9.6 Numerische Verfahren

379

Definition 9.14 (Parametrisierung einer Kurve nach der Bogenlänge)

Bei der Parametrisierung nach der Bogenlänge einer Kurve c t

mit t t0, t1

entspricht der Kurvenparameter

t

vom Anfangspunkt

gerade der Bogenlänge der Kurve ( )

[

t

]

c

(

t0

)

bis zum Punkt c

t

)

. Bei dieser Parametrisierung hat der Tangentenvektor c′

)

(

(

stets die Länge 1.

Beispiel 9.13 (Kurven und Bogenlängen)

a) Wir bestimmen die Bogenlänge eines allgemeinen Kreises

c(t) = Œ

x0

r cos t

‘ ,

t [0, 2 π]

Ô

c′(t) = Œ

r sin t

y0

+ r sin t

−r cos t ‘ .

Bogenlänge+

vom Anfangspunkt c 0

bis zum Punkt c

t

gilt

Für die

t

t(

)

t

(

)

L

t

) = S

0

»x′

τ

2

y′

(

τ

)

2 dτ

= S

0

r dτ

=

r τ

0

r t.

(

( ) +

U =

Insbesondere ergibt der volle Kreisumfang für t = 2 π erwartungsgemäß 2 π r.

b) Wir betrachten nun einen allgemeinen Kreis in der Parametrisierung

c t

’

t

“ ,

t 0, 2 π r

c t

’

t

“ .

x0

r cos

t

sin

t

–

y0

+ r sin

r

—

[

] Ô

′

– −cos

r

—

( ) = –

r

—

( ) = –

r

—

–

+

—

–

—

”

•

”

•

In dieser Darstellung des Kreises gilt für die Bogenlänge vom Anfangspunkt c(0) bis zum Punkt c(t)

L t

0

»x′

τ 2 y′ τ 2 dτ

0

1 dτ τ 0 t.

t

t

t

( ) = S

( ) + ( )

= S

= U =

S

c′

)S =

Diese Kurve ist also nach der Bogenlänge parametrisiert. Insbesondere gilt

t

1 für alle

Parameterwerte t.

(

Ì

9.6 Numerische Verfahren

Die meisten CAD-Systeme verwenden Non-Uniform-Rational-B-Spline-Surfaces, kurz auch NURBS genannt, zur mathematischen Beschreibung von Kurven und Flächen. Ein Spezialfall davon sind Bézier-Kurven, die wir in diesem Abschnitt genauer betrachten.

9.6.1 Bézier-Kurve

Bernstein-Polynome wurden von dem russischen Mathematiker Sergei Natanowitsch Bernstein verwendet, um den Approximationssatz von Weierstraß zu beweisen. Rund 50 Jahre später verwendeten Paul de Faget de Casteljau bei Citroen und Pierre Bézier bei Renault unabhängig voneinander Bernstein-Polynome zum Design von Kurven und Flächen.

380							9 Kurven
Definition 9.15 (Bernstein-Polynome)
Die n		+	1 Bernstein-Polynome vom Grad n	1	(1 − t)	t
sind
	definiert durch				3		3
			n		3t(1 − t)2
	Bkn(t) = ‹k• tk (1 − t)n−k, k = 0, 1, . . . , n.
Die Bernstein-Polynome sind zwar für alle reel-					3t2(1 − t)
len Zahlen t definiert, man betrachtet sie aber
in der Regel nur für t [0, 1].					1		t

Unter theoretischen Aspekten sind Bernstein-Polynome eigentlich gar nicht so aufregend. Betrachtet man jedoch die vielfältigen industriellen Anwendungen, dann ist die Idee, Polynome anstatt in der Monomform

1, t, t2, t3, . . .

in einer auf das Intervall [0, 1] zentrierten Form zu verwenden, bahnbrechend. Diese Idee bildet die Grundlagen für das heutige Verständnis von Freiformkurven und Flächen.

Alle herkömmlichen Polynome vom Grad n lassen sich durch Bernstein-Polynome vom Grad n darstellen. Mathematisch formuliert bedeutet das, dass die Bernstein-Polynome vom Grad n eine Basis der Polynome vom Grad n bilden. Einen Überblick über die weiteren Eigenschaften von Bernstein-Polynomen findet man beispielsweise bei [Hoschek].

Bernstein-Polynome kann man auch wie herkömmliche Polynome zur Definition von Kurven verwenden. Der entscheidende Vorteil dabei besteht in der geometrischen Bedeutung der Kontrollpunkte.

Definition 9.16 (Bézier-Kurve)

Eine Bézier-Kurve vom Grad n mit n+1 Kontrollpunkten b0, b1, . . ., bn, ist definiert durch

n

c(t) = Q bk Bkn(t), t [0, 1].

k=0

Das Polygon der Kontrollpunkte bestimmt den Verlauf der Kurve.

y

b1 b2

b0 b3

x

Aus den Eigenschaften der Bernstein-Polynome gehen die Eigenschaften der Bézier-Kurven hervor. Beispielsweise startet eine Bézier-Kurve für t = 0 im ersten Kontrollpunkt b0 und endet für t = 1 im letzten Kontrollpunkt bn. Das Polygon, das aus der Verbindung der Kontrollpunkte b0, b1, . . . , bn in dieser Reihenfolge entsteht, bezeichnet man als Kontrollpolygon der Kurve. Der Verlauf einer Bézier-Kurve wird, insbesondere bei niedrigem Grad n, sehr gut durch den Verlauf des Kontrollpolygons angenähert.