4.3 Determinanten

129

Hand durchgeführt. An einigen Stellen in diesem Buch werden wir auf das Prinzip der Matrixmultiplikation zurückgreifen. Deshalb ermuntern wir an dieser Stelle alle Leser, die Berechnung von Matrixprodukten soweit zu festigen, dass sie in den folgenden Beispielen und in den Aufgaben auch ohne Falk-Schema durchgeführt werden kann.

Beispiel 4.13 (Falk-Schema)

Beim Falk-Schema trägt man die erste Matrix des Produktes links unten in ein Rechteckschema ein. Rechts oben platziert man die zweite Matrix des Produktes. Für das Matrixprodukt aus Beispiel 4.6 ergibt sich folgendes Schema:

				5	2	1	1						5	2	1	1
				1	1	6	0						1	1	6	0
				2	3	−2	1		Ô				2	3	−2	1
2		3	1							2	3	1	11	4	18	1
4	−	2	−2							4	2	−2	22 12		−20 6			Ì
											−

Potenzen von Matrizen

Eine quadratische Matrix A kann man beliebig oft mit sich selbst multiplizieren:

An = A A . . . A.

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ n-mal

4.3 Determinanten

Bei praktischen Problemstellungen besitzen Matrizen nicht selten Tausende oder sogar Millionen Einträge. Bei dieser großen Anzahl von Elementen greift man auf Kenngrößen zurück, die Informationen über die Matrix enthalten. Eine der wichtigsten Kenngrößen einer Matrix ist die sogenannte Determinante. Die Determinante einer Matrix ist ein einziger Zahlenwert, mit dem man unter anderem beurteilen kann, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Wir werden Determinanten auch dazu verwenden, Kreuzprodukte und Spatprodukte von Vektoren durch ein einheitliches Schema zu berechnen.

4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix

Bevor wir uns mit Determinanten von beliebigen Matrizen beschäftigen, betrachten wir zunächst nur (2, 2)-Matrizen. Solche Matrizen treten zum Beispiel beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten auf:

a11 x1	+	a12 x2	=	b1		a21
a21 x1		a22 x2		b2	S (−a11)
	+		=		S (	)

130	4 Matrizen

Wenn wir die erste Gleichung mit −a21 und die zweite mit a11 multiplizieren, dann erhalten wir das umgeformte lineare Gleichungssystem

a11 x1	+	a11a22		a12 x2			=	b1		a21b1
			−	a12a21	)	x2		a11b2	−
	(						=

Für a11a22 − a12a21 ≠ 0 können wir nach x2 auflösen und erhalten

x2 a11a22		− a12a21 .
=	a11b2	a21b1
		−

Durch eine ähnliche Vorgehensweise, die wir nicht im Detail darstellen, ergibt sich

x1 a11a22		− a12a21 .
=	b1a22	b2a12
		−

Hierbei fällt auf, dass bei der Berechnung von x1 und von x2 derselbe Ausdruck im Nenner auftaucht. Das lineare Gleichungssystem ist also genau dann eindeutig lösbar, wenn dieser Ausdruck nicht null ist. Man bezeichnet a11a22 − a12a21 als Determinante der Matrix.

Definition 4.13 (Determinante einer (2,2)-Matrix)

Die Determinante einer (2, 2)-Matrix ist als Di erenz des Produktes der Zahlen in der Hauptdiagonalen und des Produktes der Zahlen in der Nebendiagonalen definiert:

A = Œ	a11	a12	‘	Ô SAS = W	a11	a12	W = a11a22 − a12a21.
	a21	a22			a21	a22

Zur Bezeichnung von Determinanten verwendet man dieselben senkrechten Striche wie beim Betrag einer Zahl. Zu beachten ist, dass die Determinante durchaus auch einen negativen Wert annehmen kann. Somit ist bei den senkrechten Strichen also etwas Vorsicht geboten. Abweichend davon findet man in der Literatur auch die Bezeichnung det(A) für die Determinante von A. Die Regel zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mithilfe von Determinanten ist nach dem Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer benannt.

Satz 4.3 (Cramersche Regel für (2,2)-Matrizen)

Das lineare Gleichungssystem in Matrixform Ax = b

Œ	a11	a12	‘ Œ	x1	‘ = Œ	b1	‘
	a21	a22		x2		b2

hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A nicht null ist. Die Lösung kann man dann nach der Cramerschen Regel berechnen:

x1

W

b1

a12

W ,

x2

W

a11

b1

W .

a2

a22

a21

a2

=

b

a

=

a

b

W

a21

a22

W

W

a21

a22

W

11

12

11

12

4.3 Determinanten

131

Nach der Cramerschen Regel berechnet man die Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b mit zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten x1 und x2 mithilfe von drei Determinanten. Im Nenner steht jeweils die Determinante der ursprünglichen Matrix. Zur Bestimmung von x1 ersetzt man die erste Spalte der Matrix A durch die rechte Seite b und bestimmt die Determinante dieser Matrix. Entsprechend ersetzt man zur Bestimmung von x2 die zweite Spalte von A durch die rechte Seite b.

Beispiel 4.14 (Cramersche Regel)

Folgendes lineare Gleichungssystem schreiben wir in Matrixform:

x1

+

2 x2

=

5

Ô Œ

1

2

‘ Œ

x1

‘ = Œ

5

‘

.

3 x1

4 x2

6

3

4

x2

6

+

=

Zur Lösung mit der Cramerschen Regel berechnen wir drei Determinanten:

W	1	2	W = 4 − 6 = −2, W	5	2		W = 20 − 12 =		8,		W	1	5			W = 6 − 15 = −9.
	3	4		6	4							3	6
						8				9			9
Daraus erhalten wir die Lösung x1				=			= −	4 und x2	=		−2	=			.	Ì
					−	2								2
										−

4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix

Die Determinante einer (3, 3)-Matrix wird mithilfe von Determinanten von (2, 2)-Matrizen definiert. Dieselbe rekursive Vorgehensweise werden wir in Abschnitt 4.3.3 zur Definition der Determinante einer beliebigen (n, n)-Matrix verwenden.

Definition 4.14 (Determinante einer (3,3)-Matrix)

Die Determinante einer (3,3)-Matrix entsteht aus Determinanten von (2,2)-Matrizen:

R	a21	a22	a23	R	a11
R	a11	a12	a13	R
R	a	a	a	R
R				R
R				R		W
R				R =
R				R
R				R
R				R
R				R
R				R
R	31	32	33	R
R				R

a22	a23	W − a12 W	a21	a23	W + a13 W	a21	a22	W .
a32	a33		a31	a33		a31	a32

Definition 4.14 enthält ein rekursives Berechnungsverfahren für die Determinante einer (3, 3)-Matrix. Man bezeichnet diese Vorgehensweise als Entwicklung nach der ersten Zeile. Das Element a11 wird mit der Determinante derjenigen Matrix multipliziert, die durch Streichen der ersten Zeile und der ersten Spalte in der Ausgangsmatrix entsteht. Entsprechend multipliziert man das Element a12 mit der Determinante derjenigen Matrix, die durch Streichen der ersten Zeile und der zweiten Spalte entsteht. Dabei ist zusätzlich noch das negative Vorzeichen zu beachten. Für das letzte Element a13 ist entsprechend die erste Zeile und die letzte Spalte zu streichen.

In Satz 4.7 werden wir sehen, dass man bei der Berechnung von Determinanten sehr flexibel vorgehen kann. Man kann Determinanten nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln.

132	4 Matrizen

Beispiel 4.15 (Determinante einer (3,3)-Matrix)

Die Berechnung der Determinante erfolgt durch Streichen der entsprechenden Zeilen und Spalten:

R	1	0	8	R		4
R	4	7	1	R
R	1	5	2	R
R				R
R				R
R				R	=
R				R
R				R
R				R
R				R
R				R
R				R
R				R
R				R

R

1

0

8

R

7

R

1

0

8

R

R

1

0

8

R

113.

R

4

7

1

R

R

4

7

1

R

R

4

7

1

R

R

1 5 2

R

R

1 5 2

R

R

1 5 2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

−

R

R

+

R

R

= −

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

0R

2 8 5R

1R

2

8 1R

1R

5 0

1R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Ì

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

( − )

( − ) ( − )

Ähnlich zum Falk-Schema bei der Matrixmultiplikation, siehe Beispiel 4.13, gibt es ein Hilfsschema zur praktischen Berechnung der Determinante einer (3, 3)-Matrix. Bei dieser nach Pierre Frédéric Sarrus benannten Regel erweitert man die Matrix um zwei Spalten.

Regel von Sarrus

Die Determinante einer (3, 3)-Matrix A kann man berechnen, indem man die Matrix um die ersten beiden Spalten erweitert und anschließend die Produkte der Elemente in den drei Nebendiagonalen von den Produkten der Elemente in den drei Hauptdiagonalen subtrahiert:

−− −

a11	a12	a13	a11	a12	S		S =	a13 a22 a31	+ a11 a23 a32	+ a12 a21 a33 .
a21	a22	a23	a21	a22
a31	a32	a33	a31	a32		A	−	a11 a22 a33	a12 a23 a31	a13 a21 a32
									−	−
			+	+	+

Beispiel 4.16 (Regel von Sarrus)

Die Determinante aus Beispiel 4.15 kann auch mit der Regel von Sarrus berechnet werden:

R	1	0	8	R	4 0 2 7 8 1 1 1 5 1 0 1 4 8 5 7 1 2	113.
R	4	7	1	R
R	1	5	2	R
R				R
R				R
R				R	= + + − − − = −
R				R
R				R		Ì
R				R
R				R
R				R
R				R
R				R
R				R

Bereits in Satz 4.3 haben wir ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen für zwei Unbekannte mithilfe von Determinanten kennengelernt. Das Prinzip gilt in ähnlicher Weise für lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen für drei Unbekannte. Die Unbekannten x1, x2 und x3 berechnen sich aus Quotienten von Determinanten. Wieder steht bei allen Unbekannten die Determinante der Matrix im Nenner. Diese Determinante darf also nicht null sein. Bei den Determinanten im Zähler werden die entsprechenden Spalten durch die rechte Seite ersetzt.

4.3 Determinanten

133

Satz 4.4 (Cramersche Regel für (3,3)-Matrizen)

Das lineare Gleichungssystem in Matrixform Ax = b

’ a21		a22	a23	“ ’ x2		“ ’	b2	“
–	a11	a12	a13	— –	x1	— = –	b1	—
	a	a	a		x		b
	31	32	33		3		3
”				• ”		• ”		•

hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A nicht null ist. Die Lösung kann man dann nach der Cramerschen Regel berechnen:

			R	b2		a22		a23		R
			R	b		a		a		R
			R							R
			R	b1		a12		a13		R
x			R							R	,
	1		R							R
			R	a		a		a		R
			R							R
			R							R
		=	R	a21		a22		a23		R
			R							R
			R		3		32		33	R
			R							R
			R	a		a		a		R
			R		11					R
			R				12		13	R
			R							R
			R							R
			R							R
			R							R
			R							R
			R							R
			R							R
			R							R
			R		31		32		33	R
			R							R

R

a21

b2

a23

R

R

a

b

a

R

R

R

R

a11

b1

a13

R

x

R

R

,

x

2

R

R

3

R

a

a

a

R

R

R

R

R

=

R

a21

a22

a23

R

=

R

R

R

31

3

33

R

R

R

R

a

a

a

R

R

11

12

R

R

13

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

31

32

33

R

R

R

RR

Ra a b R

R11 12 1 R

RR

RR

Ra a b R

RR

R21 22 2 R

RR

RR

Ra a b R

RR

R31 32 3 R

RR .

Ra a a R

R11 12 13 R

RR

RR

Ra a a R

RR

R21 22 23 R

RR

RR

Ra a a R

RR

R31 32 33 R

Beispiel 4.17 (Cramersche Regel)

Folgendes lineare Gleichungssystem können wir in Matrixform schreiben:

x1

+

2 x2

+

x3

=

1

’

1

2

1

“ ’

x1

“

’

1

3 x1

x2

2 x3

9

3

1

2

x2

9 .

−

+

=

−3

“

x1

3 x2

2 x3

1

Ô –

1

2

— –

x3

— = –

1

—

+

+

=

”

• ”

•

”

•

Wir bestimmen gemäß der Cramerschen Regel vier Determinanten:

R	3		1	2	R	6,
R	1		2	1	R
R	1		3	2	R
R					R
R					R
R		−			R	= −
R					R
R					R
R					R
R					R
R					R
R					R
R					R
R					R

R

9

1 2

R

12,

R

3 9 2

R

6,

R

3

1 9

R

6.

R

1

2

1

R

R

1

1

1

R

R

1

2

1

R

R

1

3 2

R

R

1 1 2

R

R

1

3 1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

−

R

= −

R

R

=

R

−

R

= −

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Mit diesen Werten erhalten wir die Lösung x1

−

12

2, x2

6

1 und x3

6

1.

Ì

6

6

−6

=

−

=

=

−

= −

=

−

=

Wir werden nun herleiten, wie man das Spatprodukt von drei Vektoren als Determinante einer entsprechenden Matrix schreiben kann. Dazu ordnen wir jeweils die drei Koordinaten der Vektoren a, b und c als Zeilen einer (3, 3)-Matrix an:

R

b1

b2

b3

R

a1

c2 c3

a2 c1 c3

a3 c1 c2 .

R

a1

a2

a3

R

R

R

c

1

c

c

3

R

2

R

b2 b3

b1 b3

b1 b2

R

R

R

R

W − W

W + W

W

R

R = W

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Durch Berechnung der Determinante der (2, 2)-Matrizen ergibt sich

R	a1		a2
	b1		b2
R
R	c	1	c
R			2
R
R
R
R

R

R

R

R

R

a3 b3 c3

R	a1 b2 c3 b3 c2		a2 b1 c3 b3 c1		a3 b1 c2 b2 c1 .
R
R
R
R
R		−	) − (	−	) + (	−	)
R = (
R

R

R

R

R

R

Dieser Ausdruck stimmt mit dem Ergebnis von Satz 3.15 überein. Ein Spatprodukt lässt sich also aus der Determinante einer (3, 3)-Matrix berechnen.

134	4 Matrizen

Satz 4.5 (Determinante und Spatprodukt)

Das Spatprodukt der Vektoren a, b und c kann man als Determinante berechnen:

a

a2

, b

b2

, c

c2

a, b, c

R

b1 b2 b3

R .

’

a1

“

’

b1

“

’

c1

“

R

a1 a2 a3

R

a

b

c

R

c

c

c

R

R

R

= –

— = –

— = –

—

Ô [

R

R

] = R

R

R

R

R

R

”

•

”

•

”

•

R

R

R

R

R

R

3

3

3

R

1

2

3

R

R

R

Beispiel 4.18 (Determinante und Spatprodukt)

Das Spatprodukt der drei Vektoren

a

’

1

“

,

b

’

1

“

,

c

3

“

1

2

’ −3

= –

4

—

= – −1

—

= –

−

4

—

”

•

”

•

”

•

aus Beispiel 3.14 lässt sich auch mithilfe der Determinante berechnen. Wir benutzen dazu die Regel von Sarrus:

	a, b, c,	R		1		2		1	R	8 3 12 24 3 4 6.
		R		1		1		4	R
		R		3		3		4	R
		R							R
		R							R
[		R			−				R	= − + − − + = −
		] = R							R
		R							R	Ì
		R							R
		R							R
		R	−				−		R
		RR							RR
		R							R

Bei der Berechnung einer Determinante spielt es keine Rolle, ob man die Koordinaten der Vektoren zeilenweise oder spaltenweise in die Matrix einträgt, siehe Satz 4.9. Ein ähnliches Ergebnis erhalten wir für das Kreuzprodukt von zwei Vektoren. Nach Satz 3.14 gilt:

a1

b1

a2 b3

a3 b2

a b

’

a2

“ ’

b2

“ ’

a3 b1

− a1 b3 .

a

3

b

3

a b

2

−

a

2

b

1

“

× = –

— × –

— = –

1

—

”

• ”

• ”

−

•

Mithilfe der Basisvektoren e1, e2 und e3 ergibt sich die Darstellung

a

×

b

= (

a2 b3

−

a3 b2

’

1

“

a1 b3

−

a3 b1

’

0

“

a1 b2

−

a2 b1

’

0

“ .

0

1

0

) –

0

— − (

) –

0

— + (

) –

1

—

”

•

”

•

”

•

Hieraus ist ersichtlich, dass auch das Kreuzprodukt durch eine Determinante darstellbar ist. Allerdings müssen wir als Einträge in der ersten Zeile die Basisvektoren zulassen. Deshalb spricht man von einer symbolischen Determinante.

Satz 4.6 (Determinante und Vektorprodukt)

Das Vektorprodukt der Vektoren a und b kann man als symbolische Determinante berechnen:

a

a2

, b

b2

a b

R

a1 a2

a3

R .

’

a1

“

’

b1

“

R

e1

e2

e3

R

a

b

R

b

b

b

R

R

R

= –

— = –

R

R

— Ô × = R

R

R

R

R

R

”

•

”

•

R

R

R

R

3

3

R

1

2

3

R

R

R

Dabei sind e1, e2 und e3 die Basisvektoren.

R

R