322

7 Integralrechnung

siehe Beispiel 7.14, ergibt sich mit a

√

und mit einer einfachen linearen Substitution

3

2

= S

=

√3

√+

+

x

2

4

I2

1

dx

2

=arctan

2 x

1

C2.

1

2

3

3

+

Insgesamt

erhalten wir

‰

+

Ž

3

x

dx

4 ln

x

1

2 ln

x2

x

1

2

arctan

2 x

1

C,

S

x3

−

2 x

1

=

S

+ S −

S

+

+

S + √

3

√

+

+

2 x2

3

die Konstanten C0, C1 und C2 zu einer einzigen Konstanten C zusam-

wobei wir, wie+schon+oft, +

Ì

mengefasst haben.

Stammfunktionen bei der Partialbruchzerlegung (Teil II)

Partialbrüche, bei denen sich der Nenner nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt und somit quadratische Faktoren enthält, führt man auf folgende Integrale zurück:

L

2 x

b

=

S

+

+ S +

S

x b+

x2

dx

ln

b x

c

C

2

1

1

x

+

x

c

L S

+x

C

= a arctan a

+

a2 + x2 d

7.3.5 Uneigentliche Integrale

Unter einem uneigentlichen Integral versteht man ein bestimmtes Integral, bei dem entweder die x-Werte oder die Funktionswerte unbeschränkt sind. Uneigentliche Integrale werden unter anderem zur Definition von Integraltransformationen verwendet, siehe Kapitel 15 und Kapitel 16. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik spielen uneigentliche Integrale eine wichtige Rolle.

Definition 7.6 (Uneigentliches Integral)

Ein bestimmtes Integral		b
	a	f(x) dx nennt man ein uneigentliches Integral, wenn
	S

mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

LDie Untergrenze ist a = −∞ oder die Obergrenze ist b = ∞.

LDie Funktionswerte sind im Integrationsintervall nicht nach oben oder nicht nach unten beschränkt.

Anschaulich beschreibt ein uneigentliches Integral eine Fläche, bei der mindestens eine Seite unendlich lang ist. Auf den ersten Blick vermutet man deshalb, dass uneigentliche Integrale zu Flächen mit unendlich großem Flächeninhalt führen. Dieser Anschein kann jedoch trügen, wie folgendes Beispiel zeigt.

7.3 Integrationstechnik

323

Beispiel 7.26 (Uneigentliches Integral der e Funktion)

Wir betrachten das uneigentliche Integral

0

ex dx.

y

Dazu wählen wir eine feste Untergrenze Sa−∞

0 und

3

berechnen das Integral mit einer

Stammfunktion:

<

2

a 0 ex dx = ex Sa0 = 1 − ea.

:

f (x) = ex

1

Nun

betrachtenS

wir den Grenzwert für a gegen

−∞

0

ex dx

lim

(

1

−

ea

) =

1.

−3

−2

−1

1

x

Ì

S−∞

a

→−∞

=

In Beispiel 7.26 ist zwar eine Seite der Fläche unendlich lang, dafür werden die Funktionswerte für a gegen −∞ sehr schnell klein. Dieses Zusammenspiel führt bei dem Beispiel zu einem endlichen Flächeninhalt.

Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale berechnet man mithilfe von Grenzwerten:

L	S	b	(		)	dx	= a→−∞	S	b	( )
		−∞		x					a
		f					lim		f	x dx

∞b

L	S	a	(	x	)	dx	= b→∞	S	a	( )
		f					lim		f	x dx

LWenn die Funktion f an einer Stelle x0 im Integrationsintervall nicht beschränkt ist, dann zerlegt man das Integral in zwei Teile:

b

(

) d

lim

t

(

)

dx

lim

b

x dx.

f

x

x

a

f

x

t

f

S

a

= t→x0−

+ t→x0

+

S

( )

S

Falls die jeweiligen Grenzwerte existieren, bezeichnet man das uneigentliche Integral als konvergent, andernfalls als divergent.

Beispiel 7.27 (Konvergentes uneigentliches Integral)

				2	1
Wir betrachten das bestimmte Integral				S					dx.
1
				0		x
Dabei handelt es sich um ein uneigentliches					Integral,
						√
denn die Funktion f(x) =	√		ist für x gegen 0 nicht

x

beschränkt. Die Funktionswerte wachsen an dieser Stelle über alle Grenzen. Wir wählen also zunächst eine feste Untergrenze a > 0 und berechnen das Integral mit einer Stammfunktion:

2

1

dx

=

2

√

T

a2

=

2 √

−

2 √

2

x

a.

Nun

a

x

S

√

betrachten wir den Grenzwert für a gegen 0:

S

0

	y
	3
	2				1
	1	f (x) = √x
	√x	1		2	−		3	4			5	x
2		= a→0+ Š √					√	• =		√ .		Ì
	1	lim	2	2		2	a		2	2
	dx

324	7 Integralrechnung

Bei zweiseitigen uneigentlichen Integralen

∞

S−∞ f(x) dx

fügt man irgendwo einen Punkt c ein und spaltet das Integral dadurch in zwei einseitige uneigentliche Integrale auf.

Des Weiteren entstehen uneigentliche Integrale oft dadurch, dass die Funktion am Rand des Integrationsintervalls nicht beschränkt ist. In solchen Situationen genügt es dann, einen einzigen einseitigen Grenzwert zu betrachten.

Die Tücken der Grenzwerte kennen wir bereits, nicht jeder Grenzwert existiert. Auch uneigentliche Integrale zeigen ein entsprechendes Konvergenzund Divergenzverhalten.

Beispiel 7.28 (Konvergente und divergente uneigentliche Integrale)

a)

Aufgrund von

∞

1

dx

lim ln x

1b

lim ln b

= ∞

1

x

= b→∞

S

= b→∞

ist dieses uneigentliche Integral divergent.

S

1 1

b) Bei dem bestimmten Integral

dx handelt es sich um ein uneigentliches Integral, denn

0

x

1

die Funktion f x

ist fürSx gegen 0 nicht beschränkt. Die Berechnung mithilfe eines

Grenzwertes ergibt

x

1 1

(

) =

1

dx

lim ln x

Sa

lim

ln a

) = ∞

.

0 x

= a→0+

= a→0+(−

Dieses uneigentliche Integral ist divergent.

S

c)

Für n ≠ 1 gilt

x1

−

n b

b1

−

n

∞

1

dx

lim

lim

1

.

1

n

n

b

b

S

x

= →∞ 1 n W1 =

→∞ 1

−

1:

Für den Grenzwert unterscheiden wir die beiden Fälle n 1 und n

b1−n

−

−

<

>

lim

1

1

für

n

1,

n

für

n

1.

b

1

n∞1

<

→∞

−

= œ

−

Für

n

1 ist dieses uneigentliche Integral divergent und für n 1 konvergent.

−

>

d)

Bei dem bestimmten Integral

1

1

dx handelt es sich für n

0 um ein uneigentliches

n

<

S0

>

>

x1

Integral, denn die Funktion f x

ist für x gegen 0 nicht beschränkt. Die Berechnung

xn

mithilfe eines Grenzwertes ergibt

x1−n

1

(

) =

a1−n

1

1

dx

lim

lim

1

1

.

n

0

x

a

0

n

a

0

n

S

= → +

1

Wa

=

→ +

−

Dieses uneigentliche Integral ist also nur für n 1 konvergent.

−

−

<

Ì