306	7 Integralrechnung

7.3 Integrationstechnik

In Beispiel 7.6 konnten wir für einige elementare Funktionen direkt eine Stammfunktion angeben. Das funktioniert nur bei Funktionen, welche die Ableitung einer anderen Funktion darstellen. Leider bringt die Bestimmung einer Stammfunktion noch einige Probleme mit sich. Manche elementare Funktionen, wie beispielsweise f(x) = ln x, sind bisher nicht als Ableitung einer anderen Funktion in Erscheinung getreten. Außerdem müssen wir noch klären, wie wir eine Stammfunktion bestimmen, falls die Funktion aus mehreren elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Zur Lösung dieser Probleme werden wir ein paar Integrationsregeln aufstellen und zwei wichtige Techniken, nämlich die Integration durch Substitution und die partielle Integration, betrachten. Unter Zuhilfenahme dieser Regeln können wir für die meisten elementaren Funktionen eine Stammfunktion angeben.

Bevor wir uns mit den Details dieser Regeln und Techniken auseinandersetzen, müssen wir den Enthusiasmus etwas dämpfen. Im Gegensatz zur Di erenziation gibt es bei der Integration bereits einfache Probleme, die wir nicht mithilfe elementarer Funktionen lösen können. Beispielsweise gibt es keine elementaren Funktionen, die Stammfunktionen für

	2	sin x
S e−x	dx =? oder S			dx =?	oder S sin(x2) dx =?
		x

darstellen. Diesen Sachverhalt hat der französische Mathematiker Joseph Liouville bereits vor über 150 Jahren bewiesen. Ähnlich ist die Situation bei sogenannten elliptischen Integralen. Für weitere Details verweisen wir an dieser Stelle auf die Literatur, siehe beispielsweise [Heuser:Analysis]. Wie bereits erwähnt, ist die Bestimmung der Ableitung einer aus elementaren Funktionen zusammengesetzten Funktion mithilfe der entsprechenden Ableitungsregeln immer möglich. Im Gegensatz dazu ist das Finden einer Stammfunktion eine Kunst, die nicht bei allen Funktionen gelingt.

Stammfunktionen elementarer Funktionen

Es gibt einfache Funktionen, die aus elementaren Funktionen zusammengesetzt sind, für die man aber keine Stammfunktion in Form elementarer Funktionen angeben kann.

7.3.1 Integrationsregeln

Die Integration ist gewissermaßen die Umkehrung der Di erenziation. Dadurch lassen sich aus den Regeln der Di erenzialrechnung direkt Integrationsregeln herleiten.

Satz 7.4 (Faktorregel)

Bei der Integration darf man einen konstanten Faktor aus dem Integral herausziehen:

S C f(x) dx = C S f(x) dx.

7.3 Integrationstechnik

307

Die Gültigkeit der Faktorregel lässt sich einfach begründen. Beim Di erenzieren bleibt ein konstanter Faktor unverändert, deshalb bleibt er auch bei der Integration erhalten.

Beispiel 7.9 (Faktorregel)

Ein typisches Beispiel für die Faktorregel ist die Stammfunktion

3 x dx. Wir ziehen den kon-

stanten Faktor 3 vor das Integral und verwenden 1 x2

C

Stammfunktion von x:

+

als

S

2

1

2

3

2

S 3 x dx = 3 S x dx = 3 ‹

x

+ C• =

x

+ 3 C.

2

2

˜

=

3 C zu verwenden, also

In der Mathematik

ist es üblich, anstatt 3 C eine neue konstante C

3

2

˜

S 3 x dx =

x

+ C.

2

˜

Oft geht man sogar noch einen Schritt weiter und ersetzt C wieder durch C, denn beides sind

ja nur Platzhalter für eine beliebige Konstante.

Ì

Satz 7.5 (Summenregel)

Bei der Integration einer Summe oder Di erenz von Funktionen darf man jede Funktion einzeln integrieren:

S f(x) ± g(x) dx = S f(x) dx ± S g(x) dx.

Die Summenregel der Integration folgt unmittelbar aus der Summenregel der Di erenziation. Sie besagt, dass die Reihenfolge von Summation und Integration vertauscht werden kann. Im Zusammenhang mit der partiellen Integration in Abschnitt 7.3.3 werden wir sehen, dass eine entsprechende einfache Aussage für die Integration eines Produktes nicht gilt. Die Faktorregel und Summenregel zusammen bezeichnet man in der Mathematik als Linearität des Integrals.

Beispiel 7.10 (Summenregel)

Mithilfe der Summenregel kann man Stammfunktionen von f x

cosh x bestimmen. Dazu stel-

len wir den Kosinus Hyperbolicus als Summe von e-Funktionen dar, also

cosh x dx =

ex +2e−x

(

) =

dx,

zerlegenSdas Integral inSzwei Teile und ziehen die konstanten Faktoren vor die Integrale:

1

1

1

1

cosh x dx =

ex dx +

e−x dx =

ex + C1

−

e−x + C2.

2

2

2

2

Üblicherweise fasst man

die beiden

Konstanten

C1 und

C2 zu einer einzigen Konstante

S

S

S

C

=

C1

+

C2 zusammen und erhält somit

cosh x dx =

ex −2e−x

+ C = sinh x + C. x

können wir durch die Substitutionsregel, die

Das Minuszeichen bei der Stammfunktion von e

S

−

wir in Abschnitt 7.3.2 vorstellen, rechtfertigen.

Ì

308	7 Integralrechnung

Nach dem 2. Teil des Hauptsatzes der Di erenzialund Integralrechnung, Satz 7.2, gilt:

a	f(x) dx = F (a) − F (b) = − (F (b) − F (a)) = − Sa	b
Sb		f(x) dx.

Das Vertauschen der Grenzen bewirkt also lediglich den Faktor −1.

Satz 7.6 (Vertauschen der Grenzen)

Vertauscht man bei einem bestimmten Integral Oberund Untergrenze, so ändert sich das Vorzeichen:

ba

S f(x) dx = −S f(x) dx.

ab

Auch das Aufspalten eines Integrals über dem Intervall [a, b] in Teilintervalle ist problemlos möglich:

cb

S f(x) dx + S f(x) dx = (F (c) − F (a)) + (F (b) − F (c))

ac

= F (b) − F (a) = Sa	b
	f(x) dx.

Mit anderen Worten: Die beiden einzelnen Flächen zwischen a und c und c und b ergeben zusammen die Fläche zwischen a und b. Das ist nicht weiter verwunderlich. Abgesehen von dieser anschaulichen Interpretation behält die Rechnung auch dann noch ihre Gültigkeit, wenn c nicht zwischen a und b liegt.

Satz 7.7 (Aufspalten)

Ein

bestimmtes

Integral

über

dem

Intervall

y

[

a, b

]

lässt sich in Teilintegrale aufspalten:

f(x)

a

b

c

f(x) dx +

b

f(x) dx.

f(x) dx =

a

c

c

b

S

S

S

Das Aufspalten ist selbst dann noch möglich,

. . .

. . .

wenn c nicht im Intervall

[

a, b

]

liegt.

Za

Zc

a

c

b x

Die Ableitung einer geraden Funktion ist eine ungerade Funktion und die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion. Ein entsprechendes Verhalten haben auch die Stammfunktionen gerader und ungerader Funktionen. Eine Stammfunktion einer ungeraden Funktion ist somit sicherlich eine gerade Funktion, daran ändert auch die Integrationskonstante nichts. Eine Stammfunktion einer geraden Funktion ist aufgrund der Integrationskonstanten nicht unbedingt eine ungerade Funktion. Sie ist jedoch immer eine Funktion, die punktsymmetrisch zu einem Punkt auf der y-Achse ist.

7.3 Integrationstechnik

309

Satz 7.8 (Stammfunktionen symmetrischer Funktionen)

Eine Funktion, die

Lungerade ist, besitzt gerade Stammfunktionen:

S fu(x) dx = Fg(x) + C.

Lgerade ist, besitzt, abgesehen von einer Konstanten, ungerade Stammfunktionen:

S fg(x) dx = Fu(x) + C.

Bei bestimmten Integralen, bei denen der Integrand eine gerade Funktion ist, stellt die Integrationskonstante kein Problem dar. Nach Satz 7.2 können wir eine beliebige Stammfunktion wählen. Also wählen wir die Integrationskonstante C so, dass die Stammfunktion durch den Ursprung geht. Damit haben wir eine ungerade Funktion als Stammfunktion.

Beispiel 7.11 (Stammfunktionen symmetrischer Funktionen)

a) Die ungerade Funktion sin x besitzt ausschließlich gerade Stammfunktionen:

Ssin x dx = cos x + C.

b)Die Stammfunktionen des geraden Polynoms

S1 + 3 x2 + 5 x4 + 7 x6 dx = x + x3 + x5 + x7 + C

bestehen, abgesehen von der Konstanten C, aus ungeraden Polynomen.

Ì

Satz 7.9 (Bestimmte Integrale symmetrischer Funktionen)

Das bestimmte Integral über ein zum Ursprung symmetrisches Intervall [−a, a] einer

L ungeraden Funktion fu ist immer null:

a

S−a fu(x) dx = 0.

Lgeraden Funktion fg hat genau den doppelten Wert wie das Integral über dem halben Intervall [0, a]:

aa

S	−a fg(x) dx = 2	0	fg(x)dx.
		S