566	14 Verallgemeinerte Funktionen

14.5 Aufgaben

Verständnisaufgaben

Aufgabe 14.1

Gegeben ist die skizzierte Funktion f.

a)An welchen Stellen ist f unstetig und an welchen Stellen ist f nicht di erenzierbar?

b)Stellen Sie f mithilfe der Heaviside-Funktion dar.

c)Drücken Sie die verallgemeinerte Ableitung f˙ von

f mithilfe der Heaviside-Funktion und der DiracDistribution aus und skizzieren Sie f˙.

	f (t)	1
−T		t
		−1

Aufgabe 14.2

Gegeben ist die Funktion

f t	¢ e t		für	0	≤	t 1
	¨	1	für	t		0
		−	für	t		1 .
	¨	0
	¨				<		≤
( ) = ¦
	¨
	¨				>
	¨
	¤

a)Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion f. An welchen Stellen ist f unstetig oder nicht di erenzierbar?

b)Stellen Sie f mithilfe der Heaviside-Funktion dar.

c)Drücken Sie die verallgemeinerte Ableitung f˙ von f mithilfe der Heaviside-Funktion und der Dirac-Distribution aus und skizzieren Sie f˙.

Rechenaufgaben

Aufgabe 14.3

Welchen Wert hat das Integral S ∞ δ(τ − 1) e−SτS dτ?

−∞

Aufgabe 14.4

Gegeben sind die beiden Funktionen g(t) = e−StS und r(t) = σ(t + 1) − σ(t − 1).

a)Skizzieren Sie die beiden Funktionen.

b)Berechnen Sie die Faltung f(t) = g(t) † r(t) und skizzieren Sie f.

Aufgabe 14.5

Gegeben sind die beiden Funktionen g(t) = σ(t) sin t und h(t) = 4 t σ(t) sin t.

a)Skizzieren Sie die beiden Funktionen.

b)Berechnen Sie die Faltung f(t) = g(t) † h(t) und skizzieren Sie f.