести

пространственного тела, имеющего плотность γ (x, y, z) = γ (P) :

	òòòxγ (M )dv			òòò yγ (M )dv					òòòzγ (M )dv
x =	V	,	y =	V	,	z		=	V	.
	òòòγ (M )dv			òòòγ (M )dv					òòòγ (M )dv
c			c				c
	V			V					V

Если γ (x, y, z) = const , то выражения для координат центра масс

принимают вид:
	òòòxdv			òòò y dv					òòòz dv
x =	V	,	y =	V	,	z		=	V	.
	òòòdv			òòòdv					òòòdv
c			c				c
	V			V					V

Упражнение 3. Доказать справедливость формул для вычисления координат центра тяжести пространственного тела с заданной плотностью.

Пример 8. Вычислить координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках O(0;0), A(1;0), B(1;1) , если γ (x, y) = x2 .

Решение. Находим сначала массу пластины:

		1	x	1	1
	m = òò x2 dxdy = òdxòx2dy = òx3dx =					.
					4
	D	0	0	0

Затем вычислим статические моменты относительно осей координат:

					1		x	1				1
	M y = òò x × x2 dxdy = òdxòx3dy = òx4dx =												,
												5
			D		0		0	0
						x
			y × x2 dxdy =	1			y × x2dy =	1	x	4				1
	M x =	òò		ò	dx	ò		ò			dx =				.
									2				10
		D		0		0		0

99

Теперь по формулам (7) находим

x =

M y

=

4

; y =

M x

=

2

. □

c

m

5

c

m

5

Пример 9.

Найти координаты

центра

тяжести полукруга

x2 + y2 £ R2 , y ³ 0 ,

плотность

точек

которого пропорциональна

квадрату расстояния их от начала координат, т.е. γ (x, y) = k(x2 + y2 ) . Решение. Так как фигура симметрична относительно оси Oy, то

xc = 0 .

yc .

Остается

найти

Вычислим

массу

пластины:

π

R

R

4

m = òòγ (x, y) dxdy = = k òdϕ ò ρ2

ρ d ρ =kπ

,

статический момент

D

0

0

4

Ox:

относительно

π

R

оси

2kR

5

M x = òò y ×γ (x, y) dxdy = k òdϕ ò ρ4 sinϕ d ρ =

. Следовательно,

5

D

0

0

y =

2kR5

kπ R4

8R

1

R . □

:

=

»

c

5

4

5π

2

Задания для самостоятельной работы

1.Вычислить:

	2	6							2	1		4			4
а)	òdxòxy(x - y)dy ;							б)	òdxò(x + 2y)dy ; в) òdxòxydy .
	0	0							0	0		0			0
2. Вычислить:
	2	x				xdy			1	y2		x
а)	òdx ò						dy ;	б)	òdx ò e y dy ;
					x	2 2
	0	x2				+ y			0	0
	1	2 y							π	1
в)	òdy ò				xydx ;			г)	ò2 d ρ ò				ρ4dϕ .
	0	y−1							0		cos1
3. Изменить порядок интегрирования в интегралах:
											1−x2
	1		y						1
а) òdy ò f (x, y)dx ;								б) ò dx ò f (x, y)dy ;
	0	y						−1		0

100

4. Вычислить òò(x2 + y2 )dxdy , если область D ограничена осью Ox

D

и прямыми y = x, x = 4 .

5. Вычислить òò(3x2 − 2xy + y)dxdy , если область D ограничена

D

линиями x = 0, x = y2 , y = 2 .

6. Вычислить òò y ln xdxdy , если область D ограничена линиями

D

xy =1, y = x, x = 2 .

7. Вычислить òòsin(x + y)dxdy , если область D ограничена линиями

D

x = 0, y = π2 , y = x .

8. Вычислить òò(2x + y)dxdy , если область D ограничена параболой

D

r	2rx−x2	2	2x	2	6−x
в) òdx ò		f (x, y)dy ; г) òdx ò f (x, y)dy ;		д) òdx ò f (x, y)dy .
0	x	1	x	0	2x

y2 = 2 + x и прямой x = 7 .

9.

Вычислить

òò(x2 + y)dxdy ,

если

область

D

ограничена

D

параболами y = x2 ,

y2 = x .

10.

Вычислить

òòòxyzdxdydz ,

если тело V

ограничено плоскостями

V

z = 0, x = a

(a > 0),

y = x,

z = y .

11.

Вычислить

òòòx3 y3zdxdydz ,

если

тело

V

ограничено

V

x = 2, y = x и

координатными

плоскостями,

плоскостями

гиперболическим параболоидом z = xy .

12.

Вычислить

òòò

dxdydz

,

если

V − область,

ограниченная

+ y + z +1)

3

V (x

плоскостями x = 0,

y = 0,

z = 0,

x + y + z =1.

101

13.	Вычислить	òòòxydxdydz , если	V -	область,	ограниченная
		V
	плоскостями x + y =1, z = 0 и гиперболическим				параболоидом
	z = xy .
14.	Вычислить	òòò ycos(z + x)dxdydz ,	если V	- тело,	ограниченное
		V

плоскостями y = 0, z = 0, x + z = π2 и цилиндром y = x .

15.Преобразовать к полярным координатам следующие двойные интегралы:

R

R2 −x2

2R

2Ry−y2

а) òdx ò

f (x, y)dy ;

б) ò dy

ò

f (x, y)dx ;

0

0

R

0

R

2

1+R2

2R

x

R

R2 −x2

x

в)

ò

dx ò

f (

)dy +

ò

dx ò

f (

)dy .

0

0

y

R

0

y

1+R2

16.С помощью перехода к полярным координатам вычислить следующие двойные интегралы:

			R		R2 −x2
	а) òdx ò								ln(1 = x2 + y2 )dy ,
			0	0
			2	2
б) òò		1- x		- y			dxdy , где область D определена неравенствами
		2		+ y		2
D		1+ x
x2 + y2 £1, x ³ 0, y ³ 0 ;
	в)		òò(6 - 2x - 3y)dxdy . где D - круг x2 + y2 £ R2 ,
			D
	г)		òò	R2 - x2 - y2 dxdy , где D - круг x2 + y2 £ R2 ,
			D

102

д)	òòarctg				y	dxdy ,		где		D – часть кольца x2 + y2 ³1, x2 + y2 £ 9,
	D				x
		x
	y ³				,		y £ x		,
								3
		3
е)	òò ydxdy ,						где		D	полукруг, определяемый неравенствами
	D

(x - 2)2 + y2 £ 4, y ³ 0 .

17.Вычислить следующие интегралы с помощью перехода к цилиндрическим или сферическим координатам:

1

1−x2

a

2

2x−x2

a

а) òdx ò dyòdz ;

б) òdx ò dyòz x2 + y2 dz ;

0 −

1−x2

0

0

0

0

R2 −x2 − y2

R

R2 −x2

(x2 + y2 )dz ;

в) ò dx

ò

dy

ò

−R

−

R2 −x2

0

г)

òòò(x2 + y2 )dxdydz ,

где V определяется неравенствами z ³ 0,

V

r2 £ x2 + y2 + z2 £ R2 ;

д)

òòò

dxdydz

, где V - цилиндр x2 + y2 £1, -1 £ z £1 .

V

x2 + y2 + (z - 2)2

18. Найти площади фигур, ограниченных линиями:

а) xy = 4, x + y − 5 = 0 ;

б) y2 = 4x + 4, y2 = -8x +16 ;

в)

y = sin x, y = cos x,

x = 0 .

19.С помощью двойного интеграла вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями:

а) координатными				плоскостями,			плоскостями x = 4, y = 4 и
параболоидом вращения z = x2 + y2 +1;
б) плоскостью	x	+	y	+	z	=1 (a > 0,	b > 0, c > 0) и координатными
	a		b
					c

плоскостями;

в) параболоидом вращения z = x2 + y2 и плоскостями z = 0, y =1, y = 2x, y = 6 − x ;

103