12.8 Aufgaben

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12.8 Aufgaben

Verständnisaufgaben

Aufgabe 12.1

Bestimmen Sie Lösungen folgender gewöhnlicher Di erenzialgleichungen durch Raten:

a) y′	= −	1	b) x¨ = −2 x	c) f′′ = 7 x − 3
		2 y

Aufgabe 12.2

Skizzieren Sie das Richtungsfeld der gewöhnlichen Di erenzialgleichungen

		¿
y	x		2 C		1
					y x
′	( ) =	Á		+		)	‘
		ÀÁ Œ			(

für C = 0, C = 1 und C = −1 und skizzieren Sie den ungefähren Verlauf der Lösungskurven.

Aufgabe 12.3

Wie lauten die Di erenzialgleichungen zu folgenden Kurvenscharen? Skizzieren Sie jeweils den Verlauf der Kurvenschar und des entsprechenden Richtungsfeldes.

a) y(x) = (x − C)2 b) y(x) = C(1 + cos x) c) y(x) = ln (C(x − 1))

Aufgabe 12.4

Bestimmen Sie die Orthogonaltrajektorien der folgenden Kurvenscharen: a) x + 2 y = C b) x2 + 2 y2 = C2 c) y = C e−2 x

Aufgabe 12.5

Wie müssen die Konstanten a0 und a1 in der Di erenzialgleichung der Form

y′′ + a1 y′ + a0 y = 0

gewählt werden, damit die Fundamentallösungen aus den folgenden Funktionen gebildet werden?

a) e

2 x

, e−

4 x

b) cos 4

x,

sin 4

x

c) e

2 x

,

x e

2 x

e−

x

x

sin 3 x

3 x

d) e−

cos 3 x,

e) 1, e−

f) 1, x

Aufgabe 12.6

Gegeben ist die lineare Di erenzialgleichung erster Ordnung y′ − y = x. x

a)Berechnen Sie die allgemeine Lösung der homogenen Di erenzialgleichung durch Separation.

b)Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung durch Variation der Konstanten und skizzieren Sie einige Lösungskurven.

c)Jede Kurve der Lösungsschar besitzt genau einen Extremwert. Bestimmen Sie die Ortskurve aller Extrempunkte direkt aus der Di erenzialgleichung.

526	12 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen

Aufgabe 12.7

Transformieren Sie die lineare Di erenzialgleichung mit konstanten Koe zienten

y′′′ − 2 y′′ + 3 y′ − y = 0

auf die Normalform x˙ = Ax und berechnen Sie die charakteristische Gleichung.

Aufgabe 12.8

Transformieren Sie das Di erenzialgleichungssystem

x¨1	+	2 a x1	a x2	b x˙1		=	cos ω t
x¨2		2 a x2	+ a x1	+ b x˙	2		0
	+		+	+		=

durch Einführen der Zustandsvariablen z1 = x1, z2 = x2, z3 = x˙1 und z4 = x˙2 in ein System der Form z˙ = Az + r.

Aufgabe 12.9

Für welche Parameterwerte a ist das folgende Di erenzialgleichungssystem asymptotisch stabil?

x˙		1	1		x .
	= Œ	a	−3	‘
			−

Rechenaufgaben

Aufgabe 12.10

Lösen Sie die Di erenzialgleichungen erster Ordnung durch Separation:

a) x3d′ x e

y

01 2dy 0

y′ y

√

=

c)

y y

−

2 x

=

b) y

tan x

2

y

0

+ (

)

=

d) e

′

x

− 0

+

−

=

Aufgabe 12.11

+

6 y′

+

=

Wie lautet die allgemeine, von c abhängige Lösung der Di erenzialgleichung y′′

c y

0?

a) c

=

5

b) c

=

9

c) c

=

13

Aufgabe 12.12

(

x

e−x cos 2 x eine spezielle Lösung der Di erenzialgleichung

Zeigen Sie, dass y

′′′

′

) =

y

y

10 y

0

ist und bestimmen+ −

Sie=die allgemeine Lösung.

Aufgabe 12.13

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:

a)

d2s

2

ds

+

2 s 0,

s

0

)y=

1,

s′

0

) =

1

dt2

dt

b)

y

′′

+y

′

ω

= y

0

,(

, (

2

4

4

2

0 1

y

′ 0

ω

c)

+

2

+ ( + )0

=

0

( ) =

( ) =

−

′′

′

(

√

−

′

+

k2 y

=

( ) =

√

0

) =

y

k y

, y

2

, y

k

2

12.8 Aufgaben

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Aufgabe 12.14

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Di erenzialgleichungen:

a)

′′

2

′

5

50

8

−

b)

′′4

2

′

5

cos

2

x

y

′′′

+

y

+

y

=

x

+

e

x

y

+

y

y

=

2 x

=

d) y

3 y+

−

4

=

+

−

c)

y

+

y

12 cosh x

(

) −

′′

y

x

e

Aufgabe 12.15

Welche Lösungskurve der Di erenzialgleichung

a)y′′ + 2 y′ − 3 y = 2 sin x geht mit der Steigung 1 durch den Nullpunkt?

b)y′′ + 6 y′ + 25 y = 50 x − 13 hat im Punkt (0 S 1) eine waagrechte Tangente?

Aufgabe 12.16

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme exakt und berechnen Sie jeweils einen numerischen

Näherungswert mit dem Euler-Verfahren mit der Schrittweite h

=

0.1. Wie groß ist der Fehler

des Näherungswertes?

b) y′ sin x

(

π

a) y′

y

6 x

0,

y 0

3

y cos x,

y

6

1

1 x

c) y 2 x y 2 x,

=

y 0

(

2

d) y x ln x= y,

y e2

2) =

+

+

+

) =

′

=

( ) =

′ +

=

( ) =

Aufgabe 12.17

Lösen Sie folgende Di erenzialgleichungen erster Ordnung durch geeignete Substitutionen:

a) y′

x

y

22

2

b)

2 x

y

3

y′

1

= (

+

d)

(

−

+

)

=

′

)

=

′

c) 2 x y y

+

x

−

y

0

x y

+

»

+

y2

=

y

x2

Aufgabe 12.18

Berechnen Sie für x 0 die allgemeine Lösung der Di erenzialgleichung zweiter Ordnung

2 x y

′′ −

y

′ =

9≥x2.

Aufgabe 12.19

+

y′

=

(

) =

1, y′

(

) =

Lösen Sie das Anfangswertproblem y′′

cos x

sin x

0, y

0

0

2.

Aufgabe 12.20

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Di erenzialgleichungssysteme:

a) x˙1

x1

+

x2

+

x3

b) x˙1

=

x2

3

˙2

= −1

2

3

˙2

x

x

=

x

−

x

+

x

x

=

−

x1

−

x2

−

x˙3

x1

x2

x3

x˙3

x3

=

+

+

=

Aufgabe 12.21

Lösen Sie das Anfangswertproblem

x

+

x

−

y

=

0,

x 0

1

y˙˙

2 x

y

0, y(0) =

0

+

−

=

( ) =

a)mithilfe des Eliminationsverfahrens,

b)in der Normalform mithilfe der Matrizenrechnung.

528 12 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen

Aufgabe 12.22

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems

x˙	+	y	=	sin 2 t,	x 0		1
y˙		x		cos 2 t,	y	(0 ) =	0.
	−		=			( ) =

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 12.23

Eine Kugel befindet sich in einer zähen Flüssigkeit und sinkt durch ihr Gewicht nach unten. Die Sinkgeschwindigkeit der Kugel ist dabei proportional zur Widerstandskraft der viskosen Flüssigkeit. Mit einem Ansatz gemäß der Bewegungsgleichung nach Newton erhält man

m v˙ = m g − c v.

Dabei bezeichnet g die Erdbeschleunigung und c die Viskositätskonstante.

a)Berechnen Sie die allgemeine Lösung der homogenen Di erenzialgleichung durch Separation.

b)Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung durch Variation der Konstanten.

c)Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Di erenzialgleichung.

d)Welche Lösung erhält man, wenn man als Anfangswert v(0) = 0 wählt?

Aufgabe 12.24

Ein Fallschirmspringer ö net zur Zeit t = 0 bei einer Fallgeschwindigkeit von 21 ms seinen Fallschirm. Als Modell für seine Fallgeschwindigkeit wählen wir für t ≥ 0 das Anfangswertproblem

v˙ = 10 −	10	v	2	, v(0) = 21.
	49

a)Bestimmen Sie v, indem Sie die Di erenzialgleichung durch Separation lösen. Verwenden Sie dabei

		1			1			v	a
S			=			ln			− a	V +	C.
	v2	a2			2a			v
		−					V		+

b) Welche Grenzgeschwindigkeit ergibt sich für t → ∞?

c) Wie lange dauert es, bis der Fallschirm auf 8 ms gebremst ist?

d) Berechnen Sie einen numerischen Näherungswert mit dem Euler-Verfahren mit der Schrittweite h = 0.01. Wie groß ist der Fehler des Näherungswertes?