152	4 Matrizen

4.9 Aufgaben

Verständnisaufgaben

Aufgabe 4.1

Wahr oder falsch? Die Matrix A ist genau dann regulär, wenn a und b nicht null sind.

0a

A = Œ b 0 ‘

Aufgabe 4.2
Wahr oder falsch? Wenn die Determinante der Matrix A null ist, dann hat Ax 0
a) keine Lösung,	b) genau eine Lösung,	c) mindestens eine=Lösung.

Rechenaufgaben

Aufgabe 4.3

Berechnen Sie alle möglichen Produkte aus jeweils zwei der Matrizen:

a 1 2 3 ,		b	’	2	“ ,	C		3	0	1		,	D	’		2	2	3	“ .
				1												1	1	0
= ‰	Ž		= –	3	—		= Œ	2	1	1	‘			= –		1	−2	1	—
															−
			”		•									”					•

Aufgabe 4.4

Berechnen Sie A2, A3 und A4 und stellen Sie eine Formel für An auf:

	’	a	1	0	“ .
A		0	a	1
	= –	0	0	a	—
	”				•

Aufgabe 4.5

Bestimmen Sie den Parameter a so, dass AAT eine Diagonalmatrix ist:

1	2	‘ .
A = Œ −2	a

Aufgabe 4.6

Bestimmen Sie die beiden Matrizen A und B so, dass die beiden Gleichungen erfüllt sind:

2 A − 2 B		1	0	‘ ,			2		3	‘ .
		= Œ 0	1				4 A + B = Œ −1		0
Aufgabe 4.7
Bestimmen Sie die beiden Matrizen A und B so, dass
3	5	‘ A	= Œ	1	2	‘ ,	3	5	‘ = Œ		1	2	‘ .
Π10	17			0	3		B Π10	17			0	3

4 1

A = Œ −9 −2 ‘

1 0

B = Œ 4 2 ‘

4.9 Aufgaben

153

Aufgabe 4.8

Berechnen Sie folgende Determinanten:

a)

4

1

b)

sin α

cos α

W

−9

2

W

W

−

cos α

sin α

W

−

−

Aufgabe 4.9

Berechnen Sie folgende Determinanten:

4

4

R

R

3

4

7

R

R

6

a)

R

1

2

5

R

b)

R

12

6

4

R

R

3

12

15

R

R

3

2

−

R

R

R

R

8

R

R

R

R

R

R

−

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

−

−

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Aufgabe 4.10

Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem

c)		a	b	a	b
	W	a	+ b	a	− b	W
			−		+
c)	R		8	7	6	5	R
	R						R
	R		2	0	4	1	R
	R						R
	R						R
	R						R
	R						R
	R		3	4	3	0	R
	R						R
	R						R
	R	−					R
	R						R
	R						R
	R						R
	R						R
	R				−		R
	R						R
	R						R

p x1	−	x2	+	2 x3	=	0
2 x1		p x2		x3		3
	+	p x2	−	x3	=	1
			+		=

in Matrixform Ax = b und berechnen Sie die Determinante der Matrix A. Für welche Werte des Parameters p ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar?

Aufgabe 4.11

Bestimmen Sie für folgende Matrizen jeweils die inverse Matrix:

a) b) c)

Aufgabe 4.12

Berechnen Sie die Inversen der Matrizen

A = Œ	1	1	‘ ,	B = Œ	2	1	‘
	1	2			1	1

C = Œ	cos α	sin α	‘
	−sin α	cos α

und bestimmen Sie die Matrizen X und Y so, dass gilt: AX = B und Y B = A.

Aufgabe 4.13

Zeigen Sie für die Matrizen

A	’	3	1	0	“ ,			2	2	0	“ ,
		4	1	0		B 2 ’ −8			−6	0
	= – −4		−8		—	1	–				—
				2		=		36 28		1
	”		−		•		”				•

dass die Matrix B die inverse Matrix der Matrix A ist. Welche Matrix ist die inverse Matrix der Matrix B? Bestimmen Sie die Determinanten der Matrizen A und B. Berechnen Sie alle Lösungen der beiden linearen Gleichungssysteme

3 x1

+

x2

=

1

3 x1

+

x2

=

1

4 x1

x2

2 x3

0

4 x1

x2

2 x3

2

−4 x1

−

8 x2

+

=

0

−4 x1

−

8 x2

+

=

3

−

=

−

=

154	4 Matrizen

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 4.14

In einem zweistufigen Produktionsprozess werden aus vier Rohsto en R1, R2, R3 und R4 drei Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 und daraus zwei Endprodukte P1 und P2 hergestellt. Zur Beschreibung des Bedarfs werden Mengeneinheiten (ME) verwendet.

Zur Herstellung von Z1 benötigt man 4 ME von R1 und 7 ME von R3, zur Herstellung von Z2 benötigt man 3 ME von R1, 5 ME von R2 und 2 ME von R4 und zur Herstellung von Z3 benötigt man 4 ME von R2 und 6 ME von R4. Des Weiteren werden für P1 3 ME von Z1, 2 ME von Z2 und 5 ME von Z3 und für P2 1 ME von Z1, 3 ME von Z2 und 3 ME von Z3 benötigt.

a)Formulieren Sie die Beziehungen zwischen den Rohsto en, den Zwischenprodukten und den Endprodukten mithilfe geeigneter Matrizen.

b)Wie groß ist der Rohsto bedarf für 15 Endprodukte P1 und 25 Endprodukte P2?

Aufgabe 4.15

Das Quadrat mit den Ecken (3 S 1), (5 S 3), (3 S 5) und (1 S 3) soll durch eine Rotation, eine Streckung und eine anschließende Verschiebung in das Einheitsquadrat mit den Ecken (−1 S − 1), (1 S − 1), (1 S 1) und (−1 S 1) transformiert werden.

a)Bestimmen Sie die Matrizen R und S für die Rotation und die Streckung. Sind die Matrizen R und S eindeutig bestimmt?

b)Bestimmen Sie eine Matrix A und einen Vektor b so, dass die gesamte Transformation in der Form y = Ax + b durchgeführt wird.

Aufgabe 4.16

Zwischen den 6 Städten S1 bis S6 bestehen bestimmte Verkehrsverbindungen, siehe Abbildung.

a)Stellen Sie eine (6, 6)-Matrix A auf. Dabei soll in der Matrix in Zeile i und Spalte j eine Eins stehen, falls es eine Verkehrsverbindung von Stadt i nach Stadt j gibt. Andernfalls soll an dieser Stelle eine Null stehen.

b)Welche Eigenschaft hat die Matrix A?

c)Welche Zusatzinformation könnte man anstelle der Einträge mit einer Eins in die Matrix A aufnehmen?

	x2
	4
	3
	2
	1
−1				1	2 3 4 5 6 x1
	−1

S5

S6

	S3
S1	S4
	S2