7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral

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7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral

Die Berechnung eines bestimmten Integrals mithilfe von Grenzwerten ist meistens ein mühsames Unterfangen. Wir suchen deshalb nach Methoden, mit denen sich Integrale einfacher berechnen lassen. Es stellt sich heraus, dass zwischen dem Integral und der Ableitung einer Funktion ein fundamentaler Zusammenhang besteht. Diesen Zusammenhang bezeichnet man als Hauptsatz der Di erenzialund Integralrechnung.

7.2.1 Integralfunktion

Den Schlüssel für den Zusammenhang zwischen Di erenzialund Integralrechnung bildet die sogenannte Integralfunktion. Bei der Integralfunktion betrachtet man den Flächeninhalt unter einer Funktion f mit fester Untergrenze a und variabler Obergrenze t. Dadurch ergibt sich eine Flächenfunktion A in Abhängigkeit der Variablen t.

Definition 7.3 (Integralfunktion)

Die Integralfunktion

t

A(t) = S f(x) dx

a

ist definiert durch den Wert des bestimmten Integrals der Funktion f über dem Intervall [a, t]. Dabei wird A als Funktion der variablen Obergrenze t interpretiert.

f(x)
a	xt

A(t)

a

t

Die Integralfunktion hat an der Stelle t = a immer den Wert 0. Positive Werte der Funktion f lassen die Integralfunktion A anwachsen und negative Werte führen zu Verringerung der Funktionswerte von A. Ein Nulldurchgang der Funktion f von positiven zu negativen Werten erzeugt bei der Integralfunktion A an der entsprechenden Stelle ein Maximum. Analog erzeugt der Übergang von negativen zu positiven Funktionswerten ein Minimum.

Beispiel 7.3 (Integralfunktion)

Die Integralfunktion der Funktion

f(x) = 1 x

2

soll für a = 1 bestimmt werden. Dazu betrachten wir die Fläche unter der Funktion f zwischen der festen

Untergrenze a 1 und der variablen Obergrenze t. Flächeninhalt besteht aus einem Trapez mit ei-

Der	=
ner Grundseite der Länge t					1. Die linke Seite des
	1		und die rechte Seite t .
Trapezes hat die Höhe				−
					2
	2

y
3
2	f (x) = 1 x
		2
1
1	2	3	t	4	x

300	7 Integralrechnung

Die Trapezfläche können wir aus dem Produkt der Länge der Grundseite und der mittleren Höhe berechnen, siehe Abschnitt 7.5.1. Somit erhalten wir

A(t) = (t − 1)	1	‹	1		+			t		• =		1		‰t	2	− 1Ž .
	2		2					2					4
Dadurch gilt
t					1	‰t			2		− 1Ž .
A(t) = S1 x dx =
					4

A(t)

3A(t) = 14 (t2 − 1)

2

1

1

2

3

4

t

Ì

Die Ableitung der Integralfunktion stellt die Verbindung zwischen Di erenzialund Integralrechnung her. Die Berechnung der Ableitung erfolgt mittels Definition über den Grenzwert

A

t

lim

A t

t

A t

.

′

(

) =

→

0

(

+

) −

(

)

t

t

Die Di erenz der beiden Integralfunktionswerte besteht aus einem Flächenstück, das bei t startet und bei t + t endet. Diese Di erenz kann man für kleine t-Werte durch ein Rechteck mit Grundseite t und Höhe f(t) annähern:

A(t + t) − A(t) ≈ t f(t).

y
	f(x)
f(t)
	A(t)
a	t t + t	x

Insgesamt erhalten wir dann

lim

A

t

lim

A

t

t

A t

t f

t

f

t

.

′

(

) =

→

0

(

+

) −

(

)

≈

→

0

(

)

=

( )

t

t

t

t

Die Ableitung der Integralfunktion ist also gerade die Funktion f selbst. Diesen wichtigen Zusammenhang bezeichnet man als Hauptsatz der Di erenzialund Integralrechnung.

Satz 7.1 (Hauptsatz der Di erenzialund Integralrechnung I)

Die Ableitung der Integralfunktion

t

A(t) = S f(x) dx

a

ist die Ausgangsfunktion f. Es gilt also

		d	t
	A′		f(x) dx = f(t).
		(t) = dt Sa

Der Hauptsatz der Di erenzialund Integralrechnung besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil beschreibt den Zusammenhang zwischen der Ableitung der Integralfunktion und der Ausgangsfunktion. Der zweite Teil, den wir in Abschnitt 7.2.3 behandeln, liefert eine Formel zur Berechnung von bestimmten Integralen.

7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral

301

Beispiel 7.4 (Ableitung der Integralfunktion)

1

=

In Beispiel 7.3 haben wir die Integralfunktion der Funktion f

x

x für a

1 bestimmt:

A t

t

1

x dx

1

t2 1 .

( ) =

2

1

2

4

dann

( ) = der Integralfunktion= ‰ −ergibtŽ

Die Ableitung S

A′(t) =

1

t = f(t).

2

Ì

Das Beispiel bestätigt also den ersten Teil des Hauptsatzes der Di erenzialrechnung.

7.2.2 Stammfunktion

Die Ableitung der Integralfunktion ist die Ausgangsfunktion. Wenn wir also umgekehrt zu einer gegebenen Funktion die Integralfunktion berechnen wollen, müssen wir die Ableitung umkehren. Die Umkehrung der Di erenziation bezeichnet man als Integration.

Definition 7.4 (Unbestimmtes Integral, Stammfunktion)

Eine Funktion F , deren Ableitung die Funktion f ergibt, für die also F ′ = f gilt, bezeichnet man als unbestimmtes Integral oder Stammfunktion von f. Die Bestimmung einer Stammfunktion bezeichnet man als Integration. Sie ist gewissermaßen die Umkehrung der Di erenziation:

	Integration	Di erenziation
	f(x) РРРРРРР→ F (x),
		F (x) РРРРРРРРРР→ f(x).

Für ein unbestimmtes Integral verwendet man die Notation S f(x) dx.

Für bestimmte und unbestimmte Integrale verwendet man dasselbe Integralsymbol. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man zur Bezeichnung einer Stammfunktion keine Oberund Untergrenze verwendet. Den Zusammenhang zwischen bestimmtem Integral und Stammfunktion klären wir in Abschnitt 7.2.3.

Manchmal wird anstelle der Sprechweise „integrieren“ auch „aufleiten“ gebraucht. Obwohl dieser Begri sprachlich enger mit „ableiten“ verwandt ist, ist diese Sprechweise mit Vorsicht zu genießen. Während die Bestimmung der Ableitung ein rein handwerkliches Unterfangen mit festen Regeln ist, stellt die Integration eher eine Kunst dar, bei der ein gewisses Maß Intuition für den richtigen Ansatz notwendig ist.

Beispiel 7.5 (Integrationskonstante)

a)

Eine Stammfunktion von f

(

x

) =

x3

ist F

(

x

) =

1

x4, da die Ableitung von F gerade wieder

4

f ergibt.

1 x4

x3, da die Ableitung von F auch

b)

Auch F

x

1 ist eine Stammfunktion von f

x

( ) =

+

(

) =

Ì

4

f ergibt.

302	7 Integralrechnung

Integrationskonstante

Eine Funktion f hat keine eindeutig bestimmte Stammfunktion F . Da die Ableitung einer Konstanten null ist, kann man zu jeder Stammfunktion F eine beliebige Konstante C addieren und erhält wieder eine Stammfunktion:

S f(x) dx = F (x) + C.

Die Bestimmung einer Stammfunktion ist die Umkehrung der Ableitung. Somit können wir für alle Funktionen, die sich als Ableitung einer anderen Funktion ergeben haben, Stammfunktionen angeben. Bei den folgenden Beispielen beziehen wir uns auf Ergebnisse aus Kapitel 6.

Beispiel 7.6 (Stammfunktionen)

a) Die Ableitung von F (x) = ex ist F ′(x) = ex, somit gilt

S

ex dx = ex + C.

b)

Da wir die Ableitungen von sin x und cos x kennen, folgt

S

cos x dx = sin x + C,

S

sin x dx = −cos x + C.

c)

Die Ableitung von F x

) =

x

ist F ′

(

x

n x

−

. Dadurch erhalten wir

n 1

1

(

) =

n

DieseS

x −

dx =

x

+ C.

n

Formel gilt nicht nur für natürliche Hochzahlen n, sondern für alle reellen Zahlen

d)

n

≠ −

1.

(

) =

′( ) = x

Die Ableitung von F x

ln x ist F

x

1

, also ist

S1 dx = ln x + C. x

Allerdings ist ln x nur für positive x-Werte definiert. Für negative x-Werte betrachten wir

1

1

(ln SxS)′ = (ln (−x))′

=

(−1) =

.

x

x

Insgesamt gilt also für x

−0 die Formel

1

≠

S

dx = ln SxS + C.

x

1

e) Die Ableitung von F x

) =

arctan x ist F

′

(

x

. Somit gilt

1

+

x2

1

(

) =

S

dx = arctan x + C.

Ì

1 + x2