Tom_2

г) цилиндрами y =

x

,

y = 2

x

и плоскостями z = 0,

x + y = 6 ;

д) цилиндром 2y2 = x и плоскостями

x

+

y

+

z

z =1,

z = 0 .

4

2

4

20. Используя

дойное

интегрирование,

вычислить

площади

следующих фигур:

а) фигуры, ограниченной прямыми y = x,

y = 5x, x =1;

б) фигуры, ограниченной эллипсом

x2

+

y2

=1;

a2

b2

в) фигуры, ограниченной параболами

y =

x

, y = 2

x

и прямой

x = 4 ;

г) фигуры,

содержащейся

между

параболами

3y2 = 25x и

5x2 = 9y ;

д) фигуры, лежащей в первом квадранте и заключающейся между параболой y2 = x и окружностью y2 = 2x - x2 .

21.С помощью тройного интеграла вычислить объемы тел, ограниченных данными поверхностями:

а) цилиндрами z = 4 - y2 , z = y2 + 2 и плоскостями x = −1, x = 2 ;

	б) параболоидами	z = x2 + y2 , z = x2 + 2y2 и плоскостями						y = x,
	y = 2x, x =1;
	в) поверхностями y = x2 ,		x = y2 ,	z =12 + y - x2 ;
	г) координатной	плоскостью		Oxy ,	цилиндром		x2 + y2 =1 и
	плоскостью x + y + z = 3.
22.	Вычислить площадь поверхности				сферы	x2 + y2 + z2 =100 ,
	заключенной между плоскостями x = −4, y = 3 .
23.	Вычислить площадь той части плоскости					6x + 3y + 2z =12 ,
	которая заключена в первом октанте.
24.	Найти площадь	части	конуса z2 = x2 + y2 ,				лежащую	над

плоскостью Oxy и отсеченную плоскостью z =		æ x		ö
	2	ç		+1÷ .
		è 2		ø

25. Найти I0 пластины, ограниченной прямыми x =1, y = 0, y = 2x .

104

26.Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной верхней половиной эллипса, опирающейся на большую ось.

27.Найти координаты центра тяжести однородного тела,

ограниченного цилиндрами y = x, y = 2x и плоскостями z = 0, x = z = 6 .

28.Найти массу квадратной пластинки со стороной 2a , если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей и на углах квадрата равна единице.

29.Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны r и R (R > r) . Зная, что

плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность на окружности внутреннего круга равна единице.

105

ГЛАВА 5

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ

§ 1. Криволинейный интеграл первого рода

10. Определение криволинейного интеграла первого рода.

Пусть на плоскости R2 , где определена прямоугольная система координат Oxy, задана спрямляемая кривая AB = L , не имеющая точек самопересечения и участков самоналегания. Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями

x = ϕ (t), y =ψ (t ), a ≤ t ≤ b ,	(1)
и пусть на кривой AB определена непрерывная	функция
f (x, y) .

Разобьем отрезок a ≤ t ≤ b на n частей точками a = t0 < t1 < t2 <K < tn = b . В силу задания (1), кривая AB будет разбита

на

n частей

точками Mk (xk ; yk ),k =

(рис. 1), где

xk = ϕ (tk ),

0,n

yk =ψ (tk ) . На каждой дуге

Mk−1Mk

выберем произвольную точку

Nk

и составим сумму

n

å f (Nk )

lk ,

(2)

k=1

где

через

lk

обозначена

y

B

M n−1

длина

дуги

−1Mk . Если предел

Mk

M2

интегральной

суммы

(2)

при

N2

стремлении к нулю

l(n) = max

lk

M1

1≤k≤n

A

M0

существует и не зависит от способа

0

x

разбиения отрезка a ≤ t ≤ b на части,

то

этот

предел

называется

Рис. 1

криволинейным интегралом первого

рода от функции f (x, y)

по кривой

AB и обозначается

n

= ò f (N )dl = ò f (x, y)dl .

lim

å f (Nk )

lk

(3)

Предел

l(n)→0 k=1

AB

L

l(n) → 0 , а не

при

в

(3) вычисляется именно при

n → ∞ . При n → ∞ количество точек на кривой можно увеличить так,

106

что l(n) к нулю стремиться не будет. Уменьшение же l(n)

приведет к увеличению числа n.

Для пространственной кривой AB криволинейный интеграл первого рода ò f (x, y, z)dl вводится аналогично.

AB

20. Свойства криволинейного интеграла первого рода.

Формулируя свойства криволинейного интеграла первого рода, считаем, что входящие в формулы интегралы существуют.

1) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла, то есть

òCf (x, y)dl = Cò f (x, y)dl , где C = const .

L L

2) Криволинейный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от слагаемых, то есть

ò( f1 (x, y) + f2 (x, y))dl = ò f1 (x, y)dl + ò f2 (x, y)dl .

L L L

3) Если кривая L разбита на конечное число частей Lk , то криволинейный интеграл по кривой L равен сумме интегралов по частям Lk :

ò f (x, y)dl = ò f (x, y)dl + ò f (x, y)dl +K + ò f (x, y)dl .

L

L1

L2

Lk

4) Если существует криволинейный интеграл по кривой от некоторой функции, то существует и криволинейный интеграл по этой кривой от модуля данной функции, причем модуль интеграла от функции не превосходит интеграла от модуля данной функции:

ò f (x, y)dl ≤ ò f (x, y) dl .

LL

5)Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления пути интегрирования.

Свойства 1) − 5) доказываются на основании определения криволинейного интеграла первого рода.

Упражнение 1. Доказать свойства криволинейного интеграла

первого рода.

30. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями (1), где ϕ(t)

иψ (t) – непрерывны и имеют непрерывные производные ϕ′(t),ψ ′(t ),

не обращающиеся в нуль одновременно, а f (x, y) – функция,

107

непрерывная на всей этой кривой. При этих условиях справедлива формула

	b
ò	f (x, y)dl = ò f (ϕ (t),ψ (t)) (ϕ′(t ))2 + (ψ ′(t))2 dt .			(4)
AB	a

Отметим, что определенный интеграл, стоящий в правой части равенства (4), существует, так как подынтегральная функция

непрерывна на [a; b] .

Докажем равенство (4). Для этого рассмотрим интеграл, стоящий в левой части (4). Кривую АВ можно задать параметрически с помощью формул x = x(l), y = y(l), 0 ≤ l ≤ K , где l − длина дуги от

точки А до текущей точки кривой АВ, K − длина всей кривой АВ. Тогда функция f (x, y) становится сложной функцией параметра l .

Обозначим через	l , l [l	k−1	; l	k	] , значение параметра	l ,
	k k

соответствующее точке Nk , Nk [Mk−1; Mk ] , и представим сумму (2) в виде

		n
		å f (x(lk* ), y(lk* )) lk ,				(5)
		k=1
где	lk = lk − lk−1 . Сумма (5) является интегральной суммой для
определенного интеграла от функции			f (x(l), y(l))	на отрезке [0; K ] ,
поэтому получаем равенство
		K
	ò	f (x, y)dl = ò f (x(l), y(l))dl .				(6)
	AB	0
Если кривая АВ задается формулами (1), то для произвольной
точки M ,	лежащей	на кривой АВ,	длину l	дуги		можно
					AM

рассматривать как функцию параметра t . Тогда, осуществляя в

правой							части				(6)
замену переменной						l на	переменную t , с		учетом		формулы
	′	2	′	2		для дифференциала дуги, получаем равенство
dl = (ϕ (t))			+(ψ (t)) dt
(4).	Если гладкая кривая АВ задана уравнением								y = ϕ (x), c ≤ x ≤ d,
то формула (4) принимает вид
						d
			ò	f (x, y)dl = ò				′	2	dx .	(7)
							f (x,ϕ (x)) 1+ (ϕ (x))
			AB			c
	Для криволинейного интеграла первого рода, взятого по
пространственной кривой АВ, определяемой уравнениями											x = ϕ(t) ,
y =ψ (t) ,		z = χ(t), a ≤ t ≤ b , справедлива формула

108

	b
ò f (x, y, z)dl = ò f (ϕ (t),ψ (t), χ(t)) (ϕ¢(t))2 + (ψ ¢(t))2 + (χ¢(t))2 dt
AB	a
. (8)	2. Доказать формулу (8) для вычисления
Упражнение

криволинейного интеграла первого рода по пространственной кривой. Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл ò(x + y)dl , где

L

L – четверть окружности x2 + y2 = R2 , x ³ 0, y ³ 0 .

Решение. Окружность определяется параметрическими

уравнениями	x = R cost , y = Rsin t . Так как кривая L расположена в
первом квадранте, то 0 £ t £ π . По формуле (4) получаем
	2
	π
ò(x + y)dl = ò2 (R cost + Rsin t)
		R2 sin2 t + R2 cos2 tdt =
L	0
	π
	= R2 ò2 (cost + sin t )dt = 2R2 . □
	0
Пример 2. Вычислить интеграл ò		x2 + y2 dl , где L – отрезок,
	L

	соединяющий начало координат и точку (4; 3).																							3
	Решение. Отрезок						L определяется соотношениями																y =		x ,
																								4
		3
	0 ≤ x ≤ 4 .	Тогда y¢ =				.		Подставляя						полученные							выражения в
					4
	формулу (7), получаем
				4																4
									9					9			5		5			25
	ò		x2 + y2 dl = ò					x2 +		x2 1+					dx =			×		òxdx =			. □
													16				4		4
	L	0					16													0	2

§ 2. Криволинейный интеграл второго рода

10. Определение криволинейного интеграла второго рода.

Пусть в пространстве R2 задана гладкая незамкнутая кривая L = AB с началом в точке А и концом в точке В. Кривую с заданным порядком

109

			ее концов называют ориентированной. И
			пусть в каждой точке заданной кривой
			определены					непрерывные			функции
			P(x, y), Q(x, y) .
				Точками					A = A0 , A1,..., An = B
			разобьем кривую AB на n частичных дуг
					(рис.1).				Обозначим через
			Aj−1Aj
			(ξ j ;η j ),		j =			, координаты			точек Aj ,
	Рис.	1				0,n
через Dl j	− длину		дуги				и		пусть	Dxj = ξ j -ξ j−1 ,
				Aj−1Aj ,
Dy j =η j -η j−1 . Выберем на каждой из дуг точку M j										= M j (xj ; y j ) и
вычислим	значения	P(xj , y j ), Q(x j , y j ) . Составим								интегральные
суммы			n
			S1 = åP(xj , y j )Dxj ,								(1)
			j=1
			n
			S2 = åQ(xj , y j )Dy j .								(2)
			j=1
Если	предел	суммы		S1 (S2 )			при		Dl(n) = max Dl j ® 0
										1≤ j≤n

существует и не зависит от способа разбиения кривой, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода по координате х

(по координате у) и обозначается

ò P(x, y)dx	æ	ò	Q(x, y)dy	ö	(3)
	ç			÷ .
AB	è AB			ø

Сумму	ò P(x, y)dx + ò Q(x, y)dy		называют	общим
	AB	AB
криволинейным интегралом второго рода и обозначают через
		ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy .		(4)
		AB
Для пространственной кривой АВ аналогично вводятся три
криволинейных интеграла второго рода
	ò P(x, y, z)dx, ò Q(x, y, z)dy, ò R(x, y, z)dz
	AB	AB	AB
и общий криволинейный интеграл второго рода

ò P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz .

AB

110

20. Вычисление и свойства криволинейного интеграла второго рода. Вычисление криволинейного интеграла второго рода аналогично вычислению криволинейного интеграла первого рода и сводится к вычислению определенного интеграла.

Пусть гладкая кривая AB задана параметрически x = x(t) ,

y = y(t) , α ≤ t ≤ β , причем точке

A

соответствует значение

t = α , а

точке B − значение t = β , и производные x′(t), y′(t)

не обращаются в

нуль одновременно.

Пусть функции

P(x, y),

Q(x, y)

непрерывны на

кривой AB.

t . Т.к.

Преобразуем интегральную сумму (1) к переменной

Dx j

= ξ j

-ξ j−1 = x(t j ) - x(t j−1) ,

то,

по формуле

Лагранжа,

имеем

Dxj

= ξ j

¢

)Dt j , где

é

ù

Dt j = t j

- t j−1 . Выберем

-ξ j−1 = x (t j

t j Î ët j−1;t j û,

точку (x j ; y j )

так,

чтобы xj = x(t j ), y j = y(t j ) .

Тогда

сумма (1)

n

принимает

вид

åP(x(t j ), y(t j ))x¢(t j )Dt j

и

представляет

собой

j=1

интегральную сумму

непрерывной

функции

одной

переменной

P(x(t), y(t)) x¢(t)

на отрезке [α; β ] . Поэтому

ò

β

¢

(5)

P(x, y)dx = ò P(x(t), y(t)) x (t)dt .

AB

α

Аналогично преобразовывая сумму (2), получаем

β

¢

(6)

ò Q(x, y)dy = òQ(x(t), y(t)) y (t)dt .

AB

α

Складывая почленно равенства (5) и (6), получаем

β

ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy = òëéP(x(t), y(t))x¢(t) + Q(x(t), y(t)) y¢(t)ûùdt

. (7)

AB

α

кривая AB

y = ϕ (x), a £ x £ b , где

Если

задана

уравнением

ϕ(x) − непрерывно дифференцируемая функция, то формулы (5) − (7) принимают вид

	b
ò P(x, y)dx = òP(x,ϕ(x))dx ,		(8)
AB	a
ò	b
	¢
	Q(x, y)dy = òQ(x,ϕ(x))ϕ (x)dx ,
AB	a

111

b

é

¢

ù

ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy = òëP(x,ϕ (x))+ Q

(x,ϕ (x))ϕ (x)ûdx .

AB

a

Для криволинейного интеграла второго рода, взятого по

пространственной кривой АВ, определяемой параметрическими

уравнениями

x = ϕ(t), y =ψ (t), z = χ(t),

a ≤ t ≤ b ,

справедливы

формулы

b

ò P(x, y, z)dx = òP(ϕ(t),ψ (t), χ(t))ϕ

¢

(t)dt ,

AB

a

b

ò

Q(x, y, z)dy = òQ(ϕ(t),ψ (t), χ(t))ψ

¢

(9)

(t)dt ,

AB

a

b

ò R(x, y, z)dz = òR(ϕ(t),ψ (t), χ(t))χ

¢

(t)dt .

AB

a

Упражнение 1. Вывести формулы (9) для вычисления

криволинейных интегралов второго рода по пространственной кривой,

заданной параметрически.

Пример 1. Вычислить ò xdy , где L = AB – правая половина

L

эллипса

x2

+

y2

=1, заключенная между точками A(0;-b)

и B(0;b) .

a2

b2

x = acost ,

Решение. Параметрические уравнения эллипса есть

y = bsin t . Применяя формулу (6), получаем

π

π

π

2

2 cos2t +1

ésin2t

1

ù

abπ

2

ò xdy = ò

acost ×bcostdt = ab ò

dt

= abê

+

tú

=

2

4

2

π

2

AB

−

π

−

π

ë

û

−

2

2

2

. □

Пример 2. Вычислить ò(x2 + y)dx , где L – участок кубической

L

параболы y = x3 , заключенный между точками A(0;0) и B(2;8) .

Решение. Применяя формулу (8), получаем

2

æ

1

1

ö

2

2

ò(x2 + y)dx = ò(x2

+ x3 )dx = ç

x3

+

x4

÷

= 6

. □

3

4

3

L

0

è

ø

0

Заметим, что в отличие от криволинейного интеграла первого рода, криволинейный интеграл второго рода зависит от того, в каком

112

направлении (от А к В или от В к А) «пробегается» кривая АВ, и меняет знак при изменении направления обхода кривой:

Рис. 2

ò P(x, y)dx = − ò P(x, y)dx, ò Q(x, y)dy = − ò Q(x, y)dy.

AB	BA	AB	BA
Действительно, при изменении направления обхода кривой,
знаки выражений	xj = ξ j −ξ j−1 и	y j =η j −η j−1	в суммах (1), (2) и,

следовательно, знаки самих сумм и их пределов изменятся на противоположные. Таким образом, при вычислении криволинейных интегралов второго рода следует учитывать направление интегрирования. Из определения криволинейного интеграла второго рода устанавливаются еще четыре свойства, которые аналогичны свойствам 1) − 4) криволинейного интеграла первого рода.

Упражнение 2. Сформулировать и доказать свойства криволинейного интеграла второго рода.

Криволинейный интеграл второго рода рассматривают и по замкнутой кривой L = AB , т.е. когда точка А совпадает с точкой В. В этом случае за положительное принимают то направление обхода, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление называют отрицательным. На рис.2 положительное направление обхода

показано стрелками. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L , пробегаемому в положительном направлении, часто обозначают

символом ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

L

113