Tom_2

ГЛАВА 4

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Двойной интеграл

10. Площадь плоского множества. Плоской фигурой (плоским множеством) будем называть произвольное ограниченное множество точек плоскости. Примерами плоских множеств могут служить треугольники, параллелограммы, окружности и т.д.

Многоугольной фигурой на плоскости называют множество, состоящее из конечного числа ограниченных многоугольников, лежащих на этой плоскости. Понятие площади многоугольной фигуры известно из курса математики средней школы.

Перейдем к определению площади произвольной плоской фигуры F.

Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры P, вписанные в F, т.е. находящиеся целиком в F, и всевозможные многоугольные фигуры Q, описанные вокруг F , т.е. содержащие целиком F. Очевидно, что площадь любой вписанной фигуры не больше площади любой описанной фигуры.

Множество площадей μ(P) всех вписанных многоугольных фигур ограничено сверху (например, площадью описанной многоугольной фигуры Q). Множество площадей μ(Q) всех описанных многоугольных фигур ограничено снизу (например,

нулем). Поэтому существуют точная нижняя грань inf μ(Q) = S (F) и точная верхняя грань sup μ(P) = S*(F) .

Числа S (F) и S*(F) называют верхней и нижней площадью

фигуры F .

Плоская фигура F называется квадрируемой (имеющей площадь), если ее верхняя площадь S*(F) совпадает с нижней площадью S*(F) и это общее значение называется площадью фигуры

F : S (F) = S* (F) = S(F) .

Введенное понятие площади называют мерой Жордана плоского множества. Заметим, что произвольная многоугольная фигура является квадрируемой, и ее площадь в смысле данного определения

64

совпадает с площадью, вычисляемой по правилам, введенным в курсе математики средней школы.

Площадь плоской фигуры является неотрицательным числом и обладает следующими свойствами.

1) Аддитивность. Если F1 и F2 – две плоские квадрируемые

фигуры	без	общих		внутренних	точек, то	площадь		объединения
F1 F2 этих фигур равна сумме площадей слагаемых:
				S (F1 F2 ) = S (F1 ) + S (F2 ) .
Доказательство. Зададим произвольное число									ε > 0 .	Так
как множества F1 и F2 квадрируемы, то найдутся многоугольные
фигуры	P1, Q1, P2 , Q2			такие, что P1 F1 Q1,			P2 F2 Q2			и
S(F1) −ε < S(P1) < S(Q1) < S(F1) + ε, S(F2 ) − ε < S(P2 ) < S(Q2 ) < S(F2 ) + ε.
Построим многоугольные фигуры P = P1 P2 ,						Q = Q1 Q2 . Очевидно,
для них будет выполнено
	P (F1 F2 ) Q, S(Q) ≤ S(Q1) + S(Q2 ), S(P) = S(P1) + S(P2 ) .
Последнее равенство справедливо потому, что фигуры P1 и										P2
не могут иметь общих внутренних точек. Далее получаем
(S(F1) − ε ) + (S(F2 ) − ε ) < S(P1) + S(P2 ) = S(P) ≤ S*(F1 F2 ) ≤
≤ S (F F ) ≤ S(Q) ≤ S(Q ) + S(Q ) < (S(F ) + ε ) +								(S(F ) + ε ),
		1	2	1	2	1			2
откуда,			в	силу	произвольности		ε ,		следует

S (F1 F2 ) = S (F1 ) + S (F2 ) . □

2) Инвариантность. Если квадрируемая фигура F1 получается из фигуры F2 с помощью операций сдвига и (или) вращения, то их площади совпадают: S (F1 ) = S (F2 ) (операции сдвига и вращения в

плоскости известны из курса математики средней школы). Доказательство. Справедливость данного свойства следует из

того, что при выполнении операций сдвига и вращения многоугольная фигура остается многоугольной фигурой, а соотношения вложения множеств сохраняются. □

3) Монотонность. Если квадрируемая фигура F1 содержится в квадрируемой фигуре F2 , то S (F1 ) ≤ S (F2 ) .

Доказательство. В силу включения F1 F2 множество всех

вписанных	в F1 многоугольных фигур является подмножеством
множества	вписанных в	F2	многоугольных фигур. Поэтому
S*(F1) ≤ S*(F2 ) . Так как F1		и F2	имеют площади, то S* (F1) = S(F1),

S*(F2 ) = S(F2 ) и, следовательно, S (F1 ) ≤ S (F2 ) . □

65

20. Понятие двойного интеграла. Напомним, что область в n -

мерном пространстве n есть открытое связное множество. Область D называется односвязной, если любой замкнутый путь в D можно непрерывно деформировать в точку, оставаясь все время в области D . Пусть на плоскости Oxy задана открытая или замкнутая область D,

имеющая площадь, и в этой области задана функция z = f (x, y) . Разобьем область D произвольным образом на n частей (площадок)

Di ,	i =	1,n	,	без	общи х вн ут ренн их то чек с пл ощадя м и
S1,	S2 ,K,			Sn .	В каждой из Di возьмем произвольную точку

Pi (ξi ;ηi ) и вы ч и с л и м в э т о й т о ч к е з н а ч е н и е ф у н к ц и и

f (Pi ) = f (ξi ,ηi ) .	С о с т а в и м и н т е г р а л ь н у ю с у м м у
			n
Sn = f (P1) S1 + f (P2 ) S2 +K + f (Pn ) Sn = å f (Pi ) Si .
	n и	выбирая точки Pi	i=1	Di ,
Увеличивая			в соответствующих
получим последовательность интегральных сумм
		S1, S2 ,K, Sn ,K.		(1)
Обозначим	через	λn максимальный	диаметр площадок	Di

(диаметром множества называется максимальное расстояние между точками, принадлежащими этому множеству).

Двойным интегралом	от функции	f (x, y)	по области D
называется предел ее интегральных сумм		при	λn →0 ,	который
обозначается символами
n		òò f (x, y) dxdy .
lim å f (ξk ,ηk ) Sk = òò f (x, y)ds =				(2)
λn →0 k=1	D	D

В формуле (2) под символом ds понимается элемент площади, под символом dx ( dy ) − элемент расстояния между точками прямой,

параллельной оси Ох (оси Оу). Тогда ds = dxdy .

Если предел в (2) существует и не зависит от способа разбиения области D на части, то функция f называется интегрируемой по

области D , D − областью интегрирования. Заметим, что предел в

(2) вычисляется именно при λn → 0 , а не при n → ∞. Число n можно сколь угодно увеличивать, оставляя при этом λn больше заданной положительной величины. Уменьшение же λn приведет к увеличению

числа n.

30. Существование двойного интеграла. Введем понятия верхней и нижней сумм. Пусть функция f ограничена на множестве

66

D , и множество D разбито на части Di , i =1,n , с площадями

S1, S2 ,K, Sn . Обозначим через mi и Mi , i =1,n , соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани данной функции на

	n	′′	n
множестве	′		= åMi	Si . Эти
	Di и составим суммы Sn = åmi	Si , Sn
	i=1		i=1

суммы называются, соответственно, нижней и верхней суммами функции f для данного разбиения множества D . Из определения

с	л	е	д	у	е	т	,	ч	т	о
					′	′′				(3)
					Sn	≤ Sn
					1	2
	для разбиений множества D на n1 и n2 частей, где n1 , n2 –
любые натуральные числа.
	Покажем, что условие
					′′	′				(4)
					lim (Sn	− Sn ) = 0
					λn →0

является достаточным для интегрируемости ограниченной функции f по квадрируемому множеству D . Для этого рассмотрим

′

′′

} = I

, которые, в силу ограниченности функции

sup {Sn} = I* ,

inf {Sn

f , существуют, конечны и удовлетворяют условию I* ≤ I .

Тогда,

учитывая (3), получаем

S′ ≤ I

≤ I ≤ S′′ ,

*

(5)

0 ≤ I − I

n

n

а также

*

≤ S′′ − S′ .

Отсюда, в силу (4),

следует,

что

I − I

= 0 . Пусть I

n

n

*

= I

*

= I . Из (5) имеем S′

≤ I ≤ S′′ . Произвольная

S

n

n

S′ ≤ S

≤ S′′ ,

интегральная сумма

n

тоже удовлетворяет условиям

n

n

n

поэтому

S

n

− I

≤ S′′

− S′

. Отсюда,

в силу условия (4),

следует,

что

n

n

lim

Sn − I

= 0 . Это означает, что предел lim

Sn интегральных сумм

λn →0

λn →0

существует и не зависит от способа разбиения области на части и от выбора точек на них.

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Если функция f непрерывна в замкнутой

квадрируемой области D, то она интегрируема по этой области.

Доказательство. Так как область D замкнута, то непрерывная на D функция f равномерно непрерывна на D , т.е. для любого

ε > 0 существует δ > 0 такое, что, если P1, P2 D и P2 − P1 < δ , то

f (P2 ) − f (P1) < ε .

Рассмотрим произвольное разбиение области D на площадки Di , i =1,n , с условием λn < δ . Тогда

67

	Mi − mi =	sup	[ f (P2 ) − f (P1)] ≤ ε . Следовательно,
	P1,P2 Di		n	n
	′′	′
			= å(Mi − mi ) Si ≤ ε å Si = ε S(D) =η .
	Sn	− Sn
			i=1	i=1
	Так как η > 0 может быть сколь угодно малым, то, по условию
	(4), получаем, что функция f			интегрируема на D . □

40. Свойства двойного интеграла. Обсуждая свойства двойного интеграла, считаем, что входящие в формулы интегралы существуют.

1) Интеграл от суммы функций f1 и f2 по области D равен

сумме интегралов:

òò[ f1(x, y) + f2 (x, y)]dxdy =òò f1(x, y)dxdy +òò f2 (x, y)dxdy .

D D D

2) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

òòcf (x, y)dxdy =còò f (x, y)dxdy ,

D D

где c = const.

3) Аддитивность интеграла по множествам. Если функция f

интегрируема на D , область D разбивается на части D1 и D2 , не имеющие общих внутренних точек, то интеграл по области D равен сумме интегралов по областям D1 и D2 :

òò f (x, y)dxdy =òò f (x, y) dxdy +òò f (x, y)dxdy .

D	D1	D2
4) Интегрирование неравенства. Если в области D
выполняется неравенство	f (x, y) ≤ g(x, y) , то

òò f (x, y)dxdy ≤òòg(x, y)dxdy .

DD

5)Модуль двойного интеграла не превосходит двойного интеграла от модуля подынтегральной функции:

òòf (x, y) dxdy ≤ òò f (x, y) dxdy .

D

D

Доказательства этих свойств вытекают из определения двойного интеграла и являются аналогичными доказательствам соответствующих свойств определенного интеграла (см. Т.1, §§ 12.2, 12.3).

Упражнение 1. Доказать свойства 1) − 5) двойного интеграла.

68

Рассмотрим еще некоторые свойства двойного интеграла.

6) Если подынтегральная функция f (x, y) ≡1, то двойной

интеграл от нее равен площади области интегрирования

òò1dxdy = S(D) .

n

D

В самом деле, lim åDSi = lim

S(D) = S(D) .

λn →0 i=1

λn →0

7)

Теорема

об

оценке

двойного интеграла. Если функция

f (x, y)

интегрируема на области D и удовлетворяет неравенствам

m ≤ f (x, y) ≤ M

в этой области , то справедливы неравенства

S × m £ òò f (x, y) dxdy £ S × M ,

(6)

D

где S – площадь области D.

Доказательство. По условию m ≤ f (x, y) ≤ M . Значит, согласно

свойству

4),

имеем

òòmdxdy £òò f (x, y)dxdy £ òòM dxdy .

По

D

D

D

свойствам

2)

и

6)

выполняются

равенства

òòmdxdy = m × S

и

D

òòM dxdy = M × S . Отсюда следуют неравенства (6). □

D

8)

Теорема

о

среднем

значении.

Если

функция f (x, y)

непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то справедливо

равенство

òò f (x, y)dxdy = f (C) S ,

(7)

D

где C − некоторая точка из D , S – площадь D.

Доказательство. Так как функция

f (x, y) непрерывна

в

замкнутой

ограниченной

области,

то справедливы неравенства

m ≤ f (x, y) ≤ M ,

где m − наименьшее, а M

− наибольшее значения

функции

f (x, y)

в области D.

Следовательно, согласно теореме об

оценке двойного интеграла, имеем mS £ òò f (x, y) dxdy £ MS .

				D
			Разделим	это двойное неравенство на S > 0 ,			получим
	m £	1	òò f (x, y) dxdy £ M , т.е. выражение		1	òò f (x, y)dxdy	принимает
		S			S
			D			D

значение из отрезка значений функции f (x, y) . Так как f (x, y) непрерывна, то в области D найдется такая точка C , что

69

	f (C) =	1	òò f (x, y)dxdy	или òò f (x, y)dxdy = f (C)S . При S = 0
		S
			D	D

равенство (7) непосредственно следует из определения интеграла. □

§ 2. Вычисление двойных интегралов в декартовой

системе координат

10. Случай прямоугольника. Рассмотрим сначала случай, когда

область интегрирования представляет собой прямоугольник.

Теорема

1.

Если

для

функции f (x, y) ,

определенной на

прямоугольнике R = {(x; y)

a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d},

существует

двойной

интеграл

òò f (x, y)dxdy

и

для

каждого

x [a;

b]

существует

R

d

интеграл I (x) = ò f (x, y)dy , то существует повторный интеграл

c

b

b

d

òI (x)dx = òdx ò f (x, y) dy , и справедливо равенство

a

a

c

b

d

òò f (x, y)dxdy = òdxò f (x, y)dy.

(1)

R

a

c

Доказательство. Разобьем прямоугольник R прямыми,

проходящими

через

точки

a = x0 < x1 < ... < xn = b ,

c = y0 < y1 < ... < yp = d

параллельно

осям

Ox

и

Oy,

на n × p

элементарных

прямоугольников.

Положим

xk = xk − xk−1 ,

k =

,

1,n

yl = yl − yl−1 ,

l =

. Исходя из интегрируемости функции f (x, y)

1, p

на R , для каждого из элементарных прямоугольников,

при каждом

y [yl−1; yl ] , можно записать

mkl ≤ f (ξk , y) ≤ Mkl ,

(2)

где x

≤ ξ

≤ x , m =

inf

]

f (x, y),

M

=

sup

]

f (x, y) .

k−1

k

k

kl

x [xk −1;xk

kl

x [x

;x

y [yl−1;yl ]

k

−1

k

]

y [yl−1;yl

70

Проинтегрируем неравенство (2) по y в пределах от yl−1 до yl . Получим

yl

mkl Dyl

£ ò

f (ξk , y) dy £ Mkl Dyl .

(3)

yl −1

Суммируя (3) по всем l, имеем

p

d

p

åmkl Dyl £ ò f (ξk , y)dy £

åMkl Dyl .

(4)

l=1

c

l=1

Умножим (4) на Dxk

и просуммируем по всем k. Тогда получим

n p

k

l

n

éd

k

ù

k

n p

kl

k

l

åå kl

åê

ò

f (ξ

ú

åå

M

. (5)

m

Dx

Dy

£

ê

, y) dyú ×Dx £

Dx

Dy

k=1 l=1

k=1ëc

û

k=1 l=1

Диаметром

Dkl

каждого частичного прямоугольника является

его диагональ. Если наибольший диаметр Dkl ® 0 , то Dxk ® 0 . Тогда обрамляющие суммы в (5), представляющие нижнюю и верхнюю интегральные суммы, стремятся к двойному интегралу òò f (x, y)dxdy .

R

Следовательно, существует предел и среднего члена в (5), равный

b d

этому же интегралу и равный òdxò f (x, y) dy . В результате доказано

a c

существование повторного интеграла и равенство (1). □

Замечание 1. Если в теореме 1 переменные x и y поменять местами, то будет утверждаться существование повторного интеграла

d

d

b

òI (y)dy =òdyò f (x, y)dx и справедливость равенства

c

c

a

d b

òò f (x, y)dxdy = òdyò f (x, y) dx.

R

c a

20. Случай произвольной области. Теперь рассмотрим случай,

когда область интегрирования является произвольной.

Область D называется правильной или стандартной в направлении оси Ox (оси Oy), если каждая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D параллельно оси Ox (оси Oy), пересекает границу области D только в двух точках.

Теорема 2. Пусть D – замкнутая, ограниченная, правильная в направлении Оу область. Пусть существуют двойной интеграл

71

òò f (x, y)dxdy	b	y2	(x)
	и повторный интеграл òdx	ò f (x, y)dy ( a и b –
D	a	y1	(x)

наименьшая и наибольшая абсциссы точек области D, y1(x), y2 (x)										−
ординаты точек		пересечения		границы			области	D	с прямой,
параллельной оси Оy, y1(x) £ y2 (x) ).Тогда справедливо равенство
								òò f (x, y)dxdy =
								D
			b		y2 (x)
			òdx		ò	f (x, y)dy .			(6)
			a		y1(x)
					Доказательство.				Обозначим
			через R прямоугольник со сторонами,
			параллельными осям						координат
			(рис. 1),			содержащий			область	D,
			и определим функцию
							ì f (x, y),если (x; y) Î D,
					F(x, y) = í			если (x; y) Î R \ D.
							î0,
Функция		F(x, y)	удовлетворяет				условиям		теоремы 1.

Следовательно, для нее справедлива формула (1), которая с учетом определения функции

Рис. 1	F(x, y) , переходит в формулу (6). □
В формуле (6)	функция f (x, y) интегрируется сначала по

переменной y при постоянном х, а затем полученный результат интегрируется по х. Тем самым, вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных

интегралов.
	Аналогично доказывается, что для области D, правильной в
н а п р а в л е н и и о с и О х ,		с п р а в е д л и в о р а в е н с т в о
		d	x2 ( y)
	òò f (x, y)dxdy = òdy		ò f (x, y)dx ,	(7)
где c	D	c	x1( y)
	и d − наименьшая и наибольшая ординаты точек области D ,
x1( y)	и x2 ( y) , x1( y) £ x2 (y) , − абсциссы точек пересечения области
D прямой, параллельной оси Ох.

72

Пример 1.

Вычислить

òò(x + 2y) dxdy ,

где

область

D

D

ограничена линиями y =

x

, y = 0, x + y - 2 = 0 .

Решение. На рис.2 заштрихована область интегрирования D.

Она является правильной в направлении обеих координатных осей.

Для вычисления двойного интеграла применим формулу (7). Получим

1

2− y

1

æ x2

ö

2− y

òò

ò

ò

ò

ç

2

÷

(x + 2y)dxdy

=

dy

(x

+ 2y)dx

=

dyç

+ 2xy ÷

=

D

0

y2

0

è

ø

y2

1 æ

(2 - y)2

y4

ö

= òç

+ 2(2 - y)y -

-

2y3 ÷dy =

2

2

ç

÷

0 è

ø

æ

(y -

2)

3

+ 2y2

2

y3

1

y5

1

y4

ö

1

= ç

-

-

-

÷

=

ç

6

3

10

2

÷

è

ø

0

Для вычисления данного интеграла можно воспользоваться

Рис. 2 формулой (6), но для этого область D следует разбить на две области D1 и D2 (рис. 2). Имеем

òò(x + 2y) dxdy = òò(x + 2y)dxdy + òò(x + 2y) dxdy =

D													D1									D2
	1													2	2−x
						x
= òdx ò (x + 2y)dy + òdx ò (x + 2y) dy =
	0		0											1		0
	1													2							2−x
												x
= òdx(xy + y2 )													+ òdx(xy + y2 )										=
										0											0
	0													1
	1		3						2				(2x - x2 + (2 - x)2 )dx =
= ò(x				2	+ x)dx + ò
	0								1
	æ	2	5					1	ö			1		æ		1				(x - 2)3				ö		2
=	ç		x2 +						x2 ÷				+	ç x2	-			x3	+					÷		=1,9. □
	ç	5						2	÷					ç		3						3		÷
	è								ø			0		è										ø		1

73